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1、2018高考数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。女口 ：集合 A x|y lg x ， B y|y Ig x ， C （x,y）|y Ig x ，A、B、C 中元素各表示什么?2. 2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。若B A，则实数a的值构成的集合为 3.注意下列性质：如：集合 A x|x2 2x 3 0，B（答：1 0, £）x|ax 1（1）集合ai, a2,an的所有子集的个数是 2n ；非空子集个数是2n 1,
2、真子集个数是2n1,非空真子集个数是2n 24.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。( 3 M，二03 a5a 1,59,25) 5 M ,豎口 05 a5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（），“且”（）和“非”（）.若p q为真，当且仅当p、q均为真若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假6.命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射 f : At B,是否注意到A中元素的任意性和 B中与之对应元素的唯一性,构成映射？（一对
3、一，多对一， A中元素不可剩余，允许 B中有元素剩余。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？哪几种对应能10. 如何求复合函数的定义域？女口：函数f(x)的定义域是 a, b , b a 0,则函数F(x) f(x) f( x)的定 义域是_(答：a, a )11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(反解x;互换x、y :注明定义域)女口：求函数1 x f(x)2xx0的反函数x 01x 1x 1(答：f 1(x)v
4、 xx 013.反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y = x对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性;14. 如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)如何判断复合函数的单调性?(y f(u), u (x)，则 y f (x)(外层)(内层)二)15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间a, b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x) 0呢？值是() A. 0B. 1C. 2D. 3注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数若f( x)
5、 f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称与奇函数的乘积是奇函数。17.你熟悉周期函数的定义吗?函数，T是一个周期。)由已知f(x)在1,)上为增函数，则 Ja 1,即a 3 3大值为3)16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？域关于原点对称)若f( x) f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称18.你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f ( x)的图象关于y轴对称f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f( x)的图象关于 原点 对称f(x)与fix)的图象关于 直线y x对称00f(x)与f(2a x)的图象关于 直线x a对称f(x)与f(2
6、a x)的图象关于 点(a, 0)对称上移b(b 0)个单位 y f(x a) b 下移b(b 0)个单位 y f(x a) b将y f(x)图象左移a(a°)个单位yf(x a)右移a(a 0)个单位yf(x a)注意如下“翻折”变换:19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(1) 一次函数：y kx b k 0y=log 2x(2)反比例函数：ykk 0推广为yxb k k 0是中心O'(a, b)的双曲线。 x a(3)二次函数 y ax2 bx c a 02a4ac b24a图象为抛物线应用：“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程求闭区间m
7、 n上的最值。求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程ax2 bx c 0的两根都大于kb2af(k)又如：若 f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)则，f(x+2a-2b)=fa+(x+a-2b)(恒等变形）=-fa-(x+a-2b)f(a+x)=-f(a-x)=-f(-x+2b)=-fb+(-x+b)=-fb-(-x+b)=-f(x)（恒等变形）（恒等变形）f（b+x）=f（b-x）2a-2b为半周期由图象记性质！（注意底数的限定！）k（6）"对勾函数” y x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区
8、别是什么?20.你在基本运算上常出现错误吗?y alOg alOg a MlOga N, lOg a MlOga Mn21.如何解抽象函数问题?（赋值法、结构变换法）(2) x R, f(x)满足f(xy) f(x) f(y),证明 f(x)是偶函数。22.掌握求函数值域的常用方法了吗?（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，禾U用函数单调性法，导数法等。如求下列函数的最值:(1)c 0（c为常数）；(2)(xn)nxn 论 N ),(x)x 1(0 且Q)；(3)(sin x:) cosx,(cos x)sinx ；(4)(ax)xa In a(a 0且a1),(ex
9、)ex(5)(lOgax)(a0且a 1) , (ln x)xln ax(6)u(x)v( x)u (x) v (x)；(7)u(x)v(x)u (x)v(x)u(x)v (x)；23.基本初等函数导数公式:U (x)v(x) u(x)v (x)(8)23.u(x) v(x)v2(x)你记得弧度的定义吗？能写出圆24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义又如：求函数y .1.2 cos x的定义域和值域U2心角为a ,半径为R（2cos2 x ）1 2sinx 0 sinx -，如图:225.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？y=ta n
10、x3y sinx的增区间为2k 2，2k 2 k Z减区间为2k 2，2k 7 k Z图象的对称点为 k，0 ,对称轴为x k - k Z y cosx的增区间为2k，2k k Z减区间为2k ，2k 2 k Z图象的对称点为k ，0，对称轴为y tanx的增区间为 k ，kk Z2 226.正弦型函数y二As in x + 的图象和性质要熟记。 或y A cos x（1） 振幅|A|,周期T -若f X。 A，则x X。为对称轴。I I若f x00,则x0，0为对称点，反之也对。（2） 五点作图：令 x 依次为0， ，2 ，求出x与y，依点（x，y ）作图象。2 2（3）根据图象求解析式。（
11、求A、值）XL 0耳Z易、解条件组求正切型函数y A tanx , T 一27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面一一先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗?31.熟练掌握两角和、差、倍、降幕公式 及其逆向应用了吗?29.熟练掌握三角函数图象变换了吗?（平移变换、伸缩变换）如：函数y 2sin 2x1的图象经过怎样的变换才能得到4y sin x的图象?30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?k”化为的三角函数一一“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指k取奇、偶数。女口： cos9tan4sin 21又如：函数
12、y坦J，则y的值为cos cotA.正值或负值B.负值 C.非负值D.正值理解公式之间的联系:应用以上公式对三角函数式化简。(化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。)具体方法:(1)角的变换：如(2 )名的变换：化弦或化切(3 )次数的变换：升、降幕公式(4) 形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。丄 n s in cos 如：已知1cos21,ta n-，求 tan3的值。(由已知得:sin cos2si n2cos2sin1,tan -2tan 2tantan1 tantan-tan2321 -3121232.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如
13、何实现边、角转化，而解斜三角形?在三角形 ABC中，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,且角 A,B,C 范围是(0,180 )(应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)正弦定理:2Rsin A sinB sin Ca 2Rsi nAb 2Rs inBc 2Rs inC(1)求角C ；(1)由已知式得:1 cos A B 2 cos2 C 111(2) 由正弦定理及a2 b2-c2得:234. 不等式的性质有哪些?答案：C35. 利用均值不等式：2a2 b2 2ab a，b R ； a b 2 ab； ab -_b 求最值时，你是否注2意到“ a, b R ”且“等
14、号成立”时的条件，积 (ab)或和(a b)其中之一为定 值？(一正、二定、三相等) 注意如下结论：如：若x 0，2 3x 4的最大值为x42 J 3*-当且仅当 3x -，又 x 0,二 x 时，ymax 24.3)x336. 不等式证明的基本方法都掌握了吗?(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)并注意简单放缩法的应用。2)37.解分式不等式f(x) a a 0的一般步骤是什么？g(x)(移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1,穿轴法解得结果。)38.用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始1是偶重根39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论40.对含有两个
15、绝对值的不等式如何去解?(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)1 例如：解不等式|x 3| |x 11 (解集为x|x241.会用不等式|a| |b| |a b| |a| |b|证明较简单的不等问题如：设f (x) x2 x 13，实数a满足|x a| 1证明:| (x a)(x a 1) |( | x a | 1) | x a | x a 11 | xa 1| |x|a| 1(按不等号方向放缩)42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“”问题)女口： a f(x)恒成立 a f(x)的最小值a f(x)恒成立 a f(x)的最大值a f (x)
16、能成立 a f(x)的最小值例如：对于一切实数x，若x 3 x 2 a恒成立，则a的取值范围是(设u |x 3 x 2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和43. 等差数列的定义与性质定义：an 1 an d （d为常数），an a1 n 1 d等差中项：x, A, y成等差数列2A x y前n项和Sna1 an nnan n 1 d211 d 12性质：an是等差数列(2)数列 a2n 1，a2n ，ka n b仍为等差数列;Sn， S2nSn， S3nS2n仍为等差数列；(即(S2nSn)Sn(S3nS2n )（3）若三个数成等差数列，可设为a d, a, a d；（5）an为等差数列 Sn
17、 an2 bn（ a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）Sn的最值可求二次函数 Sn an2 bn的最值；或者求出 a.中的正、负分界 项，即：an 0当 a10，d 0，由an0可得Sn达到最小值时的n值。a n 10如：等差数列an，Sn18，an an 1 an 2 3，S3 1，则 nan 10当a1 0，d 0,解不等式组 n可得Sn达到最大值时的n值。44. 等比数列的定义与性质等比中项：x、G、y成等比数列G2 xy，或 G前n项和：Sg (q 1) na1 1 qn（要注意！）1）性质:an是等比数列45.由Sn求an时应注意什么?(n 1 时，a1(2)Sn，S1，n
18、 2时,S2nSn，S3n S2n仍为等比数列an Sn Sn 1)解:46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗?例如：（1）求差（商）法1 1如：an满足尹尹2+ an 2nn 2 时，1a12a21冇ani 2n 1521解:练习数列an满足SnSn 15an 1， a134，求 an又S14，二Sn是等比数列，Snn4n(2 )叠乘法例如：数列an中，a13, an1求aann 1解：(3 )等差型递推公式由anan 1 f(n)， a1a°，求 an，用迭加法n 2 时，a2 a1 f (2)as a2 f (3)两边相加，得:an an 1 f(n)S(注意到an1 Sn1
19、Sn代入得： 沁 4Sn2 时，an Sn Sn 13 * 1练习数列ana11, an 3n 1 a. 1 n 2，求 a.(4)倒数法2a例如：a1 1, an 1n ，求 anan 2由已知得:1an 2an 1 2anan-为等差数列,an丄1,公差为1a1247.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？例如：(1)裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。n 如：an是公差为d的等差数列，求k 1 akak 1练习求和：1 12123123n（2）错位相减法：若an为等差数列，bn为等比数列，求数列 anbn （差比数列）和，可由Sn qSn求Sn，其中q为bn的公
20、比。（3 ）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。3, 4, 3 种，.有 10 种。共有5+ 10= 15 (种)情况Snan an 1an 1a2ana1相加练习(由 f(x)1f（3）辽1f(4) f 41原式 f(1)f(2) f -249.复数 a bi(a,bR），其中a为实部，b为虚部。（1）可分类为：实数（b 0）纯虚数（a0且 b0）虚数（b 0）， 非纯虚数（a 0,b 0）（2 ）复数的几何意义用向量oz表示复数z a bi（a,b R）用点Z(a,b)表示复数z a bi(a,bR), Z成为z在复平面上的对应点(3) z a bi的共轭复数为z a
21、 bi ；(4) 复数z a bi的模为z膚b2(5 )复数的四则运算设Zia bi,Z2c di (a, b,c R)则Zi Z2 (a c) (b d)i ；Zi Z2 (ac bd) (ad bc)i ；ziZ2a bic di(a bi)(c di) (c di )(c di)(ac bd) (bc ad)i49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组(mi为各类办法中的方法数)分步计数原理：N mt m2 mn(mj为各步骤中的方法数)(2 )排列：从n个不同元素中，任取m ( m < n )个元素，按照一定的顺序排成 列，叫做从n个不同元素中取出 m
22、个元素的一个排列，所有排列的个数记为(3 )组合：从n个不同元素中任取 m ( m < n )个元素并组成一组，叫做从n个不规定：C01(4)组合数性质：50. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可 采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。女口：学号为1, 2, 3, 4的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()A. 24B. 15C. 12D. 10解析：可分成两类:(1)中间两个分数不相等,(2)中间两个分数相等相同两数分别取 90, 91 , 92，对应的排列可以数出来，分别
23、有51. 二项式定理cn为二项式系数(区别于该项的系数)性质:(1)对称性：cn cn r r 0, 1, 2,n(2)系数和：cn c；cn 2n(3)最值：-为偶数时，n +1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第nn-1项，二项式系数为c2 ; n为奇数时，(n 1)为偶数，中间两项的二项式2n 1n 1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为cn cn2 2如：在二项式 x 1 11的展开式中，系数最小的项系数为 (用数字 表示)共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 126或第7项2由cx11 r( 1)r，取r 5即第6项系数为负值为最小：(1)必然事件，P ) 1,不可能事件
24、，P( )0(2)包含关系：AB，“ A发生必导致B发生”称B包含A。(3)事件的和(并)：A B或A B “A与B至少有一个发生”叫做 A与B併)。(4)事件的积(交)： A B或A B “A与B同时发生”叫做A与B的积。(5)互斥事件(互不相容事件)A与B不能同时发生”叫做 A、B互斥。又如：20041 2xao2a1X a2X2004a2oo4XxR，则a°a1aoa2aoa3aoa2004(用数字作答)令x1，得：aoa2a20041原式2003a0a0 a1 a20042003 112004)52.你对随机事件之间的关系熟悉吗?(6 )对立事件(互逆事件)“A不发生”叫做A
25、发生的对立(逆)事件， A A A , A A(7)独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。53.对某一事件概率的求法：分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即pA包含的等可能结果m() 一次试验的等可能结果的总数 石(2) 若 A、B 互斥，则 P A B P(A) P(B)( 3)若 A、B 相互独立，则 P A B PA P B(4) P(A) 1 P(A)(5) 如果在一次试验中 A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中 A恰好发生女口：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事
26、件的概率。(1 )从中任取2件都是次品；(2) 从中任取5件恰有2件次品；(3) 从中有放回地任取 3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)， n= 103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”C； - 42 - 6 43 44-P 33103125(4) 从中依次取5件恰有2件次品。解析：一件一件抽取(有顺序)分清(1)、( 2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。如：从10名女生与 5名男生中选 6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为56.你对向量的有关概念清楚吗?(1)向量 既有大小又有方向的量。(2)向量的模
27、一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|ao| 1, a。|a|长度相等(4)零向量0,。( 5)相等的向量a b方向相同在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。(6 )并线向量(平行向量)方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。b II a (b 0)存在唯一实数 ，使b a(7 )向量的加、减法如图:平面向量基本定理(向量的分解定理)的一组基底。(9 )向量的坐标表示i , j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x, y,使得a x i y j，称(x, y)为向量a的坐标，记作：a x, y ,即为向量的坐标表示。57.平面向量的数量积(1) a b |a|
28、 |b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)数量积的几何意义：a b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。(2)数量积的运算法则注意：数量积不满足结合律(a b) c a (b c)(3)重要性质：设 a x1, y1 , b x2, y2 a II b a - b |a| - |b|或 a - b |a| - |b|a b ( b 0, 惟一确定)练习 (1)已知正方形ABCD，边长为1, AB a , BC b , AC c，则答案:(2)若向量a x, 1 , b 4, x，当x时a与b共线且方向相同答案：2(3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为 60°，那
29、么|a 3b|答案:平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线/线线/面面/面判定线丄线线丄面面丄面 性质线/线线丄面面/面线面平行的判定定理:aII b, b 面，a线面平行的性质：线面垂直判疋疋理：面面垂直判疋疋理：a丄面 , a 面丄面面垂直性质： 面丄面 ,l, a, a 丄 la丄面，b丄面a / b面丄a,面丄a/abzdLI/59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗?60.三类角的定义及求法(1)异面直线所成的角0°<0< 90°SeE(4) S 球 4 R2 ,4V球一3R364.熟记下列公式了吗？(1) I直线的倾斜角0,k tanX2yi
30、XiX2x12(2)直线方程：点斜式：yy°k x x°(k存在)斜截式：y kx b一般式：Ax By C0 (A、B不同时为零)截距式：-y ia b(3)点 P Xo, yo 到直线 I : AxBy C 0的距离d As黑g点P X0, y0到直线l : y kx b的距离为dkx。y。 bd k2(4)两条平行直线li : Ax By Ci 0,l2 : Ax By C20(G C2)，则两条直线间的距离为:C1 C2(3) 二面角：二面角 I 的平面角，0°180°(2)如图，正四棱柱 ABCAiBCD中对角线 BD= 8, BD与侧面BiB
31、CC所成的为30°。 求BD和底面ABCD所成的角； 求异面直线BD和AD所成的角;62.你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质?正棱柱一一底面为正多边形的直棱柱正棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：1 亠S正棱锥侧C h' (C 底面周长，h'为斜咼)21 亠底面积X咼3bib?,'ik265.如何判断两直线平行、垂直?A iB 2A 2 BiA1C2A 2Cili / l2kik2li / I2 （反之不一定成立）因为两直线平行除了斜率相等，截距不一样外，还可以是两条直线斜率不存在。AiA2 B
32、iB20 li 丄 l2线斜率不存在）（不能反推是因为还有一种情况是，一直线斜率为0, 一直66.怎样判断直线I与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较。两条平行直线li : y kx bi, I2 : y kx b?,则直线h2之间的距离为d直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”圆的一般方程为:x2 y2 Dx Ey F0(D2 E2 4F 0)圆心的3个几何性质： 圆心在过切点且垂直于切线的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 圆心在圆的任一直径上，且为直径的中点。67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？联立方程组关于x （或y ）的一元二次方程“”0 相交;0相切；0 相离68.
33、分清圆锥曲线的定义椭圆PF PF22a, 2a 2cIF1F2I第一定义双曲线|PFi| IPF2I2a, 2a2c |FiF2抛物线|PF |PK第二定义：e|pF c|PK| a椭圆；e 1 双曲线；e 1 抛物线2 269.与双曲线 笃 笃 1有相同焦点的双曲线系为a b22xy22ab70.在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？长，中点，斜率，对称存在性问题都在0下进行。）0的限制。（求交点，弦2弦长公式P1F21 k2 Xix24x1 x211 y1y2 2k4y2焦点弦：直线过抛物线的焦点F与抛物线交于Pi、P2两点，则线段线的焦点弦，且P1P2
34、x1x2P.通径：与对称轴垂直的焦点弦称为抛物线的通径，即右图的AB长,通径是抛物线的所有焦点弦中最短者;Pi P2称为抛物则有AB长=2p以焦点弦为直径的圆与准线相切。焦半径公式为:p2 F x072.有关中点弦问题可考虑用“代点法”如：椭圆mx2 ny21与直线y 1x交于M、N两点，原点与MN中点连线的斜率为，则m的值为2n答案:73.如何求解“对称”问题?(1 )证明曲线C: F (x, y)= 0关于点M (a, b)成中心对称，设 A (x, y)为曲线C上任意一点，设A'( x'，y')为A关于点M的对称点。y y'2x' 2a x, y' 2b y）只要证明A' 2a x, 2b y也在曲线C上，即f(x')(2)点A、A'关于直线I对称AA'丄 IAA'中点在I上kAA' kl1AA'中点坐标满足I方程x74.圆x2 y2 r2的参数方程为yrCOS （为参数）rsin2 2椭圆笃笃 1的参数方程为a bx a cos （ y bsi n为参数)76.对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。