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1、2016年高考数学试题分项版立体几何（解析版）2. （2016年高考浙江卷文）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m，n，则（ ）A.ml B.mn C.nl D.mn【答案】C【解析】试题分析：由题意知，故选C考点：线面位置关系.2. （2016年高考浙江卷理）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）Aml Bmn Cnl Dmn【答案】C【解析】试题分析：由题意知，故选C3、(2016年高考新课标卷文理)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B考点：空间几何体的三视
2、图及表面积4、(2016年高考新课标卷文理) 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B5、(2016年高考新课标卷) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A.考点： 正方体的性质，球的表面积.6、（20
3、16年高考上海卷文）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ） (A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D7、（2016年高考新课标卷文理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面
4、积和三个扇形面积之和故选A8、(2016年高考新课标卷文)平面过正文体ABCDA1B1C1D1的顶点A,则m,n所成角的正弦值为（A） （B） （C） （D）【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.9、(2016年高考新课标卷理)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】试题分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正
5、弦值为,选A.考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.10、（2016年高考新课标卷文理）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.11、（2016年高考天津卷文）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B12、（2016年高考数学浙江文）某几何体的三视图如
6、图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2,体积是_cm3.【答案】80；40【解析】试题分析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体， ，考点：三视图.13、（2016年高考新课标卷理）是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）【答案】考点： 空间中的线面关系.14、（2016年高考浙江卷文）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90°沿直线AC将ACD翻折成，直线AC与所成角的余弦的最大
7、值是_【答案】【解析】试题分析：设直线与所成角为设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，作于，翻折过程中，始终与垂直， ，则，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以，所以时，取最大值考点：异面直线所成角.15、（2016年高考浙江卷理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】 【解析】试题分析：几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积16. （2016年高考浙
8、江卷理）如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】由余弦定理可得，所以.过作直线的垂线，垂足为.设则，即，解得.而的面积.（2）当时，有，故.此时，.由（1）可知，函数在单调递减，故.综上，四面体的体积的最大值为.考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值17、（2016年高考天津卷理数）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_m3.来源:Z*xx*k.Com【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥
9、高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为故答案为218、（2016年高考四川卷文）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 .【答案】【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，且底面积为，高为1，所以该几何体的体积为.考点：1.三视图；2.几何体的体积.19、（2016年高考四川卷理）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .【答案】【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，则底面等腰三角形的顶角为，所以三棱锥的体积为.20、（2016年高考上海卷理）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与
10、底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于_.【答案】【解析】试题分析：由题意得.21、（2016年高考北京卷理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.22、（2016年高考山东卷文理）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.23、（2016年高考山东卷文理）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“直线a和直线b相交”是“平面和平面
11、相交”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析： “直线和直线相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选A考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.24、（2016年高考北京卷文）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.【答案】考点：三视图25、（2016年高考北京卷文）如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（）见解析；
12、（）见解析；（III）存在.理由见解析.（III）棱上存在点，使得平面证明如下：取中点，连结，又因为为的中点，所以又因为平面，所以平面来源:学科网ZXXK26、（2016年高考北京卷理）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；学科.网（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.来源:学&科&网Z&X&X&K所以在棱上存在点使得平面，此时.27、（2016年高考数学江苏）
13、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析考点：直线与直线、平面与平面位置关系28、（2016年高考山东卷理）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（）立体几何中的
14、角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到为二面角的平面角直接求解.试题解析：（I）证明：设的中点为,连接,在,因为是的中点，所以又所以在中，因为是的中点，所以，又,所以平面平面，因为平面，所以平面.（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得故.设是平面的一个法向量. 由29、（2016年高考上海卷文）:Zxxk.Com将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1
15、）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径计算体积与侧面积即得.（2）由得或其补角为与所成的角，计算即得试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长，底面半径圆柱的体积，圆柱的侧面积（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为与所成的角由长为，可知，由长为，可知，所以异面直线与所成的角的大小为30、（2016年高考上海卷理）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。（1）求三棱锥的体积；学.科网（2）求异面直线与所成的角的大小。【答案】（
16、1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径确定计算后即得.（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角确定，得出试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径由的长为，可知，（2）设过点的母线与下底面交于点，则，所以或其补角为直线与所成的角由长为，可知，又，所以，从而为等边三角形，得考点：1.几何体的体积；2.空间的角.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平面ABC,可得过点作于点，连接，考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.31、（2016年高考四川卷理）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90°
17、，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°. （）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，学科.网.并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.试题解析：（）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M（M平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.来源:Zxxk.Com所以四边形BCDE是平行四边形.，所以CDEB从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得A
18、P=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）方法一：设BC=1，则在RtPAD中，PA=AD=2.过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA平面ABCD，从而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为
19、，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .32、（2016年高考四川卷理文）如图，在四棱锥P-ABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90°，.（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由； （II）证明：平面PAB平面PBD.【答案】（）取棱AD的中点M，证明详见解析；（）证明详见解析.试题解析：（I）取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为ADBC,BC=AD，所以BCAM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CMAB.又AB 平面PAB,CM 平面PAB,所以CM平面PAB.(说明：
20、取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)（II）由已知，PAAB, PA CD,因为ADBC,BC=AD，所以直线AB与CD相交，所以PA 平面ABCD.从而PA BD.因为ADBC,BC=AD，所以BCMD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=AD，所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD 平面PBD,所以平面PAB平面PBD.33、（2016年高考天津卷理数）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值
21、；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】（）详见解析（）（）.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.34、（2016年高考天津卷文）)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60º，
22、G为BC的中点.()求证：平面BED；()求证：平面BED平面AED；()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）详见解析（）【解析】试题分析：（）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平几知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出（）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如本题可由余弦定理解出，即（）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过
23、点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值试题解析：（）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（）证明：在中，由余弦定理可，进而可得，即，又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（）解：因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点，连接，又因为平面平面，由（）知平面，所以直线与平面所成角即为.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为35、（2016年高考新课标卷理）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面A
24、BEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I）见解析（II）试题解析：（I）由已知可得,所以平面又平面,故平面平面（II）过作,垂足为,由（I）知平面以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系由（I）知为二面角的平面角,故,则,可得,由已知,所以平面又平面平面,故,由,可得平面,所以为二面角的平面角,从而可得所以,设是平面的法向量,则,即,所以可取设是平面的法向量,则,同理可取则故二面角的余弦值为36、.(2016年高考新课标卷文)如图,在已知正
25、三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为试题解析：（I）因为在平面内的正投影为,所以因为在平面内的正投影为,所以所以平面,故来源:Z,xx,k.Com又由已知可得,从而是的中点. （II）在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影.连接,因为在平面内的正投影为,所以是正三角
26、形的中心.由（I）知,是的中点,所以在上,故由题设可得平面,平面,所以,因此由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得所以四面体的体积37、（2016年高考新课标卷理）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值来源:Z#xx#k.Com来源:学,科,网【答案】（）详见解析；（）.又，而，所以.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.38、（2016年高考新课标卷文） 如图，菱
27、形的对角线与交于点，点、分别在，上，交于点，将沿折到的位置.学&科网（）证明：；（）若,求五棱锥体积.来源:学科网【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证再证（）根据勾股定理证明是直角三角形，从而得到进而有平面，证明平面根据菱形的面积减去三角形的面积求得五边形的面积，最后由椎体的体积公式求五棱锥体积.试题解析：（I）由已知得，又由得，故由此得，所以.五边形的面积所以五棱锥体积39、（2016年高考新课标卷理）如图，四棱锥中，地面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的
28、数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积40、（2016年高考新课标卷文）如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】（）见解析；（）试题解析：（）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，. .3分
29、又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. .6分（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为. .9分取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故，所以四面体的体积. .12分41、（2016年高考浙江卷文）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求证：BF平面ACFD；（II）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）先证，再证，进而可证平面；（II）先找直线与平面所成的角，再在中计算，即可得线与平面所成的角的余弦值试题解析：（I
30、）延长相交于一点，如图所示，因为平面平面，且，所以考点：空间点、线、面位置关系、线面角.42、（2016年高考浙江卷理）如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）来源:学,科,网【解析】试题分析：（I）先证，再证，进而可证平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值（II）方法一：过点作，连结因为平面，所以，则平面，所以所以，是二面角的平面角在中，得在中，得所以，二面角的平面角的余弦值为方法二：如图，延长，相交于一点，则为等边三角形取的中点，则，又平面平面，所以，平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系由题意得，因此，考点：1、线面垂直；2、二面角 48 / 48