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1、硕博教育辅导讲义学员编号：年 级：八年级课时数：学员姓名：辅导科目： 数学学科教师：丁老师课 题 第十九章 几何证明授课时间： 备课时间：教学目标（1） 理解命题 ,定义,公理 ,定理的概念 ;（ 2） 熟练判断真假命题以及举例证明 .（ 3） 掌握证明的步骤以及理论依据 ;（ 4） 会用反证法进行证明 .（ 5） 掌握证明的步骤以及理论依据 ;（ 6） 会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题, 借助添加辅助线来实现转化重点、难点授课方法联想质疑交流研讨归纳总结实践提高教学过程二、 探索研究第 1 讲 几何证明（ 1）命题和证明【知识要点】知识点 1 演绎证明演绎推理是数学证明的
2、一种常用的、 完全可靠的方法 . 演绎证明是一种严格的数学证明 , 是我们 学习的证明方式 . 演绎证明也称为证明 .知识点 2 命题（1）能判断它是正确或错误的句子叫做命题. 如实反映事物情况的命题是真命题 ; 没有如实反映事物情况的命题是假命题 .（2）命题一般都可以分离出“题设”与“结论”两个部分, 通常以“如果, 那么”的形式来表示 .知识点 3 定义 能界定某个对象含义的句子叫做定义 .知识点 4 公理 某些真命题由人们经长期的实践得出 , 并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样 的真命题叫做公理 .知识点 5 定理 同时满足以下两个条件的真命题成为定理： （ 1） 其正确性可
3、通过公理或其他命题逻辑推理得到 ;（ 2） 其又可以作为判断其他命题真假的依据 .【典型例题】【例 1】 判断下列语句是不是命题 ,如果是 ,则判断其真假 .（ 1） 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 ;（2） 在直线 AB上取一点 C;（3） 凡直角,皆相等 ;（ 4） 今天可能是小王的生日 .【分析】本题是概念判断题 , 要牢记命题是能判断它是正确或错误的语句 . 【解答】（ 2）、（ 4）不是命题 ;（1）、（3）是命题 ,其中（ 1）为假命题 , （3）为真命题 . 【注】真假命题的判别 ,主要是根据真假命题的定义 , 如实反映事物情况的命题是真命题 , 没有如实 反映事物情况的
4、命题是假命题 .【例 2】 指出下列命题的题设与结论 ,并改写成如果 , 那么 ”的形式（ 1） 全等三角形的对应边相等 ;（ 2） 平行于同一条直线的两条直线平行 .【分析】 命题一般都可以分离出“题设”与“结论”两个部分 , 通常以“如果 , 那么 ”的 形式来表示 . “如果”后面的是题设 , “那么”后面是结论 .【解答】 （ 1）题设：两个三角形是全等三角形 ; 结论：两个三角形的对应边相等 ;如果两个三角形是全等三角形 , 那么这两个三角形对应边相等 .（ 2）题设：两条直线都平行于同一条直线;结论：这两条直线平行 ;如果两条直线都平行于同一条直线 , 那么这两条直线平行 . 【注
5、】有一些命题的语句是省略型的 , 一定要先把它补充完整 , 才能分出题设与结论 . 【例 3】 证明：命题“两个无理数的积是无理数”是假命题.【分析】 证明一个命题是假命题的关键是举反例 , 只要举出一个符合命题题设而不符合命题结论的 例子就可以了 .【解答】证明： Q2 是无理数 , 2 2 也是无理数 , 而 2 2 2 4,4 是有理数 .“两个无理数的积是无理数”是假命题 .（2）证明举例（一）【知识要点】知识点 1 证明的步骤（ 1）判断一个命题是真命题：要经过证明.证明是一个推理过程 , 是一个严密而有条理的合理的推理过程 , 证明过程一定要步步有理有据 .（ 2）判断一个命题是假
6、命题：只要举出一个反例.知识点 2 反证法反证法证明命题的一般步骤：（ 1）假设：先假设命题的结论不成立 .（2）归谬：从这个假设出发 , 运用正确的推理方法 , 得出定义、公理、已证定理或已知条件相 矛盾的结果 .3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确典型例题】【例 1】 证明：等腰三角形两底角的平分线相等 .【分析】 已知等腰三角形两底角的平分线 ,如何证明两底角的平分线相等 . 利用两三角形全等的方 法进行证明 . 证明过程中每一步推理都要有依据 , 依据作为推理的理由 , 可写在每一步后的括号里A图1【解答】 已知：如图 1, 在 ABC中 ,ABCACB （等
7、边对等角）Q1121ABC, 2 ACB （已知）2在BDC 与（等式性质）CEB中QDCBEBC （已证） , BC CB, 1BDCCEB A.S.A）2 （已证）AB AC,BD是 ABC的平分线 , CE是 ACB 的平分线 .求证： BD CE 证明： Q AB AC （已知）BD CE （全等三角形对应边相等） .例 2】 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角分析】 首先假设结论 “ A、 B、 C中不能有两个叫是直角” 不成立 ,即它的反面“ A、 B、C 中可以有两个叫是直角”成了 , 然后 , 从这个假设出发推理得出矛盾解答】已知：ABC求证：A、B、 C 中不能有两
8、个叫是直角 .证明：假设A、 B、 C 中有两个角是直角 ,不妨设 AB 90 , 则ABC90 90 C 180 .这与三角形三内角和定理矛盾 , 所以 A B 90 不成立 . 所以一个三角形中不能有两个角是直角 .3）证明举例（二）【知识要点】知识点 1 添辅助线由于证明的需要 , 可以在原来的图形上添画一些线 , 即添加辅助线来完成一些几何证明 . 辅助线通常画成虚线 .【典型例题】【例 1】 如图 1,已知 ABC为等边三角形 ,延长 BC到D,延长 BA到E,使 AE BD ,连接 CE 、 DE .求证： CE DE .【分析】 在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,
9、 如果图形不全 , 就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形 , 达到证明的目的 .【解答】 延长CD到F,使CF AE,连接 EF.Q ABC 是等边三角形ABBC, B60ABAE BCCF（等式性质）E即 BEBF又QB 60BEF 为等边三角形 .AABEEF, BF60Q AEBD,CFAEB C D FBDCF图1BDCD CFCD即 BCDF在 EBC 和 EFD 中EB EF BFBC FDEBC EFD S.A.S)CE DE例 2】 如图 2,已知在 ABC中, AD是中线, BE交 AD于点F , AE EF. 求证： AC BF .分析】 解答】 在本例通过添加辅助线 ,
10、 把要证明的两条线段 “移”到同一个三角形内 , 构造等腰三角形证得 . 延长 AD到点 G,使DG AD,连接 BG.ACD 和 GBD 中AD GDADCCD BD已知）GDB （对顶角相等） 已知）ACD GBD (S.A.S)AC GB, DAC G全等三角形的对应边、对应角）相等）Q AE EF DAC又 Q AFE BFGBG BFAC BF已知）AFE （等边对等角）BFG （对顶角相等） G （等量代换） 等角对等边） 等量代换）G图2例 3】 如图 3, 已知 ABC中, AD是 BAC 的角平分线 , B 2 C.求证： AB BD AC.分析】 证明一条线段等于另两条线段
11、之和 ,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段 , 再证明 延长部分与另一段相等即可 , 或者在长线段上截取一条线段等于短线段 , 再证明余下部分等于另 条短线段 .解答】 延长 AB至E,使AE AC,连接 DE.AC AEQ EAD CADAD ADACD AED （S.A.S）CE （全等三角形对应角相等）Q ABD E BDE, ABD 2 CABD 2 EE BDEBD BE （等角对等边）AC AB BD （等量代换）例 4】如图 4, 在四边 形 ABCD 中 , DAB图360o, DCB 30o, AD AB,试 证 明线段图4CD、 BC、 AC 能构成直角三角形【分析】
12、 本题的关键是要将 CD、BC、AC 三条线段放到一个三角形中 ,然后才能判断其形状 ,其 中的 60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件, 因此, 通过旋转 60°, 既保证了图形的不变性 ,又构造了等边三角形 .【解答】如图 5,由于 DAB 60o,AD AB,因此可将 ABC绕 A点逆时针方向旋转 60°到 ADE处,且B落在 D处, 则 ABC ADE .所以 EAD CAB,EDA B,DE BC.因为 DAB 60o,所以 EAC 60.o 所以 EAC 为等边三角形 .所以 EC AC AE.所以 EDC 为线段 CD、BC、AC 构成的三角形 .7/ 6