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1、余数问题【内容概述】各种与余数有关的整数问题，其中包括求方哥的末位数字，计算具有规律的多位数除以小整数的余 数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等.【典型问题】 1级数:* .'.b- j jji »v.i1992年全国小学数学奥林匹克决赛第8M1 .号码分别为101,126,173,193 的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？【分析与解】因为两个数和的余数同余与余数的和.有101,126,173,193 除以3的余数依次为 2,0,2,1 .则101号运动员与126,173,193号
2、运动员依次进行了2,1,0盘比赛，共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,1盘比赛，共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛，共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛，共1盘比赛.所以，打球盘数最多的运动是126号,打了 5盘.评注：两个数和的余数，同余与余数的和；两个数差的余数，同余与余数的差；两个数积的余数，同余与余数的积.北京市第三趟"迎舂杯"数竽竞赛:决舞第一题第9邀2 .自然数2*2。苫*2-1的个位数字是多少 ？67个2【分析与解】我们先计
3、算 22% M2的个数数字，再减去1即为所求.（特别的如果是 O,那么67个2减去1后的个位数字因为借位为9）将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数，同余余数的积.有2除以10的余数为2,2X2除以10的余数为4, 2X2X2除以10的余数为8,2X2X2X2除以 i0的余数为6;2X2X2X2X2除以i0的余数为 2,2父2<父2除以10的余数为 4. ,2M 2月父2除以10的余数为6个27个28, 2乂24尸m2除以10的余数为6;8不2也就是说.个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环.因为67+4=163 ,所以2m 2因2父2以10的余数同余与2X2
4、X2，即余数为8,所以 67个22 M 2)2 M/2-除以10的余数为7-即2 m 2 M、2 x 2-1的个位数字为 7.6712评注：n个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环.3 .算式7+7X 7+ 7父7计算结果的末两位数字是多少?1990,个 7【分析与解】我们只用算出7+7X 7+7 7x7x_ X7的和除以100的余数，即为其末两位数字.1990个 77除以100的余数为7, 7X7除以100的余数为49,7X7X7除以100的余数为43,7 X7 X7X7除以 100的余数等于43 X 7除以100的余数为1 ;而7。7 % M7除以100的余数等于 7X7X
5、. X7X7的余数，即为7,5个74个7这样我们就得到一个规律7X7人.父7除以100所得的余数，4个数一循环，依次为7,49,43,1 .n不71990+ 4 =4972,所以7+7X 7+-+7X 7X +7x7q乂 7的和除以100的余数同余.1990 个 7497X(7+49+43+1)+7+49=49756，除以 100 余 56.所以算式7+7X7+-.7 计算结果的末两位数字是56.199诉 7级数：*4. 1990- 1990除以9的余数是多少？【分析与解】 能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除，如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a而得到的新数一定能被 9整除，因而这
6、个新数加上a后再除以9,所得的余数一定为 a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数.1990.1990的数字禾口为 20X(1+9+9+0)= 380, 380的数字和又是 3+8=11,11除以9的余数为2,所以20个19901990.1990除以9的余数是2.20个1990级数：*5 .将1,2,3 , ,30从左往右依次排列成一个51位数，这个数被11除的余数是多少？【分析与解】 1,2,3,台。这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456-910-15192021 -25-2930记个位为第1位，十位为第2位，那么：它的奇数位数字和为 ：0+9+8+7+6+-+1+
7、9+8+7+6 +-+1+9+7+5+3+1=115）：它的偶数位数字和为：3+ 2 +2+.十十2 + 1+1 +1+ 1+8+6+4+2=53;它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115 53: 62.而62除以11的余数为7.所以将原来的那个 51位数增大4所得到的数123456910 -15 -192021 -25 -2934 就是11倍数， 贝1将12345691015192021252934 减去4所得到数除以 11的余数为7.即这个51位数除以11的余数是7.评注：如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A减去偶数位数字和B的差A-B=C，再用C
8、除以11所得的余数即是原来那个数的余数.（如果减不开可将偶数位数字和B减去奇数位数字和 A,求得B-A=C,再求出C除以11的余数D,然后将11-D即为原来那个数除以 11的余数）.如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12，偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3.又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9，偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和，那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的 余数.解检:级黜* 一；箜空第十届“迎
9、春杯”数学竞赛电费第二题第4题6 .一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数）数字是多少？商的个位数字是多少？余数是多少？【分析与解】这个数即为3333,而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个1994 个 3新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数.显然有333333能够被13整除，而1994+ 6 =332 6个32,即 3333= 233丫 333 33 = 333333十 331994个 3332>6 个 3 2 个 3332 >6 个 3而333V33300杲13的倍数，所以333_3除以13的余数即为33除以
10、13的余数为7.有333333M3 =25641，而 阵广33.13 = 25641025641，所以33即_33除以13所得的商每6个6a312个3k个3数一循环，从左往右依次为 2、5、6、4、1、0.200+6=332，所以除以3333所得商的第200位为5. 333一3除以13的个位即为33除以13 1994个31994个3的个位，为2.即商的第200位（从左往右数）数字是5,商的个位数字是 2,余数是7.敏漫级数：* * *星三届“华罗庚金杯:1少年数学遒请费决赛二试第3题7 .己知：a=199119911991.1991问:a除以13的余数是几？1991个 1991【分析与解】因为
11、199119911991能被13整除,而1991 + 3=6632.3 / 6有a= 19911991工9911991=199119911991X1000 +199119911991X1000 +199119911991 x19914t 199f7964 12个 0796412 个 0000 +199119911991X 1000 + - + 199119911991X 1 000 + 199119917964-36 个 07964-48 个 02必个 0所以a除以13的余数等于19911991除以13的余数8.鳗级数:*舞一届“坐罗度金杯”少年敕学邀请夏,复赛第5题8 .有一个数，除以3余数
12、是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几？【分析与解】我们将这个数加上 7,则这个数能被3整除，同时也能被4整除，显然能被12整除，所以原来这个数除以12的余数为12-7=5.级数:*章m4至全区上学教学奥林匹克,决赛民族卷第5题9 .某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被 26除余数是多少？【分析与解】我们将这个数减去63,则得到的新数能被 247整除，也能被248整除，而相邻的两个整数互质，所以得到的新数能被 247X 248整除，显然能被26整除.于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11.所以这个自然数被 26除余数是11 .级数：*第
13、十三届1迎春怦:数学竞赛决赛第三典第3题10 .一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少 ？【分析与解】这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为 23n+7,则有19m+9=23n+7,即23n-19m=2,将未知数系数与常数对19取模，有4n三2(mod 19).n 最小取10时，才有4n三2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23X10+7=237.评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系，反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解.级数,*等耳届:争罗庚金杯年数学遨请赛复赛第4期11 .如图15-1,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明
14、像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，8S 15-1每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到 B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到 B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个 孔？【分析与解】 设这个圆圈有n个孔，那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除.则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数又7取模,有t+1三0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15X6+1=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91.即这个圆圈上共有
15、91个孔.级数：*为3年全国小学数学奥林匹克我爱教学”夏令营二试第5题12 .某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是 1,2,3 ,，12.他们的电话号码依次是 12个连续的六 位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被 13整除，问这一家的电话号码是什么数 ？【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,12整除，显然有凡能同时被1,2,3, ,12整除.即n为1,2,3, ,12的公倍数.1,2,3,，12=2 3X 3 2X 5X 7X 11=277
16、20，所以n是27720的倍数，设为27720k.则有第9家的门牌号码 为27720k+9为13的倍数，即27720k+9=13A.将系数与常数对 13取模有：4k+9三0(mod 13),所以后可以 取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,n+12,为六位数，且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720X 14=388080.那么门牌号码是 9的这一家的电话号码是388080+9=388089.的蟆级数：*c O 11.工" .' 北京市第十届，迎春杯”数学竞赛*决赛第一题第g题13 .有5000多根牙签，可按6种规格分成小包.如果10根一包，那么
17、最后还剩 9根.如果9根一包，那么 最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是，分别以8,7,6,5 根为一包，那么最后也分别剩 7,6,5,4 根.原来一共有牙签多少根 ？【分析与解】 设这包牙签有 n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成 9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包.所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数.10,9,8,7,6,51=23X3 2X5X7=2520，即 n+1 是 2520 的倍数，在满足题下只能是 2520X 2=5040，所以 n=5039.即原来一共有牙签 5039根.的。级数；*14 .有一个
18、自然数，用它分别去除63,90,130都有余数，3个余数的和是 25.这3个余数中最大的一个是 多少？【分析与解】设这个除数为 M,设它除63,90,130所得的余数依次为 a,b,c,商依次为A,B,C .63+M=Aa90+M=Bb130-M=C- - ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C) X M,即 283- 25=258=(A+B+C)X M所以M是258的约数.258=2X 3X43，显然当除数 M为2、3、6时,3个余数的和最大为 3X(2- 1)=3 , 3X(3-1)=6, 3X(6-1)=15,所以均不满足.而当除数M为43X2,43X
19、3,43X2X 3时，它除63的余数均是63,所以也不满足.那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足.显然这3个余数中最大的为 20.骸级数.15 .一个数去除551,745,1133,1327 这4个数，余数都相同.问这个数最大可能是多少？【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同，所以有551,745,1133,1327 两两做差而得到的数一定是除数A的倍数.1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582这些数都是 A的倍数，所以A是它们的公约数，而它们的最大公约数(194, 388, 194, 582, 776, 582)=194 .所以，这个数最大可能为194.7 / 6