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1、2014年湖南高考数学试题（文史类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，则为（ ） 2.已知集合，则（ ） 3.对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ） 4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） 5.在区间上随机选取一个数，则的概率为（ ） 6.若圆与圆，则（ ） 7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）A. B. C. D.8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材
2、切削、打磨、加工成球，则能得 到的最大球的半径等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.49.若，则（ ）A.B.C. D.10.在平面直角坐标系中，为原点，,，动点满足 ,则的取值范围是（ ）A. B.C. D.2 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数（为虚数单位）的实部等于_.12. 在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为_.13.若变量满足约束条件，则的最大值为_.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线的距离相等.若 机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围是_.15.若是偶函数，则_.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写
3、出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分） 已知数列的前项和. （I）求数列的通项公式； （II）设，求数列的前项和. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：其中分别表示甲组研发成功和失败；分别表示乙组研发成功和失败.（I）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（II）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18. （本小题满分12分）如图3，已知二面角的大小为，菱形在面
4、内，两点在棱上，是的中点，面，垂足为.（1） 证明：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形中，, （1）求的值； （2）求的长20. （本小题满分13分）如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.（1） 求的方程；（2） 是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.21.（本小题满分13分）已知函数.（1） 求的单调区间；（2）记为的从小到大的第个零点，证明：对一切，有数学（文）（湖南卷）参考答案一、 选择题（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C
5、（7）D （8）B （9）C （10）D二、 填空题（11）-3 （12） （13）7 （14） （15）三、 解答题（16）解：(I)当时,;当时,故数列的通项公式为.（II）)由(1)可得,记数列的前项和为,则 故数列的前项和.17解：(I)甲组研发新产品的成绩为:,其平均数;方差,乙组研发新产品的成绩为:,其平均数,方差为,因为,所以甲组的研发水平优于乙组.(II)记,在所有抽的的个结果中,恰有一组研发成功的结果是:共个,故事件E发生的频率为将频率视为概率，即得所求概率为.（18）解：(I)如图,因为,所以,连接,由题可知是正三角形,又是的中点,所以,而,故平面.(II)因为,所以与所成
6、的角等于与所成的角,即是与所成的角,由(I)可知,平面,所以,又,于是是二面角的平面角,从而,不妨设,则,易知,在中,连接,在中,所以异面直线与所成角的余弦值为.（19）解：:如图设 (I)在中,由余弦定理可得,于是又题设可知 ,即,解得(舍去),在中,由正弦定理可得,即.(I)由题设可得,于是由（I）知,而,所以,在中,所以.（20）解：设的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得, ,所以的方程为.(II)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线垂直于轴 ,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,当时,易知所以,此时.当时,同理可得.（i）当直线不垂直于轴,设的方程为,由 可得,当与相交于两点时,设,则满足上述方程的两个实根,从而,于是,由可得,因为直线与只有一个公共点，所以上述方程的判别式,化简可得,因此,于是,即,所以,综合（i）（ii）可知，不存在符合题目条件的直线（21）解：（I）数求导可得,令可得,当时,.此时;当时,此时,故函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(II)由(1)可知函数在区间上单调递减,又,所以,当时,因为,且函数的图像是连续不断的,所以在区间内至少存在一个零点,又在区间上是单调的,故,因此,当时,;当时,;当时,综上所述,对一切的,.11 / 11