《最新1993考研数一真题及解析资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新1993考研数一真题及解析资料.docx（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品文档1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上.)(1)函数F(x) = (2 ；)dt(x aO)的单调减少区间为 _3x2 +2v2 =12l l 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,、. 3八2)处的指向外侧z = 0的单位法向量为_ 设函数f (x)-二X X2(-二：:X ：:二)的傅里叶级数展开式为a+瓦(an cosnx +bn sin nx),则其中系数b3的值为.2 n4设数量场u =1 n*x2 y2 z2 ,则 div (grad u) =. 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n
2、 -1,则线性方程组 Ax = 0的通解 为.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)sin X234(1) 设 f (x) = sin(t2)dt, g(x)=x3 +x4 则当 xt 0 时,f(x)是 g(x)的 ()(A)等价无穷小(B)同阶但非等价无穷小(C)高阶无穷小(D)低阶无穷小双纽线(x2 y2)2 =x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为()(A)2 o4 cos(B)4 4cos2vd)-0JI1 二-4(cos2r)2d =2 '0(C) 2 4 icos2rd
3、r(D)x 1设有直线L1:-口=z 8与L_Lx _ y = 6，：，则匚与L2的夹角为()2y z=31-21 “n(A)-(B)64JIJI(C)-(D)32 设曲线积分 J f (x) -exsin ydx - f (x)cos ydy与路径无关，其中f (x)具有一阶连续精品文档导数,且f (0) =0,则f(x)等于(A)-Xxe e(B)X e -e(C)2(D)x_X e e1 -2广1(5)已知Q = 2、32 34 t , P为三阶非零矩阵，且满足PQ = 0 ,则6 9(A) t =6时，P的秩必为1(B)(C) t = 6时，P的秩必为1(D)t = 6时,P的秩必为2
4、t = 6时，P的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分.)(1)求 lim(sin - xxxx 求微分方程x2 y ' xy = y2,满足初始条件y=1的特解四、(本题满分6分)计算.i i2xzdydz，yzdzdx-z2dxdy,其中二是由曲面 z= x2 y2 与 yZ2 -X2 - y2所围立体的表面外侧五、(本题满分7分)求级数n =0(-1)n(n2 -n 1)的和六、(本题共2小题，每小题5 分,满分10分.)(1) 设在0,：)上函数f (x)有连续导数,且f (x)_k 0, f(0) : 0,证明f (x)在(0,+：)内有且仅有一个零点(2) 设
5、 b a e,证明 abba 七、(本题满分8分)2 2 2已知二次型f(X1, X2,X3)=2X13x23x3'2ax2X3(a- 0),通过正交变换化成标准形2 2 2 t =屮 2y 5y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n : m , E是n阶单位矩阵，若AB二E ,证明 B的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数 v沿y轴正向运动.物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向 A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件十、填空题(本题
6、共2小题，每小题3分，满分6分，把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 .2(2) 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量丫二X在(0,4)内的概率分布密度 fY(y) =.十一、(本题满分6分)1设随机变量X的概率分布密度为f (x) e*1,-二：x ：.2(1) 求X的数学期望E(X)和方差D(X).(2) 求X与|X |的协方差，并问X与| X |是否不相关？(3) 问X与|X |是否相互独立？为什么？精品文档1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共
7、5个小题，每小题3分，满分15分.)1(1)【答案】0：x 4【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性x11将函数F(x)二d (2 -=)dt,两边对x求导，得 F(X)=2 -1 1若函数F (x)严格单调减少，则F (x) =2-.: 0,即x :：:Vx21所以函数F(x)单调减少区间为0 x .4【相关知识点】函数的单调性：设函数 y二f (x)在a,b上连续，在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f(x) .0,那么函数y = f(x)在a,b上单调增加; 如果在(a,b)内f (x) ：0,那么函数y二f (x)在a, b上单调减少.【答案】-1二0,、2,
8、、3 ?V5【解析】先写出旋转面 S的方程：3(x2 z2) 2y2 =12.F(x,y,z) =3(x2 z2) 2y2 -12.则S在点(x, y, z)的法向量为仁 £,工,£ =_6x,4y,6z1,I x :y : z所以在点(0, 3,2)处的法向量为n 二 丫0,4 '、3,6 '2、2、0,2 '.3,3f.因指向外侧，故应取正号，单位法向量为2b,2,3,3、2?_n_n|n|+(4 腐十(6厉L0,2、3,3、21 -0八 2,3?.3053精品文档2【答案】-：精品文档1 “【解析】按傅式系数的积分表达式bnf (x)sinnx
9、dx,1 二 2 二 1-2所以b3(二 x x )sin 3xdx =xsin3xdxx sin3xdx.I i2JX 2因为x sin 3x为奇函数，所以 x sin 3xdx二0 ;5xsin3xdx为偶函数，所以n：n：d =xs in 3xdx = 2 0 xsin 3xdx%刘（*0曲争0血。爲曲皿2 -2 sin3x2_=JT + I = JT .3 n 3032精品文档【答案】1【解析】先计算u的梯度，再计算该梯度的散度因为 grad u二丄i 土 : 昱：，excyczv222u :u :u : u ； u ；- u所以 divgradu)二 div ,22"J x
10、 : y : z x : y : z数量场u = In i x2y2 z2分别对x, y, z求偏导数，得；：u11 2xxx x2y2 z2 2、x2y2z22y2z2 y2 z由对称性知:u y:u:zx2y2z2a r:x，分别对x, y, z求偏导，得-y : z-2 , 2 2 2 2 2 2:'u(x yz )x 2x yz- _-2 / 22 2、2_/22 2、2-x(x y z )(x y z ).2y2.2 2z x y(x y z ).*.2:u2 -'zx2 y2 -z2,2 . 2.2.(x y z )精品文档精品文档div (grad u).2 .2
11、 .2； u.1 u； u+ 2 + 2 .x鋼；z1x2y2z2【答案】k(1,1川,1)T【解析】因为r(A)二n 一1,由n 一r(A) =1知，齐次方程组的基础解系为一个向量，故Ax =0的通解形式为 k .下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导Ax = 0的一个非零解，它就是Ax = 0的基础解系各行元素的和均为 0,即4 +盹川+弘=0 a21 +MI+a2n=0IHIHIIHIHIIIIIIIIIH日1 +%2川+為=0而齐次方程组Ax = 0为'1X1 +62X2 +Hi+a1nxn =021x1+822x1 +a2nXn =0'IHIIIIIII
12、IRIHIIIIIIHIIIIIIIII為人* 8.2X2 *川為召=0两者比较,可知为=x2 = |l( = xn =1是Ax = 0的解.所以应填k(1,1川,1)丁 二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】lim 血为“ 0 ”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在x 0 g(x) 0运用洛必达法则，有XXf gm-.H Xsin x2o sin(t )dt洛x3x4sin(sin 2 x) cosxC 2 丄33x 4xsin(sin2 x)C 2 丄33x 4xlim cosxx >0sin (si n x)=lim 23x 0 3
13、x 4x因为当 x 0 , sin x； 0,所以 sin(sin 2.sin (sin x)x11 x) sin2 x_ x2,所以 所以f (x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,:(x), - (x)为无穷小且存在极限lim 土二I ,P(x)(1)若1=0,称:(x), -(x)在该极限过程中为同阶无穷小； 若1=1,称(x), -(x)在该极限过程中为等价无穷小，记为: (x -(x)； 若I =0,称在该极限过程中：(x)是-(x)的高阶无穷小，记为:(x) = o -(x).若lim '凶不存在(不为：),称
14、(x), ' (x)不可比较.B(x)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称,(如草图)L1与L2的方向向量分别是只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂，而极坐标方程 较为简单：严=cos2v.显然,在第一象限部分 二的变化范围是 兀 0, .再由对称性得44二二S=4S=4 1 /"心-"cos ,应选(A).【答案】(C)k0 =(T,T,2),1【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题4斗i jh =(1,-2,1),1-10 2L1与L2的夹角的余弦为&应选(C).【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区
15、域上，该曲线积分与路径无关匕丄(f (x)-ex)sin y)二厶(_f(x)cos y),y；x即(f (x) - ex)cos y 二 _ f (x)COS y ,化简得f (x)十 f (x) =ex,即ex f (x = e2x,1 1解之得ex f (x)e2x C，所以 f(x)=eqe2x C).1i由f(0)=0得C ,因此f (x)(ex-e)，故应选(B).【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是cP cQ.:y；:x【答案】(C)【解析】若 A是m n矩阵，B是n s矩阵，AB=0,则r(A)，r(B)乞n.当t =6时，矩阵的三行元
16、素对应成比例，r(Q) =1,有r(P) r(Q)乞3,知r(P)乞2,所以，r(P)可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当t=6时，矩阵的第一行和第三行元素对应成比例 ，r(Q) = 2,于是从r(P) r(Q3得r(P)叨，又因P=0,有r(P) _1,从而r(P) =1必成立，所以应当选(C).三、(本题共3小题，每小题5 分,满分15分.)1(1)【解析】令 t,则当x 、:时，t7,x2 1 x lim(sincos-)xxf：x x1=lim(sin 2t cost)t,这是1：:型未定式，11sin2t "cost -4lim(sin 2t cost)t
17、 = lim(1 sin2t cost -1)sin2t cost t1而 lim(1 sin2t ' cost -1)sin2t cost 是两个重要极限之一，即所以【解析】1lim(1 sin2t cost1)sin2t cost=e.1sin 2t 4cost 二向 sin 2t dcost _1lim(sin 2t+cost)t = lim e t=et_0t .t_0t_0sin2t cost12cos2t -sintlim洛 lim2,t 0 tt 卩 1lim(sin - cos1)% 二e2.x x x一?_dx=2 xd ex 一1 = 2x , ex 一1 一 2
18、e 1dx. ,ex-1方法_QLplX令、ex 1 =t,则 x = In(t2 1),dx = -t2 =2 飞 dt t 1所以ft俏1= 2(”)dt=2t-2arctant C =2 , ex-1-2arctan ,ex-1 C,所以x xe一dx = 2x ex -1 -2 ex -1dx,ex -1方法二 2x . ex14、, ex -1 4arctanex1 C .:令.ex -1 = t,则 ex = t2 1,x = In(t2 1),dx =，所以xxex dx 二.ex -1心1)*1)2 dt=2 M 1)dtt2 1t 2222t-2tln(t21) 2 td I
19、n(t21)=2tln(t21) 42 dt .L t +1关于t21t dt的求解同方法一，所以xyodx 二 2t ln(t2 1) -4(t -arctant) C ,ex -1=2x ex -1 -4、ex -1 4arctan、ex -1 C .(3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程，两边除以y2得x2yQyxy 4 = 1,即-x2(y ) xy 4 = 1.1 2 1 令讨一 =Z,则方程化为-X Z ' XZ = 1,即z Z =Xz1即(？)丄，XX积分得 z 1x2 c.x 212 ，X=z 得x ° C ,2xy 一 1 2Cx2代入初始条件y 1x
20、4 = 1,得1 2XC2所以所求方程的特解是“cxy 2解法二：所给方程可写成y =()-的形式，此方程为齐次方程.X X令=u ,则y = xu, y = u xu ,所以方程可化为 Xu xu 二u2 -u ,分离变量得dudxu(u-2) x=2z z 2z = z.积分得 In| |=l n|x|+G,即 u_ =Cx2.2 丨 u |u以=u代入上式，得y -2x = Cx?y .代入初始条件y |x=1 = 1,得C - -1,X2X故特解为y2 .1 +x四、(本题满分6分)【解析】将I表成I二 Pdydz - Qdzdx - Rdxdy,则y沪g-f- -J-.X;:y:z又
21、三是封闭曲面，可直接用高斯公式计算.记匕围成区域I ,见草图，二取外侧，由高斯公式得“兰卫 MdV二 zdV.r r r i nir r rc ；y z门用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,'为：0 _二_ 2：，0,02 ,于是4=zdV 二 o 宀 °4d' ： cos"2si=2二 04sin dsin o1=2 sin_2"4<P-01n=2 1 42五、(本题满分7分)【解析】先将级数分解n=02nr_1)nn(n-1)+(.J 22nn=0第二个级数是几何级数,它的和已知叫1、(-丄)nn =02求第一个级数的和转化为幕级
22、数求和考察所以oO- (-Dn=0二丄(|x 卜：1).S(x)二' (-1)n n(n -1)xn，n =eqQr(-1)nxn)'(n -03、(1 x)：(-1)n n(n-1)1 S(1)12存 S(2)=4 荷)327n =02n因此原级数的和2 22r =3 27六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知，在(0,x)存在一点',使得f(x)-f(O) = f ( )(x-0) = xf (),即 f (x) =xf ( ) f (0).因为 f ( ) _k 0 ,所以当时，xf)一-',故 f (x
23、).由f (0) :：: 0,所以在(0, x)上由介值定理可知,必有一点 (0, x)使得f ( )=0.又因为f)_k . 0 ,故f (x)为严格单调增函数，故 值唯一.证法二：用牛顿-莱布尼兹公式，由于xxf(x)= f (0) + 0 f (t)dt Z f (0) + 0 kdt = f (0) +kx, 以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形：因为b a e,故原不等式等价于 bln a alnb或耳？.a ba 证法一：令 f (x) = xln a -a ln x, (x a . e),则 f (x) =ln a .x因为 x a e,所以 lna 1,- ： 1,
24、故 f (x) =1 na-空 0.xx从而f(x)在x . a e时为严格的单调递增函数，故 f(x) .f(a)=0, (x . a . e).由此 f(b)=bln aalnb0,即 abnba.ln x1 -l nx证法二：令 f (x)(x e),则 f (x)2.xx当x (e, 二)时，f (x) ： 0 ,所以f (x)为严格的单调递减函数，故存在b a e使得成立.即ab ba.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f(b)nb"(a) 3a2 0f的矩阵为A = 03卫 a0a ,它的特征方程是3丿九2| 入 E-A|=000 0丸一3_a =(丸_2)(&
25、; 2 _6九十9_a?) = 0.a九一32 2 2f经正交变换化成标准形f二如 2y2 5y3,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A的特征值.把 -1代入特性方程，得a2 -4 = 0 = a = 2. 00、因a >0知a = 2.这时A = 0321° 2 3对于 3 =5,由(5EA)x = 0,30i002-20-22"3000-10,得 X3 =(0,1,1)T .-1 0 0、1 0 0、对于入=1,由(E A)x = 0,0-2-2T0 1 10-2-2,© 0 0广000 ''0 1 2'对于)2= 2 ,由(
26、2E A)x =0,0 -1-2T0 031° 一2 -b<0 0 °丿,得 Xi =(0,1 -1)T .,得 X(1,0,0)T.将Xi,X2,X3单位化，得0、1厂1故所用的正交变换矩阵为P=( 1, 2, 3)=01211石丿【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量x,x2|,xn的二次齐次多项式（即每项都是二 次的多项式）n nf (X1,X2,ill,Xn )二送瓦 ajXXj,其中 aj =aji ,i=1 j=1称为n元二次型令X二X1,X2,l|l,Xn T, A二aij ,则二次型可用矩阵乘法表示为f X1,X2,l",Xn =XTAX,
27、其中A是对称矩阵 AT二A ,称A为二次型f X1,X2l,Xn的矩阵.八、（本题满分6分）【解析】证法一：对B按列分块,记BNsoM*),若ki ：1 k2 ：2 IIIkn ：n = 0 ,两边左乘C2,川Jn)k2=0, 亦即 B%、k2A,得 AB广kk2k2E*=0,亦即f*lkn lkn丿kn二 0.所以 n线性无关.证法二：因为B是m n矩阵，n：m,所以r(B)岂n.又因r(B) _r(AB) =r(E)二n,故r(B)二n.所以川n线性无关.【相关知识点】1.向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数 k1,k2ni,km,使ki： 1匕2 川km：m=0,则称12
28、,ll(m线性相关；否则,称12,川，：冷线性无关.2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩 九、(本题满分6分)【解析】如图，设当A运动到(0,Y)时，B运动到(x,y).由B的方向始终指向A,有或二口，即dx x -0Yy-x.(1)又由吧,”莎齐,得=2dYdt由题意,X单调增，行°所以dxg)2哼亦即dxdY由(1),(2)消去丫，£丄，便得微分方程dx2xy 1 y2 =0.初始条件显然是y(_1) =0,y(_1) =1.十、填空题(本题共2小题，每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1)【解析】可以用古典概型，也可以用抽签原理.方法一：从直
29、观上看，第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关，所以考虑用全概率公式计算.2 10设事件Bi二“第i次抽出次品” i =1,2,由已知得P(B),P(BJ,12 121 _ 2 、1111P(B21 B1), P(B2 | B1).应用全概率公式2 1 10 2 1 "B沪 P(B1)P(B2|B1)P(B1)P(B2|B1)兀石/ 1V6方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得2 112 6次品的概率相同，都是二=丄.(2)【解析】方法一：可以用分布函数法，即先求出分布函数，再求导得到
30、概率密度函数由已知条件，X在区间(0,2)上服从均匀分布，得X的概率密度函数为1，0 :： x ： 2Fx(x)二 20,其它先求F的分布函数FY(y) = P(Yy) = P(X <y).当 y 一 0 时，fy (y) = 0 ；当 y - 4 时，FY(y) =1 ；当 0 ： y ： 4 时，FY(y)二 PY 乞 y' PX2 <y = Py - XG即瓦卜)二0,21,y - 4.y.yFx(x)dx =于是,对分布函数求导得密度函数1=,° :. y 4fY(y)二 FY(y)二 4,.y°, 其他1故随机变量Y = X2在(°,
31、4)内的概率分布密度fY(y).方法二：也可以应用单调函数公式法.由于y =x2在(°,4)内单调,反函数x二h(y) , y在(°,2)内可导,且导数1h (八£二恒不为零因此，由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量 丫的概率密度为fh"(y) fX Ih(y), 0cyv4i尸fY(y)2“ 2丨°,°,其他故随机变量Y = X2在(°,4)内的概率分布密度fY(y)° ： y ： 4,1：y,°V4,其他，°, 其他.1卜一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题，直接运用公
32、式对其计算可得期望与方差:x lxiE(X)xf(x)dxe4xd°.(因为被积函数x e図是奇函数，积分区域关于y轴对称，所以积分值为°.)2-be 2毗X2 ixD(XH . .x2f(x)dxe4xdx1x2e我dx偶函数积分的性质一"bo2x2edx=x2edx= x2e严十2xedx= 2(xe严+fVdx)=2(才 0：)=2. 根据协方差的计算公式 cov(X,Y)二E(X |X |)E(X)E(| X |)来计算协方差. x因为 E(X) xf(x)dxedxO,所以2Cov(X,Y) = E(X |X |) -OE(|X |) = E(X |X
33、|)"胡ix|x | x | f (x)dxx |x |e4x|d 0.2(因为被积函数 x I x|e4x1是奇函数,积分区域关于y轴对称,所以积分值为0.)2所以X与I X I不相关.方法一：对于任意正实数 a(0 : a :),事件q X卜：a?含于事件'X : a?,且0 : P : X :：a? ：1,所以PX :a,| X|：a'P|X|：al PX : a?P| X 卜：a： P 1|X 卜：a?,可见Pfx :：a,|X |：a心 P|X |：aBX :： a?,因此X与| X |不独立.丄2e11 彳七亡*1d.方法二：因为PXM=Jqf(x)dx可忑edx=1-J 2edxw+尹讣=1显然有又 P X _1 = J(x)dx 二 'edx 二 d = -ePX 1, X 一1二 P X -1 -PX -1 P X 一1，因此 X 与 |X | 不独立.lim 23 lim 23 =limx )0 3x 4x x 0 3x 4x x 3 4x 3