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1、高三数学第二轮专题讲座复习：几种常见解不等式的解法高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个
2、问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数； (2)解不等式 f(x+)
3、f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求t的取值范围 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x+1，1，1，1必不可少，这恰好是容易忽略的地方 技巧与方法 (1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔 (1)证明 任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2)解 f(x)在1，1上为增函数，1 / 5 解得
4、x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 例2设不等式x22ax+a+20的解集为M，如果M1，4，求实数a的取值范围 命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系 知识依托 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间
5、的关系，以及分类讨论的数学思想 错解分析 M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错 技巧与方法 该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗 解 M1，4有两种情况 其一是M=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，M=1，4(2)当=0时，a=1或2 当a=1时M=11，4；当a=2时，m=21，4 (3)当0时，a1或a
6、2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得 2a，M1，4时，a的取值范围是(1，) 例3解关于x的不等式1(a1) 解 原不等式可化为 0，当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解 由于原不等式的解为(，)(2，+) 当a1时，原不等式与(x)(x2) 0同解 由于,若a0，,解集为(，2)；若a=0时，解集为；若0a1，,解集为(2，)综上所述 当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2） 学生巩固练习 1 设函数f(x)=，已知f(a)1，则a的取值范围是( )A (，2
7、)(，+)B (，)C (，2)(，1)D (2，)(1，+)2 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，则f(x)·g(x)0的解集是_ 3 已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_ 4 已知适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3 (1)求p的值； (2)若f(x)=，解关于x的不等式f-1(x)(kR+)5 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论 参考答案 1 解析 由f(x)及f(
8、a)1可得 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范围是(，2)(，1）答案 C2 解析 由已知ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0的解集是(b，a2)，g(x)0的解集是() 由f(x)·g(x)0可得 x(a2，)(，a2)答案 (a2，)(，a2)3 解析 原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根 令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2 答案 2，24 解 (1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3，x30，|x3|=3x 若
9、|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p 原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8 (2)f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k 1x1，kR+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1 5 解 由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=1，由f(x)2x2+2x+推得f(1) 由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax2+x+(a) 依题意 ax2+x+(a)x2+对一切xR成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1易验证 x2+x+12x2+2x+对xR都成立 存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切xR都成立 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！