《新题库--第十章第02节：两个记数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新题库--第十章第02节：两个记数原理.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、两个计数原理1. 集合A=1,2, 3, 4, B=a, b, c, d，则从A到B可建立多少个不同的映射？其中一一映射有多少个？解： 从 A 到 B 可建立的映射的个数为： 44=256（个）。从 A 到 B 可建立的一一映射的个数为： 4X3X2X1=24 （个）.2. 集合A=1,2, -3, B=-1, -2, 3, 4.现从A、B中各取一个元素作为点 P（x,y）的坐标.（ 1）可以得到多少个不同的点？（ 2）在这些点中，位于第一象限的有几个？解：（1）第一类：选 A中的元素为x, B中的元素为y,有3X4=12 （个）不同的点；第二类：选A中的元素为y, B中的元素为x，有4X3=
2、12 （个）不同的点.不同点的个数为12+12=24 （个）.（2）第一象限内的点, 即 x, y 必须为正数, 从而只能取 A、 B 中的正数, 同样可分为两类, 同（1）由 分类计数原理得适合题意的不同点的个数为2X2+2X2=8 （个）3在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解： 根据题意,将十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情况分成 8 类：在每一类中满足题目条件 的两位数分别是 8 个, 7 个, 6 个, 5 个, 4 个, 3 个, 2 个, 1 个。由分类计数据原理知：符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36 个
3、。4从1 到200的自然数中,有多少个各位数上都不含数字5的数？解： 一位数中不含数字 5 的数共有 8 个两位数中不含数字 5 的数可分两步来确定：其个位数字除 5 以外,还有 9 种选法,十位数字则还有 8 种选法,根据分步计类原理,可知共有 9X8=72 个不含数字 5 的 两位数三位数中不含数字 5的数可分三步来确定：百位数字是1时，有9X9=81 （种），百位数字是2时，仅是 200,即 1 个,有 81+1=82 （个）因此满足条件的数共有 8+72+82=162（个）5.设集合A=2, 4, 6, 8, B=1, 3, 5, 7, 9 ，今从A中取一个数作为十位数字，从B中取一个
4、数作为个位数字,问：（ 1 ）能组成多少个不同的两位数？（ 2）能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数？ 解：（1）要组成两位数,分两步：第一步,确定十位上的数字,共有4种取法；第二步,确定个位上的数字,共有 5 种取法由分步计数原理,所组成的两位数共有4X5=20 个（ 2）十位数字小于个位数字的两位数可分为以下几类：第一类：十位数字为2 时,个位数字有 3、 5、7、 9 这 4 种选法；第二类：十位数字为 4 时,个位数字有 5、 7、 9 这 3 种选；第三类：十位数字为 6 时, 个位数字有 7、 9 这 2 种选法；第四类：十位数字为 8 时,个位数字有 9 这 1 种选法由分类
5、计数原理,适合题意的两位数的个数共有 4+3+2+1=10 个6由 1 , 2, 3, 4 可以组成多少个自然数（数字可以重复,最多只能是四位数）？解： 组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数,共有4个；第二类：二位自然数,又可分两步来完成.先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4X4=16 （个）；第三类：三位自然数，又可分三步来完成每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4X4X4=64 （个）；第四类：四位自然数,又可分为四步来完成每一步都可以从 4个不同的数字中任取一个,共有4X4X4X4=256 （个）由分类计数原理,可以组成的不同自然数的个数为 4+16+64+
6、256=340 个7 今有一角币 1 张, 2 角币 1 张, 5 角币 1 张, 1 元币 4 张, 5 元币 2 张,用这些币 值任意付款,可以 付出不同数额的款项共多少种？解： 用角币可得到币值有 1 角, 2 角, 3 角, 5 角, 6 角, 7 角, 8 角（共 7 种）。用元得到的币值有 1 元, 2 元, 3 元, 4 元, 5 元, 6 元, 7 元, 8 元, 9 元, 10 元, 11 元, 12 元, 13 元, 14 元（共 14 种）故所有币值种数为 7+14+7X 14=119 （种）。8用 0, 1 , 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字的比 200
7、0 大的 4 位偶数？解：第一类是以 0 作结尾的比 2000 大的 4 位偶数： 它可以分三步来完成： 第一步选取千位上的数字,只有2 , 3, 4, 5可供选择，有4种选法；第二步选取百位上的数字，除 0和千位上已选定的这两个数字 外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步选取十位上的数字， 还有3种选法.根据分步计数原理， 知这类数的个数有 4MX3 (个).第二类是以2作结尾的比2000大的4位偶数，它也分三步来完成： 第一步选千位上的数字要除去 2 , 1 , 0,只能有三个数字待选，有 3种选法第二步选百位上的数字在去掉已定的首、尾两数字后，还有4个数字待选，有4种选法；第三步选
8、十位上的数字有 3种选法，则此类数的个数就有 3X4X3 (个).第三类是以4作结尾的，其步骤同第二类.对三类的结论用分类计数原理得：4X4X3+3X4X3+3X4X3=120 (个).，要求在、四个区域中相邻(有公9.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙) 共边界)的区域不用同一种颜色。(1 )若n=6 ,为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有 120种不同方法，求n。 解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为、着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此：(1) 为着色有6种方法，为着色有 5种方法，为着色有 4种方法，为着色也只有4种方法。
9、共有着色方法 6X5X4X4=480种；(2) 与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3).由 n(n-1)(n-2)(n-3)=120， (n2-3n)(n 2-3n+2)-120=0,2 2 2 2即(n -3n) +2(n -3n)-12 X0=0, n -3n-10=0, n=5。10 .有一个圆被两相交弦分成四块，现在用 5种不同颜料给四块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂a 1-Aq一色，共有多少种涂色方法？解：如图1-10-4所示，分别用a, b, c, d记这四块。A与c可同色，也可不同色, 先可考虑给a、c两块涂
10、色，分两类：(1 )给a、c涂相同颜色共有 C5种涂法，再给b涂色有四种涂法，最后给 d涂色也有四种涂法。由分步计数原理知，此时共有c5 X4 X4种涂法。(2)给a、c涂不同颜色共有 A种涂法，再给b涂色有三种方法，最后给 d涂色也有三种，此时共有A X3X3种方法。故由分类计数原理知，共有C54><4+A；x 3 3=260种涂法。11 .用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有 6个黑色小球，另一只装有 7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？解：第一类办法：取白球、黑球，共有5X6=30种取法；第二类办法：取黑球、红球，共有6X7=42种
11、取法；第三类办法：取红球、白球，共有7X5=35种取法.由分类计数原理，共有 30+42+35=107种不同的取法.12 .从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？解：应分三类来解决该问题：第一类：一位数中除8以外符合要求的数有 8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8X9=72 (个)；第三类：三位数中：百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有 9X9=81 (个).百位数为2的数只有200这一个符合要求，.三位数中符 合要求的数有 81 +
12、1=82 (个).由分类计数原理，符合要求的数字共有N=8+72+82=162 (个).13 .在120共20个整数中任取两个相加，使其和大于20的不同取法共有多少种？解：分类标准一：固定小加数：小加数为1时，大加数只有20这1种取法；小加数为 2时，大加数只有19和20这2种取法；小加数为 3时，大加数只有18，19和20这3种取法；小加数为10时，大加数有11 , 12，20共10种取法；小加数为11时，大加数有9种取法； 小加数为19时，大加数只有20这1种取法.由分类计数原理，不同的取法共有：1+2+3+ 10+9+- +1=100种.分类标准二：固定和的值：有和为 21 , 22 ,
13、，39这几类，依次有取法 10, 9 , 9 , 8, 8 ,，2,2, 1 , 1种.由分类计数原理得不同的取法种数共有10+9+9+2+2+1+1=100 种.14 .在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋。现在从这 7人中各选1人同时分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法?3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名解：选参加象棋比赛的学生有两种选法：在只会下象棋的 中选；选参
14、加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的 中选。互相搭配，可得四类不同的选法。从3名只会下象棋的学生中选 1名参加象棋比赛，同时从 赛有选法3X2=6 （种）;从3名只会下象棋的学生中选 1名参加象棋比赛，同时从 参加围棋比赛有选法 3X2=6 （种）;从2名只会下围棋的学生中选 1名参加围棋比赛，同时从参加象棋比赛有选法 2X2=4 （种）；从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛有选法2X1=2 （种）。由分类计数原理得共有 18种不同的选法。15 .写出3570的所有正偶数因数.解：3570=2X 3X5X7X17,所有的正偶数因数为 2aX3bX5cX7
15、d X17e形式，a的指数只能取；b、c、d、e 的指数可取0、1这两个数，所以共有 2X2X2X2=16个正偶数因数.16 .在120共20个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？10X9解：第一类：两个偶数相加，由分步计数原理，共有=45种不同的取法；第二类：两个奇数相210 7加，由分步计数原理，共有=45种不同的取法.2由分类计数原理，共有 45+45=90种不同取法.17 .集合A=a, b, c, B=1,2.问A到B的不同映射f共有多少个？ B到A的不同映射g共有多少个?解：分别以a, b, c为原象，确定它们的象，f共有2X2X2=8 （个）.同样，g有3X3=
16、9 （个）.18 .用数字1，2，3可以写出多少个小于 1000的正整数？解：先分类：分为一位、两位、三位整数，共三类；再分步确定各位上的数字.第一类：一位整数都 适合题意，共有3个；第二类：两位整数都适合题意，共有3X3=9个；第三类：三位整数都适合题意，共有 3X3X3=27 个.由分类计数原理，适合题意的正整数的个数为3+9+27=39 个.19 .如图10-1-1所示，用红、黄、绿、蓝、白5种颜色涂这些正方形，让每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色. 方法？如果颜色可反复使用,那么共有多少种不同的涂色L 團 10-1-1解：涂第一个正方形有5种方法；由于涂第二个正方形时的颜
17、色应与涂第一个正方形时的颜色不同,可知有4种不同的涂法；由于颜色可反复使用， 因此第三个，第四个，第五个正方形各有4种涂法.由分步计数原理，所有的涂色方法共有: 5X4X4X4X4=1280 （种）.20 .三个比赛项目，6人报名参加.（1）每人参加一项，有多少种不同的方法？（2）每项1人且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？（3）每项1人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？解：（1）每人都可以从 3个比赛项目中选1种，有3种方法，6个人共有36=729种不同的方法;（2）每项 1人，且每人至多 1项，则第 1项有 6种选人方法，第 2项有 5种选人方法，第 3项有 4 种选人方法.由
18、分步计数原理，共有6X5X4=120种不同的方法；（ 3）每个项目都可以从 6 个人中选 1 人作为参加者，有 6 种不同的选法，三个项目共有63=216 种不同的选法.21. 现要排一份 5 天的值班表，每天有一个人值班，共有 5个人，每个人都可以值多少天班或不值班， 但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？解：先排第一天，可排 5人中的任一人，有 5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4 种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有 4种排法；同理，第四、五两天均各有 4种排 法。由分步计数原理可得值班表共有不同排法数为：5X4X4X4X4=1280 种。5