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1、专题23多边形内角和问题专题知识回顾1 .多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。2 .多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。3 .多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。4 .多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。5 .正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。6 .多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2） 180°7 .多边形的外角和：多边形的内角和为360°。8 .多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边
2、形分成（n-2）个三角形。（2） n边形共有n（n-3）条对角线。2专题典型题考法及解析【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是（）月 IDQI'cA. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【答案】C.【解析】一条直线将该矩形 ABC汾割成两个多边形， 每一个多边形的内角和都是 180。的倍数，都能被180 整除，分析四个答案，只有 630不能被180整除，所以a+b不可能是630。.【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是
3、（A. 108B. 120°C. 135°D. 14011【答案】D.【解析】先根据多边形内角和定理:180° ? （n-2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数.该正九边形内角和=180° X （9-2） =1260则每个内角的度数= 丝当_.【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080° ,则这个多边形是（）A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。多边形的内角和可以表示成（n-2）?180°
4、; ,列方程可求解.设所求多边形边数为 n,则（n- 2）?180° = 1080° ,解得n=8.【例题4】（2019海南）如图，O O与正五边形 ABCDEJ边AB DE分别相切于点 R D,则劣弧廊所对的圆【解析】根据正多边形内角和公式可求出/E、/ D,根据切线的性质可求出/OAE / OCD从而可求出/AOC然后根据圆弧长公式即可解决问题.五边形 ABCD良正五边形，/ E= /a=（A2）X9。. =108。 5.AR DE与。相切，./ OBA= / ODE= 90 ,BOD= （52） X 180° 90° 108° 108&#
5、176; 90° = 144° 。专题典型训练题一、选择题1. （2019湖北咸宁）若正多边形的内角和是 540° ,则该正多边形的一个外角为（）A. 45°B, 60°C. 72°D, 90°【答案】C【解析】根据多边形的内角和公式 （n-2）?180。求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360。，依此可以求出多边形的一个外角.正多边形的内角和是 540° ,，多边形的边数为 540° +180° +2=5,多边形的外角和都是 360° ,，多边形的每个外角=360-5=7
6、2° .2. (2019内蒙古巴彦卓尔) 下列命题：若x2+kx+二是完全平方式，则 k=1;4若A (2, 6), B (0, 4), P (1, m三点在同一直线上，则 m= 5;等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形.其中真命题个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】利用完全平方公式对进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出 m则可对进行判断；根据等腰三角形的性质对进行判断；根据多边形的内角和和外角和对进行判断.若x2+kx+L是完全平方式，则 k=± 1,所以错误；若
7、A (2, 6), B (0, 4), P (1, m三点在同一直线上，而直线 AB的解析式为y= x+4,则x= 1时，m= 5, 所以正确；等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以错误；一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以正确.3. (2019宁夏)如图，正六边形 ABCDEF边长为2,分别以点 A, D为圆心，以AB, DC为半径彳扇形 ABF扇形DCE则图中阴影部分的面积是()C. 123-4%【答案】B.【解析】正六边形 ABCDEF边长为2,，正六边形 ABCDEF面积是：2X(2sin60Q )八°逐后二X6= 6x 2X-z-=6
8、>/3,£ 士/FAB= / EDO 120 ,，图中阴影部分的面积是：6后喘:於乂2=.昔,4. （2018苏州）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510° ,则这个多边形对角线的条数是（）A. 27 B .35 C . 44 D . 54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法“一 3,，即可解答.|2设这个内角度数为 X,边数为n,（ n- 2） x 180° - x=1510,180n=1870+x, n为正整数，n=11 ,.lix （11-3）=4425
9、. （2018齐齐哈尔）如果一个多边形的每一个外角都是60° ,则这个多边形的边数是（）A. 3 B , 4C.5D.6【答案】D【解析】由一个多边形的每一个外角都等于60。，且多边形的外角和等于360。，即可求得这个多边形的边数.一个多边形的每一个外角都等于60° ,且多边形的外角和等于360° ,，这个多边形的边数是：360+60=6.6. （2018武汉）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510° ,则这个多边形对角线的条数是（）A. 27 B . 35 C . 44 D . 54【答案】C【解析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相
10、应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法“一 3,，即可解答.2设这个内角度数为 X,边数为n,（ n- 2） x 180° - x=1510,180n=1870+x, n为正整数，n=11 ,=447. （2018大连）如图，在 ABC中，/ A=40° , D点是/ ABC和/ACB角平分线的交点，则/ BDC二【答案】110° .【解析】由D点是/ ABC/ ACB角平分线的交点可推出/ DBC廿DCB=70再利用三角形内角和定理即可求出/ BDC的度数.D点是/ ABC和/ ACB角平分线的交点, .有/ CBDWABC / BC
11、Dh/ ABC吆 ACB=180- 40=140, ./ OBC它 OCB=70 ./ BOC=180- 70=110°8. （2018沈阳）若正多边形的一个内角是150° ,则该正多边形的边数是（）A. 6 B . 12 C . 16 D . 18【答案】B【解析】根据多边形的内角和，可得答案.设多边形为n边形，由题意，得（n-2） 180° =150n,解得n=12【解析】根据多边形的内角和公式（n-2）?180°列式进行计算即可求解.设多边形的边数是n,则（n-2）?180° =540° ,解得n=5.10. （2018江苏镇江
12、） 已知n边形的内角和 0= （n-2） x 180° .（1）甲同学说，e能取360° ;而乙同学说，e也能取630° .甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360。，用列方程的方法确定x.【答案】（1）甲对，乙不对，理由见解析；（2） 2.【解析】（1）根据多边形的内角和公式判定即可；（2）根据题意列方程，解方程即可 .试题解析：（1）甲对，乙不对.e =360° , . （ Q2 ） X 180° =360° ,解得n=4.e =630° ,（ n-2
13、） X 180° =630° ,解得n=11.2.n为整数，e不能取630° .（2）由题意得，（n-2） x 180+360= （n+x-2 ） x 180,解得x=2.11. （2018湖南岳阳）已知正多边形的一个外角等于40° ,那么这个正多边形的边数为（）A. 6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数.正多边形的一个外角等于 40° ,且外角和为 360° ,则这个正多边形的边数是：360° +40° =9.12. （2018四川绵阳）一个多边形切去一个角
14、后，形成的另一个多边形的内角和为1080。，那么原多边形的边数为（）A. 7 B .7 或 8 C .8 或 9 D .7 或 8 或 9【答案】D.【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1,可能减少1,或不变.首先求得内角和为1080。的多边形的边数，即可确定原多边形的边数.设内角和为1080°的多边形,的边数是n,则（n-2）?180° =1080° ,解得：n=8.则原多边形的边数为 7或8或9.13. （2019大庆模拟题）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A. 360
15、76; B . 540° C , 720 ° D , 900°【答案】D.【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键.根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180° +180° =360。将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180。+360° =540。将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360° +360° =7
16、20。14. （2019长沙模拟题）若一个正n边形的每个内角为144° 则正n边形的所有对角线的条数是（）A. 7 B . 10 C . 35 D . 70【答案】C.【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键.由正n边形的每个内角为144。结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出ntn - 3）n的值，将其代入2 中即可得出结论.一个正n边形的每个内角为 144° , .144° n=180 x （ n-2）
17、,解得：n=10.这个正n边形的所有对角线的条数是：2= = =35.15. （2018江西）如图，五边形 ABCD中有一正三角形 ACD若AB=DE BC=AE / E=115° ,则/ BAE的度数为何？（）A. 115 B. 120C. 125 D. 130【答案】C【解析】根据全等三角形的判定和性质得出ABCAAED全等，进而得出/ B=Z E,利用多边形的内角和解答即可.正三角形ACD .AC=AD / ACDh ADC=/ CAD=60 , AB=DE BC=AE . ABC AEDB=Z E=115° , / ACB4 EAR / BACh ADE /ACB吆
18、 BAC=/ BAC吆 DAE=180 T15° =65° ,，/BAE=Z BAC吆 DAE吆 CAD=65 +60° =125°二、填空题16. （2019江苏淮安）若一个多边形的内角和是 540° ,则该多边形的边数是 【答案】5【解析】n边形的内角和公式为（n-2）?180° ,由此列方程求 n.设这个多边形的边数是 n,则（n- 2）?180° = 540° ,解得n= 517. （2019陕西）若正六边形的边长为 3,则其较长的一条对角线长为AOB COD为两个边长相等的【解析】如图所示为正六边形最长的
19、三条对角线，由正六边形性质可知， 等边三角形，AD=2AB=6故答案为618. （2019江苏徐州）如图，A R C D为一个外角为40。的正多边形的顶点.若 O为正多边形的中心,【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360。，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可.多边形的每个外角相等，且其和为360。，据此可得多边形的边数为:/ OAD=3 倍，则这个多边形的边数是19. （经典题）一个多边形的内角和是其外角和的【解析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可解之即可x 3,n=8.设这个多边形边数为n,，（n-2） x 180° =360°