《概率论练习答案概要教学文案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论练习答案概要教学文案.docx（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习-好资料更多精品文档概率论第二章练习答案、填空题:1 .设随机变量 X的密度函数为f(x)= *'2x0:1则用Y表示对X的3次独立重复 其它1的观察中事件(XW )出现的次数，则 P (Y = 2)2P(X 岂：)=2 2xdx 二 £64且EX =3-ax+b0<x<1f (x)=-I 0其他1，则 a =-2，b =22.设连续型随机变量的概率密度函数为:p(丫 =2)七証"11 10曲b)dx = 3解之3.已知随机变量 X在10 , 22 上服从均匀分布，则 EX= 16DX= 124.设为随机变量，E =3, E 2 =11,则 E (4
2、'10) =_4E T0 = 2232D(410) =16D=16 E 2 -( E )25.已知X的密度为 (x)二ax b0 x 1其他，且=P(X>1)，贝q a =3-x) dx =1P - x丄)311联立解得:-(ax b) dx=(ax b) dx6.若f（x）为连续型随机变量 X的分布密度，则"f （x）dx= _120,7.设连续型随机变量E的分布函数F(x) = <x2/4, .1,P ( E =0.8 ) =_0; P(0.2 ：: 6) = 0.99x ： 00 空 x ： 1，则x_28. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概
3、率密度（x）=罗-100 ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不0（其他）需要更换的概率为8/27100xx N00(x)=其它150100100 150 , 2 ,2P (匕150 =1 F(150)=1 需0dx = 1+|00 =1十一一1=xx33芦32 38P(> 150)=( )= 3279.设随机变量X服从B(n, p)分布，已知EX = 1.6, DX = 1.28，则参数n =P=EX = np = 1.6DX = npq = 1.2810.设随机变量布，若，解之得：n = 8 , p = 0.2x服从参数为（2, p）的二项分布，Y服从参数
4、为（4, p）的二项分5,贝U P （Y 羽）=65/819解:p(X5/4-1)p(X 1) p(X =0)99421q , p =933p(Y _1) =1 - P(Y 二 0)11.随机变量0 o 4=1_C p q4-X N (2, a ),且 P=1 -8116 65 =80.2%81(2v Xv 4) =0.3,贝U P (X v 0) =024222P (2 ： X :：: 4)= P (X :：: 4)- P (X :：: 2)=<>0) 一门。)=0.3CTCT2 2即：门 0()一门0(0)=0.3,从而:5() =0.3 0.5 =0.8CTCT0 222再
5、代 (X ： 0)= ：°) = ：:° () = 1 -叮"0 () = 1 - 0.8 = 0.2CTCTCF12. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e'X)=4/3E( Xex)EX Eex =1e'x edx=1 】=453313. 已知离散型随机变量 X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X 2的期望E (Z) = 3EX-2=3x2-2=4。14. 设随机变量 X服从参数为的泊松分布，且 P ( X= 1) = P ( X=2 )则E (X)= 2. D (X) =2.,2ee*二沪 - 2' = 0
6、1!2! =2(' = 0舍)15. 若随机变量E服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：Cn 05x0.05exO ,0(x)=丿;EE = 20; DE = 400。0x < 0 ,16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为 0.7，活到15岁以上的概率为 0.2,则现龄为10岁的这种动物活到 15岁以上的概率为P15厂10)= =2? =2 =0.286P>10)0.7 717. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为P3(4)=0.168031X b(300,0.01)解：P(X
7、=4)=P00 !* 0.014 * 0.99296,<4丿利用泊松定理作近似计算：一小时内使用电话的用户数服从二n p=300 0.01=3的泊松分布18通常在n比较大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布的公式，其期望为 二np，方差为1 = np19. X N(巴2), P(X v 5) =0.045, P(X 兰3) = 0.618 ,则=_ 1.8, 学习-好资料1=4。（将X标准化后查标准正态分布表）、单项选择：设随机变量X的密度函数为:f(x)=4x 0<x<1-0 其他2更多精品文档)(其中 0<a<1)则使P(x>a)=P(x<a)成
8、立的常数 a = ( A142解：根据密度函数的非负可积性得到:P(x - a) ="f (x)dx = -4x3dxaL aP（x ： a）二a f(x)dx= f4x'dx,联立，f4x3dx,= jAx'dx解之得oo2 设F1 （X ）与F2 （X ）分别为随机变量 X1与X2的分布函数，为使F （X ）= aF1（x）-bF2（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（A )3222A.a= , b B .a=,b=55331313C.a=,b=D .a=,b=2222F(+ ： )=a F1 (+ ：)-BF2 什二)=1 二 a b =1
9、ab-2适合3.已知随机变量的分布函数为F (x)=A + B arctgx，则:（B)11A、A=B=B、A=-221B= 一nC、 A= :1B= _211D、A=B=兀2解：要熟悉arctgx的图像F（：）二 A Barctg （二）厂1 = ATtB -;2F（：）二 A Barctg （-二）,0 = A - B ;2联立求解即可。4.设离散型随机变量X仅取两个可能值 X1和X2,而且Xk X2, X取值X1的概率为0.6,又已知 E (X )= 1.4, D (X)= 0.24，贝U X的分布律为xA.0.60.4xB. 0.60.4学习-好资料更多精品文档Xabp0.60.4D.
10、A、(X)B、(X)C、(X)D、(X)1MJ 1 +X2I 0-(x-a)二eTL 0s i rx03x 0x _ 0x a其它x 0,二其它_ 1 ： x : 1其它Xnn +1p0.60.4C. 1.4=EX=0.6X 1+0.4X2 DX=EX 2-(EX) 22 2 20.24 =(Xi * 0.6 X2 * 0.4) -1.4联系、解得Xi = 1, Xa=25现有10张奖券，其中8张为2元,2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（）A 6 元B 12 元C. 7.8 元D 9 元设表示得奖金额，则其分布律为:6(3张2元的）9（2张2元，1张5元的）
11、12(1张2元，2张5元的）32 11 2PC8C8C23C8C23C10C10C10故期望值为:7.86.随机变量X的概率分布是：X1 23411贝 : (DPab)641112151 1A、a=,b=B、ab= 一C、a= , b=D、a= ,b=641212121243a +b= 1-(丄 +丄）7故选D64127.下列可作为密度函数的是：（B)(X)一 0依据密度函数的性质：J七o进行判断得出：B为正确答案:(x) dx =1I J8.设X的概率密度为®(X)，其分布函数 F ( X),贝卩(D )成立。A、P(x -：)二 F (x)Q< :(x)< 1C、P(
12、x -) = (x)D、P(x ：-)亠 F (x)9.如果x (x)，而：(x)2x1 ： x _ 2其它，则P( x - 1.5)1.50 (2-x)dx1.50 x(2-x)dxC、0.8751.5=(2-x)dx11 .5xdx(2 -x) dx = 7 =0.8751 8若随机变量X的可能取值充满区间10.量的概率密度函数。A 0,二依据密度函数的性质:B . 0.5 二，二C . 0, 1.5 二F (x) 0, 那么Sinx可以作为一个随机变(B )D .二，1.5二进行判断得出：B为正确答案(x) dx =111.某厂生产的产品次品率为5% ,每天从生产的产品中抽 5个检验，记
13、X为出现次品的个数，则E(X)为A. 0.75B . 0.2375C . 0.487D . 0.25此题 X 服从二项分布 b(5,0.05),EX= np=5*0.05=0.2512.设X服从二项分布，若(n + 1) P不是整数，则 K取何值时，P (X = K)最大？ ( D )A . K =( n+ 1) PB. K =( n + 1) P-iC . K = nPD . K = (n + 1) P 解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX= np时取到最大值，由于(n + 1) P不是整数，因此需要寻找最接近 np的整数。13 .设X服从泊松分布，若'不是整数，则 K取何值
14、时，P ( X = K)最大？(B )A .'B . ' C.' - 1D .' + 1解：根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知：当EX= 时取到最大值，因为不是整数，而K必须为整数，因此需要对取整14. X N(0,1)，Y=2X 1,则 Y ( C )A、N(0,1)B、N (1 , 4)C、N (-1 ,4)D、N (-1 ,3)DY 二 D (2X -1)二 4DX =4, EY 二 E (2X -1) 2EX -1 工115. 已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为：( C )A . 2B . 1/4C . 1/2D .2随机变
15、量的参数为 2，即方差为1/4，标准差则为1/216. 当满足下列()条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。( D )A. n -',n p(二项分布的泊松近似) B.-',p0C. p r 0, np r .D .n :=17. 设 X N(10,25),已知 G 0(1) ： 0.8413，:心(2) ： 0.97725，则 p ：X和PX -2?的概率分别为 C A.0.0228,0.1587B. 0.3413,0.4772C.0.1587,0.0228D. 0.8413,0.97725510P (X ：5)=讥):：J0( -1) 1 -:>0(1) 1 0
16、.8413 二 0.1587520 _ 10P ( X20)= 1 -P ( X <20) 1：0) = 1：0(2)= 0.02285三、计算题：1.设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为：T AX0 V X <1f(x) = b X1 V X <20其它1 3试求：(1)常数 A、B。 (2)分布函数 F (x) (3) P (- V X )2 2解：(1)由X为连续型随机变量，imim+ f(x) = f(1),即:十(B X)二 f(1)x > 1x > 1=B _1 = A + oO同时：f(x)dx =1二 A 2B 二 5 CO、式联系解得
17、：A=1，B=2x(2)F(x)二 f(t)dt,oO则当 x <0 时，F(x)=0;x 12当 o ： x _1, F(x) tdt x ;0 2当 1 ： x e2,F(x)二J1 xdx + Jx(2_t)dt = + (2t _52<=2*_x2 -1 ； 0 1 2 2 1 2当 x>2 时，F(x)=1.01 2x二 F(x) = <22x-二 1lx2 -1200 ： x 11 ： x 空 213313（3）p（厂:x 込）= f（2）-f（2）=22x00 ： x ： 1 其它，求：p （ X乞0.5）0.51解： P (X 乞 5)= 0 2xdx
18、=-xxF (x) = J”® (t) dt = 0 2tdt =x20, x : 02二 F (x) <x ,0 兰 x v1X x(X)二j（0兰x兰1）0（其他） p(1 ： X : 3)联系解得二aJ,b = 1,c-44y 1y 1YFY(yH八p(3X入小pg仝)亠(宁)v 11Y(y) By)二 x()-3 32 y 1(1 兰 y 兰 4) .y(V)79.0(其他)3.设随机变量X的密度函数为：ax (0<x<2f(x) = r cx + b 2< x<4一 0其他3已知 EX = 2, P (1<X<3)=上，求 a、b、
19、c 的值424解：(1) axdx (cx b)dx = 2a 6c 2b = 1，02”血A2 bg*即解：Y :每年该商品的出口量R:收益心X的密度函数:-f（X）二1,2000 乞 x 乞 40000,其他12000x,y 2000,4000! 3y3(y x)+ oOERR(x) f (x)dxoOy (4x-y) 1 dx4000 3y 1 dx20002000y 200011000(_y27000y 一4 106)100825000-(y-3500)2 y=3500时，利益最大5. 设某种商品每周的需求量 X服从区间10 , 30上均匀分布，而经销商店进货量为 10 , 30中的某
20、一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利9280元，试确定最小进货量?300元，为使商店所获利润期望值不少于 解：设进货量为a,则利润为：Ma，500*)300a 兰 x兰30、500x (ax)10010WxWaEMaa 丄(600x -100： )dx102030 丄(300x 200a)dx a 202=-7.5a350a 5250若 EM a_ 9280 即: -7.5： +350 ： +5250 > 9280上式：x _ f (x)二 20010 乞 x E30其他解得
21、：20 2 w 二 < 263取最小:-=216. 某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：直接进口， 租用设备， 与外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：自制进口租赁合资固定成本（万元）1204064200每件可变成本（元）601008040已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售 0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为0.7,滞销的为0.1，请为该厂作出最优决策。解：设B =销量，A1 =自制，A2 =进口，A3 =租赁，A4
22、 =合资销量畅销3.5万件中等销售2.5万件滞销0.8万件概率0.20.70.1最优决策的含义是：利润最大化总成本=固定成本+销售量*可变成本E(B) =2.53 万件E(AJ=2.53 200 -(120 2.53 60)= 234.2E(A2)=2.53 200 -(40 2.53 100)= 213E(A3)= 2.53 200 -(642.53 80) = 239.6E(A4)=2.53 200 -(200 2.53 40)= 2 0 43A3为最优方案，即租用设备。7. 某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下:需求量(本)50100150200概率20%40
23、%30%10%假定每本新书的订购价为 4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订购 新书的数量。解：分析：当订货量大于需求量时， 则多出的每本处理后亏损 2元；当订货量小于需求量的 时候，则卖出去一本就可以获利 2元。针对不同的需求量和订货量的收益表如下：订量y需求50100150200收益概率0.20.40.30.1y150100100100100y21000200200200y3150-100100300300y4200-2000200400Ey1 =100 0.2 100 0.4 100 0.3 100 0.1 =100 Ey2=0 0.2200 0.4200 0.3 200
24、 0.1 =160Ey3 - -100 0.2 100 0.4300 0.3 300 0.1 =140Ey4 二-200 0.20 0.4 200 0.3 400 0.1 = 60故订100本较合理。x的概率是'ax2 + bx + c (0 c x cl)8. 若连续型随机变量(x)已知 EX = 0.5, DX = 0.15，求系数 a, b, c。解：©(x)dx =1< x©(x)dx=0.5J 二jW2©(x)dx = D© +( E©)2 =0.4解方程组得：a=12 b = -12 c=39. 五件商品中有两件次品，
25、从中任取三件。设E为取到的次品数，求 E的分布律、数学期望和方差。解：E的分布律为E0 1 2P1/10 6/10 3/10EE = 1.2; DE = 0.3610. 某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成 绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。2解：XN （72,二）967224P（X 一96）=1-门0（）=1-门0（） =0.023 =2.3%scrcr加不 2424即：订%（） =0.977,2-12CJCF2 X N（72,12 ）P（60X <84H：:%（84 72:：Jo（60 空）=：
26、0（1）-：0（-1） =0.68212 1211. 假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都 服从参数为 >0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不 能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X1X2X3独立且同分布,学习-好资料分布函数为：F(x)=1 -e來XH 0x c 00设G (t)是T的分布函数。当 t<0 时，G (t) =0当 t 0时，G(t)二 PT 乞 1=1 - P 汁 1t/=1 - P X t, X2 t,X3 t/ =1 - P
27、Xi t?PX2 tip%3二 1 - P(x t)十1 _ F (t)1 - 1 _ (1 _ e_'t)3t、33 .t=1 _ (e )= 1 _ eG(t)二1 - e'(t 0)0,(0).T服从参数为3'的指数分布12.设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度XN(200，182)，该材料的强度不低于 180的概率； 若某项工程要求所用的材料强度要以证不低于 150，问这批材料是否合乎要求？解: P(X _180)P(X 一150) = 0.9973 大于0.99，故这批材料合要求。13.生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有这20件
28、产品中，废品不少于 3件的概率为多大？求：取出的99%的概率保= 0.86652件废品，则解:= “ 20件产品中废品数目”“初步检查已发现有2件废品”=“废品数不少于3件”,l b(20,0.1)“ > 2”p=0.1q=0.9n=20.P( -3)P( -2)20Zk = 320Zkk 20 -k0.1 0.9kk 20 -kC 0.1 0.92 2 18 C0.120.920=1 -01531%1 -CO.10O.920 -C0.9190.120 2014.某公司作信件广告， 依以往经验每送出100封可收到一家定货。 兹就80个城市中的每一城市发出200封信。求(1)无一家定货的城
29、市数；(2)有三家定货的城市数。解：设发出200封信后有E家定货，则Es b (200, 0.01 )E近似服从参数为 =np=2的泊松分布P (E =0)20 2 e 0!_2 =e0.1353P (E =3)23工= e3!=4e° ： 0.18042020更多精品文档k = 2(1)无一家定货的城市数为80 0.1353=10.82(2)有三家定货的城市数为80 0.1804=14.4315.某企业准备通过考试招收300名职工，其中招正式工 280人、临时工20人，报考人数为1657人，考试满分是 400分。考后得知，考试平均成绩为166分，在360分以上的高分考生有 31人。
30、求：(1 )为录取到300人，录取分数线应设定到多少？(2 )某考生的分数为 256分，他能否被录取为正式工？(设成绩服从正态分布,：0(0.97) ： 0.8350(0.91) ： 0.819，:工(2.08) ： 0.981 )2 N (166,匚)/、/、 不 / 360166、31(X 360) 1 -P (X 乞 360) = 1 -:>0)1657194194) 0.9812.08- 93.3acr N (166,93.32)300a -166a -166、P ( X a)：1-j 0) = 0.181二0) = 0.819165793.393.3-a-1660.91= a =250.993.3因此，分数线应定在 250.9分。(2)P ( X 256)= 1 -P ( X 乞256) = 1= 1 -0.835 = 0.165 :2801657故该考生能被录为正式工。1, X1J2 axdx + J3 4 *(cx + b)dx=3a+§c + b=?1 2 2 24假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：t）,已知X服从2000,4000上的均匀分布，设每出售这种商品 1t,可为国家挣得外汇 3万元，但 假如销售不出而囤积于仓库， 则每吨需浪费保养费 1万元，问应组织多少货源，才能使国家 的收益最大？