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1、第7讲导数的应用问题函数的单调性、极值、最值问题例8已知函数f(x)(xR)，其中aR.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间与极值审题破题(1)直接求f(x)，得f(2)后写出切线方程；(2)求导函数f(x)后要对a进行讨论，可以列表观察函数f(x)的单调性，极值解(1)当a1时，f(x)，f(2)，又f(x)，f(2).所以，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).由于a0，以下分两种情况讨论当a0，令f(x)0，得到x1，x2a.当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况
2、如下表：x(，)(，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值所以f(x)在区间，(a，)内为减函数，在区间内为增函数函数f(x)在x1处取得极小值f，且fa2.- 2 - / 8函数f(x)在x2a处取得极大值f(a)，且f(a)1.当a0时，令f(x)0，得到x1a，x2，当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(，a)，内为增函数，在区间内为减函数函数f(x)在x1a处取得极大值f(a)，且f(a)1.函数f(x)在x2处取得极小值f()，且fa2.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为
3、(，a)，单调递减区间为(，)，(a，)，极大值为1，极小值为a2.当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(，)，单调递减区间为(a，)，极大值为1，极小值为a2.构建答题模板第一步：确定函数的定义域如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f(x)第三步：求方程f(x)0的根第四步：利用f(x)0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格第五步：由f(x)在开区间内的正、负值判断f(x)在开区间内的单调性第六步：明确规范地表述结论第七步：反思回顾查看关键点、易错点及解题规范如本题中f(x)0的根为x1，x2a.要确定x1，x2的大小，就必
4、须对a的正、负进行分类讨论这就是本题的关键点和易错点跟踪训练8已知函数f(x)alnxx (a0)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y0垂直，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性(1)解f(x)的定义域为x|x>0f(x)1 (x>0)根据题意，有f(1)2，所以2a2a30，解得a1或a.(2)解f(x)1 (x>0)当a>0时，因为x>0，由f(x)>0得(xa)(x2a)>0，解得x>a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0，解得0<x<a.所以函数f(x)在(a，)上单调递增，在(
5、0，a)上单调递减当a<0时，因为x>0，由f(x)>0得(xa)(x2a)>0，解得x>2a；由f(x)<0得(xa)(x2a)<0，解得0<x<2a.所以函数f(x)在(0，2a)上单调递减，在(2a，)上单调递增导数与不等式问题例9设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由审题破题(1)先求
6、出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)g(x)g，通过h(x)的单调性比较g(x)，g的大小；(3)对任意x>0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决解(1)由题设易知f(x)lnx，g(x)lnx，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x(1，)时，g(x)>0.故(1，)是g(x)的单调增区间，因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)glnxx，设h(x)g(x)g2lnxx，则h(
7、x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)<0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0<x<1时，h(x)>h(1)0，即g(x)>g，当x>1时，h(x)<h(1)0，即g(x)<g.(3)满足条件的x0不存在证明如下：假设存在x0>0，使|g(x)g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，有lnx<g(x0)<lnx，(*)但对上述x0，取x1eg(x0)时，有lnx1g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g(x)g(x0
8、)|<对任意x>0成立构建答题模板第一步：构造函数h(x)g(x)g()；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性；第三步：根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小；第四步：下结论，反思回顾.跟踪训练9已知函数f(x)ax2bxclnx.(1)当ab时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)设函数f(x)在x，x1处取得极值，且f(1)1，若对任意的x，f(x)m恒成立，求m的取值范围(参考数据：e2.7)解(1)ab时，f(x)ax2axclnx，f(x)2axa (x>0)当a0时，f(x)>0，此时f(x)在(0，)上单调
9、递增；当a>0时，x>0，2ax2ax1>0，f(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；当a<0时，设g(x)2ax2ax1，函数g(x)在上单调递减，且g(0)1>0，故在(0，)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f(x)的符号不确定，函数f(x)在(0，)上不单调综上可知，a的取值范围是0，)(2)f(x)在x，x1处取得极值，f(1)f0，即解得即f(x)，且f(x)x23xclnx.又f(1)1，13c1，得c1，f(x)x23x1lnx.当x时，f(x)>0，函数f(x)在上单调递增；当x时，f(x)<0，函数f(x)在上单调递减；当x(1,2时，f(x)>0，函数f(x)在(1,2上单调递增f(x)极大值f1lnln2，而f(2)1ln2，f(2)fln4ln4lne，由于4>e>e，故f(2)>f，f(x)max1ln 2，m1ln2. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！