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1、哈工大理论力学考研理论力学口考研2021考研真题库第一部分名校考研真题1 .如图15-1所示，物块A的质量为mi, B轮的质量为m2 ,半径为R ,在水平面 做无滑动滚动。轮心用刚度为k长度为I的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间 为光滑接触。试以Xi, X2为广义坐标，(1)写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；(2)写出系统的第二类拉格朗日方程；(3 )求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。中山大学2011研WWXWv图 15-1解：(1)系统的动能为：r = -W, X +-w, XX2 14 .2 系统势能为：展兴优十月2其中分为处于平衡位置弹簧的伸长量。拉格朗日函数1.L a .1 L
2、 = T-V=-mlX +-x-+x)2(2)第二类拉格朗日方程代入上一步的表达式，得3-Wj x+ rn2x M 认 +工）=0(3 )求其首次积分。因拉格朗日函数中不显含时间t,故存在能量积分，系统机械 3 1、-m.x + 二阳、x 一一左（房+力2 4 2' 二c C为常数2.质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹壁上，且在光滑的铅垂滑道中运动°在重物的中心处钱接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如 图15-2所示。(1)试确定系统的自由度并选择广义坐标； (2)写出系统的动能及势能及拉格朗日函数;(3)写出系统的第二类拉格朗日方程;(4 )求系统的第
3、二类拉格朗日方程的首次积分。中山大学2010研解：(1 )以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。 选重物A的中心的垂直坐标y和杆的偏角隼为广义坐标，如下图所示。因为作用在 系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势 形式求解。(2 )以A的中心C点为基点分析AB杆质心D的速度，如图15-3所示。图 15-3根据速度合成公式有 苴中心= Ydc =70。系统动能为121T. 2 1r°11/7 * * =大加J +工打演彷sin 0 J)? + (cosv) 2 =(w+J/)v 十!A/7，0 +J170ysin0 3选O为零
4、势能点，设弹簧的原长为I。,则系统的势能为>(y-70): 4- mgy + A，g(j +1 cos 0)+5(冬)04工工 3L =T-V =+ 二A。(p + (Pysin (y-/0)2 -wgi-3fg(v+Zcos。)(3)求各偏导数qt9 d RL-=lm + M) v+MI(psin(p.()=(w + Af) vav -.康小/azeZ4, *d SL4r ,*= Ml:己Ml Ksiti。.一()=一1U7'8+WZ(Ksiti8+ vcos<p(p)S'(p3祈 gj3迎dL =一依 v 。)- mg -Mg.=WZ<p vcos )+S
5、£gIsin (p将以上各式代入第二类拉格朗日方程土 山=(加+m)G+g)+HTD=o 出dy 土d 8L BL()=一2/ 0+M76 sin 0+ vqq(p(p)-MI i cos-Mg/sin <p义林丽§一4 =(H-Af7 sin 旗y-g) = 0(4)求其首次积分因拉格朗日函数中不显含时间t ,故存在能量积分，系统机械能守恒，即1 *n * * 1卜、I+ T = -(w+M) y +0 + M 0 ysin 9+不(y-/c)' + mg- + Mg(y +1 cos(p)=C3.如图15-4所示。重为P的板搁在两个半径为r、重为W的磁子上，磁子可视为均质圆柱。设接触面足够粗糙，藤子与板和水平面之间均无相对滑动。在板上作 用一水平拉力F ,求板的加速度。北京邮电大学2010研故系统的拉格朗日函数为解：拉格朗日方程该系统只有一个自由度，取板的水平位移X为广义坐标，列出每部分的动能1 W - , 22总动能为4尸+ 3JFx28g代入拉格朗日方程解得4Fg3甲+4产