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1、破解圆锥曲线离心率范围的常见策略、直接利用条件寻找 的关系求解例1 设，则双曲线 的离心率 的取值范围是A. B. C. D.解析 根据题意得小结 通过对题目已知条件的分析，尽可能直接建立离心率的不等关系来进行求解例2 椭圆的两个焦点分别为 ，斜率为 的直线 过右焦点，且与椭圆交于 两点，与 轴交于 点.若，当 时，求椭圆离心率的取值范围 .解析 设直线 的方程为.令，得 ，即点 的坐标为点 分 的比为 2，点 在椭圆上，将点 B 的坐标代入已知等式得，即.整理得.又小结 解答本题的关键是如何建立的取值范围，同时要注意椭圆离心率与 之间的关系，然后再利用隐含的范围为的取值范围来求解例3斜率为
2、2的直线过中心在原点且焦点在 轴上的双曲线的右焦点，与双曲线的两个 交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是A. B.C. D.解析 设双曲线的方程为 ，右焦点的坐标为 ，直线 的方 程为 .由 ，得根据题意得.于是有.选 D.小结 解答本题时，学生要将直线的方程与双曲线的方程联立后，使判别式大于零，同时 注意 .二、利用圆锥曲线的第一定义或第二定义求解例4 双曲线 的两个焦点为 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.解析 由双曲线的定义得 .故双曲线离心率的取值范围是.选 B.例5 双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离
3、心率的取值范围是A. B. C. D.解析 利用双曲线的焦半径公式有.又双曲线的离心率，所以选 C.小结 圆锥曲线上的点到焦点的距离或到准线的距离，通常要用它们的第一定义或第二定 义来建立联系 .三、利用圆锥曲线的范围 ( 有界性求解例6 椭圆的左、右焦点分别为 ， 为椭圆 上的任意一点，且 的最大取值范围是 ，其中 ，则椭圆 的离心率 的取值范围是.当时， ，.选 B.小结 确定椭圆上点 与 的等量关系，由椭圆的范围，即 建立 不等关系 .如果涉及到曲线上的点到焦点的距离的有关问题，可用曲线的焦半径公式分析.和圆四、利用数形结合求解例 7 如右图所示，椭圆( 其中 为椭圆的半焦距有四个不同的
4、交点，求椭圆的离心率的取值范围解析 要使椭圆与圆有四个不同的交点，只需满足小结 将数用形来体现，直接得到 的关系，这无疑是解决数学问题最好的一种方 法，也是重要的解题途径 .从以上四种求圆锥曲线离心率的范围的策略来看，我们要明确求离心率的范围的关键是 建立一个 的不等关系，然后利用椭圆与双曲线中 的默认关系以及本身离心率 的限制范围，最终求出离心率的范围 .【 高考预测题 】1. 若椭圆的离心率为 ，则 m为A. B.3 C.3或 D.162. 双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍，则A. B. C.D.3. 双曲线的离心率 的取值范围是A.(-6 ，6 B.(-12，0 C.(1 ，3 D.(0 ，124. 若双曲线 - =l 上一点 P到它的右焦点的距离为 4，则点 P到它的左准线的距离A.B.4 C.D.8 或5. 若椭圆 和双曲线 有共同的焦点 F1、F2，且 P 是两条曲线的一个交点，则 PF1F2 的面积是A.1 B. C.2 D.46. 曲线 的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D.7. 已知双曲线的渐近线方程是y=± x，则此双曲线的离心率是参考答案 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.C 7.