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1、课时规范练69合情推理与演绎推理课时规范练第109页 一、选择题1.下列推理过程是演绎推理的是() A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A与B是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180°B.某校高三1班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数都超过50人C.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D.在数列an中,a1=1,an=(n2),由此归纳出an的通项公式答案:A解析:C是类比推理,B与D均为归纳推理,而合情推理包括类比推理和归纳推理,故B,C,D都不是演绎推理.而A是由一般到特殊的推理形式,故A是演绎推理.2.将正奇数按如图所示的规律排列,则第21
2、行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931A.809B.852C.786D.893答案:A解析:前20行共有正奇数1+3+5+39=400(个),则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数,所以这个数是2×405-1=809.3.定义一种运算“ ”:对于正整数n满足以下运算性质:(1)11=1,(2)(n+1)1=n1+1,则n1=()A.nB.n+1C.n-1D.n2答案:A解析:由(n+1)1=n1+
3、1,得n1=(n-1)1+1=(n-2)1+2=11+(n-1).又11=1,n1=n.4.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2答案:B解析:可以发现:第一个式子的第一
4、个数是1,第二个式子的第一个数是2故第n个式子的第一个数是n;第一个式子中有1个数相加,第二个式子中有3个数相加故第n个式子中有2n-1个数相加;第一个式子的结果是1的平方,第二个式子的结果是3的平方第n个式子的结果应该是2n-1的平方,故可以得到n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.1 / 45.观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92答案:B解析:由已知
5、条件得|x|+|y|=n(nN*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.6.已知x>0,由不等式x+2=2,x+3=3,我们可以得出推广结论:x+n+1(nN*),则a=()A.2nB.n2C.3nD.nn答案:D解析:再续写一个不等式:x+4=4,由此可得a=nn.二、填空题7.设n为正整数,f(n)=1+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,观察上述结论,可推测一般的结论为. 答案:f(2n)解析:由前四个式子可得,第n个不等式的左边应当为f(2n),右边应当为,即可
6、得一般的结论为f(2n).8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图甲、乙、丙、丁为她们刺绣最简单的四种图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(6)=. 答案:61解析:根据所给图形的规律,f(1)=1,f(n+1)-f(n)=4n,nN*,由累加法可得f(n)=2n2-2n+1,所以f(6)=61.9.定义映射f:AB,其中A=(m,n)|m,nR,B=R,已知对所有的有序正整数对(m,n)满足下述条件:f(m,1)=1,若n>m,f(m,n)=0;f(m+1,n)=nf
7、(m,n)+f(m,n-1),则f(2,2)=;f(n,2)=. 答案:22n-2解析:根据定义得f(2,2)=f(1+1,2)=2f(1,2)+f(1,1)=2f(1,1)=2×1=2.f(3,2)=f(2+1,2)=2f(2,2)+f(2,1)=2×(2+1)=6=23-2,f(4,2)=f(3+1,2)=2f(3,2)+f(3,1)=2×(6+1)=14=24-2,f(5,2)=f(4+1,2)=2f(4,2)+f(4,1)=2×(14+1)=30=25-2,所以根据归纳推理可知f(n,2)=2n-2.三、解答题10.如图,椭圆中心在坐标
8、原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,求“黄金双曲线”的离心率e.解:在“黄金双曲线”中,B(0,b),F(-c,0),A(a,0).,·=0.b2=ac.而b2=c2-a2,c2-a2=ac.在等号两边同除以a2得e2-e-1=0,又e>1,解得e=.11.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1(a>0,b>0)写出具有类似特性的性质,并加以证明.解:类似的性质为:
9、若M,N是双曲线=1(a>0,b>0)上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.则kPM·kPN=··(定值).12.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213°+cos217°-sin13°cos17°sin215°
10、;+cos215°-sin15°cos15°sin218°+cos212°-sin18°cos12°sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解：解法一:(1)选择式,计算如下:sin215°+cos215°-
11、sin 15°cos 15°=1-sin 30°=1-.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30°-)-sincos(30°-)=.证明如下:sin2+cos2(30°-)-sincos(30°-)=sin2+(cos 30°cos+sin 30°sin )2-sin(cos 30°cos +sin 30°sin )=sin2+cos2+sincos+sin2-sincos-sin2=sin2+cos2=.解法二:(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30°-)-sin cos(30°-)=.证明如下:sin2+cos2(30°-)-sincos(30°-)=-sin(cos 30°cos +sin 30°sin)=cos2+(cos 60°cos 2+sin 60°sin2)-sincos-sin2=cos2+cos2+sin2-sin2-(1-cos2)=1-cos2-cos2=. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！