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1、实用标准圆锥曲线轨迹方程的解法目录一题多解 2一.直接法 3二相关点法 6三几何法 10四参数法 12五交轨法 14六定义法 16文案大全亠题多解设圆C： (x- 1) 2+y2=1,过原点0作圆的任意弦0Q求所对弦的中点P的轨迹方程。直接法设P (x,y ), 0C是圆C的一条弦，P是0Q的中点，贝U CPI OQ x工0,设0C 中点为M( 1,0 ),则|MP=2 |Oq=l,得(x 丄)2+y2=丄(x工0)，即点P的轨222241 2 2 1迹方程是(x 1) +y =- (0 vx< 1)。24二定义法/OPC90。，：动点P在以M(丄,0 )为圆心，OC为直径的圆(除去原点
2、2O)上，|OC=1，故 P 点的轨迹方程为(x 1 ) 2+y2=- (0 v x < 1)24三相关点法设 P (x,y ) , Q；X1,y1)，其中 0,x1=2x,y 1=2y,而(X1 1) +y =1 (2x 1)2+2y2=1,又 X1M 0,1 2 2 1 x 工 0,即(x ) +y =(0 v x < 1)4四.参数法设动弦PQ的方程为y=kx，代入圆的方程(x 1) 2+kx2=1，即(1+k2) x2 2x=0, X1 X2务1 +k2设点 P (x,y )，贝U x = ' X(0,1, y = kx21+k21 + k2消去 k 得(x - )
3、 2+y2=-(0 v x< 1)24另解 设 0点(1+cos 0 ,sin 9 )，其中 cos B 工一1, P(x,y )，则 x=1 C°S1 (0,1, yr,消去 9 得(x 1 ) 2+y2=- (0 vx< 1)2224亠直接法课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生 关系，这时，设曲线上动点坐标(x, y)后，就可根据命题中的已知条件研究动点 形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x、y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法。例题1等腰三角形的定点为A(4,2)，底边一个端点是B
4、(3, 5)，求另一个端点C的 轨迹方程。练习一1.已知点A( -2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB = x2。求点P的轨迹方程。2.线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程？I pa3.动点P(x,y )到两定点A(_3,0)和B(3,0)的距离的比等于2(即：=2 )PB求动点P的轨迹方程？4.动点P到一高为h的等边 ABC两顶点A B的距离的平方和等于它到 顶点C的距离平方，求点P的轨迹？* 5.点P与一定点F (2,0)的距离和它到一定直线x二8的距离的比是1: 2 求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。 7.已知P(
5、4,0)是圆x2 y2 =36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足/APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程。8.过原点作直线I和抛物线y =x2 -4x 6交于A、B两点，求线段AB的中点 M的轨迹方程。二.相关点法利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻它们坐标之间的 关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。例题2已知一条长为6的线段两端点A、B分别在X、丫轴上滑动，点M在线段AB 上，且AM : MB=1 : 2，求动点 M的轨迹方程。练习二1.已知点P（xo，y°）在圆x 2.设P为双曲线-y2 =1上一动点，0为坐标原点，M为线段0P的中
6、z-点。求点M的轨迹方程。 y2 /上运动，求点M；2x, y°）的轨迹方程。3.设F(1,0) , M点在x轴上，P点在y轴上，且MN =2MP , PM丄PF, 当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。4.已知 ABC勺顶点B(3,8)，C( 1,一6)，顶点A在曲线y2=4x上运动, 求厶ABC重心G的轨迹方程。5.已知A、B、D三点不在同一条直线上，且A(-2,0)、B(2,0)，AD = 2， 1AEQALAD)，求 E点的轨迹方程。6. ABC勺三边AB BG CA的长成等比数列，且 AB a AC，点B C 坐标分别为（一1,0）、（1,0），求定点A的轨迹方程。7.已
7、知点A（ -2,0），P是圆O: x2 y 4上任意一点，P在x轴上的射影,TT为Q，QP =2QG，动点G的轨迹为C,求轨迹C的方程。2 28.已知椭圆 y 1上任意一点P,由点P向x轴作垂线段PQ垂足为Q，49点M在PQ上，且PM -2MQ，点M的轨迹为C,求曲线C的方程。9.如图，从双曲线C ：x2 y2 =1上一点Q引直线l : x 2的垂线，垂足为 N，求线段QN的中点P的轨迹方程。10.已知双曲线x2 -y2 =2的左、右焦点分别为Fi、F2，过点F2的动直线与 双曲线相交于A、B两点。（I ）若动点M满足F1M二RA F1B FQ （其中0为坐标原点），求点M的 轨迹方程；（II
8、 ）在x轴上是否存在定点C,使CA CB为常数？若存在，求出点C的坐 标；若不存在，请说明理由。三.几何法求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知 识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的 等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程， 这种求轨迹方程的方程的方法称为几 何法。例题3已知定点A(2,0)，点P在曲线x2 y1 (x = 1)上运动，/ AOP勺平分线交 于Q点，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。练习三AB1.如图，在正方体 ABCD-AQD中，P是侧面BG内一动点，若P到直 线BC与直线CD的距离相等，求动点P的轨迹所在的曲线2.
9、已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与 X轴交于点A,过点C 且与直线CA垂直的直线CB与丫轴交于点B。设点M是线段AB的中点，求 点M的轨迹方程。3.已知经过点P（4,0）的直线li，经过Q （一1,2）的直线为12，若li丄12，求li与12交点S的轨迹方程。4.求圆心在抛物线y2 =2x（ y 0 ）上，并且与抛物线的准线及x轴都相切 的圆的方程。5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 FC. 7 ,0），直线y二x 1与其相交于2M N两点，MN中点的横坐标为-2,求此双曲线方程。36.已知动点P到定点F （1, 0）和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨 迹方程。四.参数法有
10、时候很难直接找出动点的横、纵坐标之间关系。如果借助中间量(参数), 使(x,y)之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得动点 的轨迹方程。例题4过不在坐标轴上的定点 M (a , b)的动直线交两坐标轴于点 A、B,过A、B坐标 轴的垂线交于点P,求交点P的轨迹方程。练习四I2交1.过点P(2, 4)作两条互相垂直的直线I, y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。2. 一个动圆的解析式为x2 y2 4bx -2by 6b2 -4 = 0，求圆心的轨迹方程。3. 过圆O: x2+y2=4外一点A (4, 0),作圆的割线，求割线被圆截得的 弦BC的中点M的轨迹。4. 点A(
11、1 , 1) , B C是圆x2 y4上的动点，且AB丄AC,求BC中点P的轨 迹方程。五.交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标 X、丫分别 表示两条曲线方程，然后联立消去参数便得到交点的轨迹方程， 这种方法称为交 轨法。例5已知直线I过定点（0,3），且是曲线屮二4x的动弦PR的中垂线，求直线I与 动弦PiP2交点M的轨迹方程。练习五1.求两条直线x - my -1 = 0与mx y 1 = 0的交点的轨迹方程。2.当参数m随意变化时，求抛物线y = x2 2m 1 x m 1的顶点的轨迹方程。2 23.设A、A是椭圆 1 1的长轴两个端点，Pi、P2是垂直于AA的
12、94弦的端点。求直线AiPi与AR交点的轨迹方程。2 2Xy4.已知双曲线 牙=1 (m > 0, n >0)的顶点为A、A，与y轴平行的直线I交双mn曲线于点P、Q求直线AiP与AQ交点M的轨迹方程。2 25.已知椭圆=1，直线I2416=1 , P是L上一点，射线 0P交椭圆于R,12 82有点Q在OP上，且满足OQ|OP =OR，当P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。定义法求轨迹方程时，若动点轨迹的条件满足某种已知曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法。常见已知曲线：(1)圆：到定点的距离
13、等于定长(2)椭圆：至俩定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）(3)双曲线：至俩定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）(4)抛物线：到定点与定直线距离相等。例题61. 设圆x已知 ABC勺顶点A，B的坐标分别为（-4,0），（4,0），C为动点，且满5足sinB si nA si nC。求点C的轨迹。4 y2 2x -1 0的圆心为A，直线I过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。证明EA EB为定值, 并写出点E的轨迹方程。练习六1.已知圆M （x+1）?+y2=1，圆N: （x1+y2=9，动圆P与圆M外切并 且与圆N内切，圆心P的轨
14、迹为曲线G求C的方程。2.动点P到直线x=6的距离与它到点（2，1）的距离之比为一 5,则点P的轨迹是什么？3.点M到点F （4，0）的距离比它到直线x *5 = 0的距离小1。求点M的轨 迹方程。4.已知 ABC中，.A、. B、 C的对边分别为a、b、c,若a,c,b依次构成等差数列，且a c b，AB =2，求顶点C的轨迹方程。5. 一动圆过点F(_3,0)且与已知圆(x3)2 y2=4相切，求动圆圆心 P的 轨迹方程。6.设向量i，a = (x 3) i y j，的轨迹方程。j为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量P(x,y)b=(x-3)i y j，且a - b = 2，求满足上述条件的点7.已知圆x2 y4上有定点A (2,0)和两动点B、C,且恒有/ BAC=，3 ABC的重心的轨迹方程。