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1、8-8 最短路线教学目标1.准确运用“标数法”解决题目2.培养学生的实际操作能力知识精讲知识点说明从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如 果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你 就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你 要记住两点：两点之间线段最短尽量不走回头路和重复路，这样的话， 你就做到了省时省力例题精讲例 1】 一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最近小朋友们，你能给它找到几条这样的最短路线呢？解析】 （方法一）从 A点走到 B点，不论怎样走，最短也要走长方形 AHBD 的
2、一 个长与一个宽，因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于 AD ；在 竖直方向上，所有线段的长度和应等于 DB 这样我们走的这条路线才是最短路线为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和 向下走所有最短路线：A C D GB 、AC FG B、 AE FG BA C F IB、 AE FI B、 AE HI B这种方法不能保证“不漏”如果图形再复杂些，做到“不重”也是 很困难的（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规 律可循 看C点：只有从 A到C的这一条路线同样道理：从 A到D 、 从 A 到 E 、从 A 到 H 也都只有一条路线 我们把数字“ 1 ”分
3、别标在 C、D、E、 H 这四个点上看 F 点：从 A 点出发到 F ，可以是 A C F ，也可以是 A E F ，共有两种走法那么我们在 F点标上数字“ 2”（ 2=1 1） 看 G 点：从 A G 有三种走法，即： A C D G 、 A C F G 、 A E F G在 G点标上数字“ 3”（ 3=1 2）看 I 点：共有三种走 法，即： A C F I 、 A E F I 、 A E H I ，在 I 点标上“ 3” （ 3=1 2）看 B点：从上向下走是 G B ，从左向右走是 I B ，那么从 出发点 A B有六种走法，即： A C D G B、 A C F G B、A E F
4、G B、A C F I B、A E F I B、A E H I B， 在 B点标上“ 6”（ 6 3 3），观察发现每一个小格右下角上标的数正好 是这个小格右上角与左下角的数的和， 这个和就是从出发点 A 到这点的所 有最短路线的条数此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对 角线法”或“标号法”巩固】 如图所示，从 A点沿线段走最短路线到 B 点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况从 A 到 B 的各种不同走法中先选择一条路线来分析：如果按路线 ACDE F B来走，这条路线共有 5条线段，每次走 一步或两步，要求
5、从 A走到 B ，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗根 据“上楼梯”问题的解法可得在 ACDEF B这条路线中有 8 种符合条件的走法而对于从 A到 B的其他每条最短路线而言，每一条路 线都有 5 条线段，所以每条路线都有 8 种走法进一步：从 A到B共有多少条最短路线？这正是 “最短路线”问题！用“标 数法”来解决，有 10 条综上所述，满足条件的走法有 8 10 80种DDEEFBACFBDEAC巩固】 从A到 B的最短路线有几条呢？解析】 图中从 A到B的最短路线都为 6 条巩固】 有一只蜗牛从 A点出发 ,要沿长方形的边或对角线爬到 C点,中间不许爬回 A 点,也不能走重复的路，那么
6、，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？解析】 共有 9种，即： AA B O C、CBB O D C、A D O B C ,最短的路是: A OC、 A O B C 、 A B CA D C 、 A D O CC例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？学校学校11123J13614I10ACD少年宫H解析】 从学校到少年宫的最短路线， 只能向右或向下走 我们可以先看 A 点：从 学校到 A点最短路线只有 1种走法，我们在 A点标上 1B、E、F 、G点同 理再看 J点：最短路线可以是 A J、E J 共2条，我们在 J
7、点标上 2我 们发现 2 1 1正好是对角线 A点和 E点上的数字和所有的最短路线都符 合这个规律，最终从学校到少年宫共有 10 种走法巩固】 方格纸上取一点 A作为起点，再在 A的右上方任取一点 B作为终点，画一条由 A到B的最短路线，聪明的小朋友， 你能画出来吗？总共能画出几条呢？BA解析】 根据“标号法”可知共有 10 种，如图巩固】 如图，从 F 点出发到 G 点，走最短的路程，有多少种不同的走法？G分析】 共 有 115种巩固】小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！北村分析】根 据“对角线法”知共有 126种，如图南村北京11121122
8、32413710北京黄山黄山245636101521410203565153570126北村 1 1 1111111“五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的最短路线共有几条呢？解析】采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此， 在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的从北京到黄 山最近的道路共有 10 条巩固】从甲到乙的最短路线有几条？解析】 有 11条例 4 】 古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦他精通数学、物理，聪慧过 人人一天一位将军向他请教一个问题： 如下图，将军从甲地骑马出发， 要到河边让马饮水，然后再回到乙地的
9、马棚，为了使行走的路线最短， 应该让马在什么地方饮水？甲地乙地河流解析】 本 题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路 线的变化情况甲地逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中 应该如何解决问题例 5 】 学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图） 爱动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？学校学校112310103641051525356214681李家村解析】 我们采用对角线法（如图） ，从学校到李家村共有 81种不同的最短路线拓展 亲爱的小朋友们，你们觉得从 A到 B共有几条最短路线呢？
10、解析】 此 题与上题不同，但方法相同我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有 41 条例 6】 阿花和阿红到少年宫参加 2008 北京奥运会志愿者培训他们从学校出发 到少年宫最多有多少种不同的行走路线？少年宫 少年宫解析】 采用对角线法（如图） 可得从学校到少年宫共有 90 种走法铺垫 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游乐场共有几条最短路线呢？游乐场游乐场14595243211 1 1 小猪家解析】 “对角线”法（如图） ，共 14 条例 7 】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看大熊
11、猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？解析】巩固】市中心养老院学校解析】（方法一）用“对角线法”求出：从学校到养老院共 心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条）126条必经过市中51535701264102035563610市中心 152123456111学校 1 1 111养老院养老院仍 然用对角线法求解第一天（无限制条件）共有 16条；第二天（必须 经过公园）共有 8条；第三天（必须不经过公园）共有 8 条大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶， 可是市中心在修路 （城
12、市的街道 如图所示 ）,他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友， 请你们快想想吧！方法二）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去，共有 66 条养老院5152540661410101526513611123456学校111例 8】 如图，从 X 到Y 最短路线总共有几种走法？分析】 如 图，共有 716种Y18368517034271617284985172374162123687202151515511151514103664136101521281234567X111111例 9】 如图，从 A到 B沿网格线不经过线段 CD和 EF 的最短路径的条数是多少条？CD和 EF ，解
13、析】 由于不能经过线段 CD和EF ，所以我们必须先在网络图中拆除然后再在拆除了 CD和 EF以后的网络图中进行标数 （如下图所示 ）运用标数法可求出满足条件的最短路径有 78 条巩固】 下图为某城市的街道示意图， C处正在挖下水道，不能通车，从 A到 B处 的最短路线共有多少条？解析】 从 A到 B的最短路线有 431条.B431B174110 5564555530 129C251812739876543 2 1111 1 1 1 1 11742571910A例 10 】 按图中箭头所指的方向行走，从A到I 共有多少条不同的路线？解析】 本 题中的运动方向已经由箭头标示出来，所以关键要分析每
14、一点的入口 情况通过标数法我们可以得出从 A到I共有 29条不同的路径例 11】 按图中箭头方向所指行走，从 A到G 有多少种不同的路线？解析】 运 用标数法原理进行标数，整个标数流程如下图CEBAEB21ACGG从 A 到 G 共有 21 条不同的路线巩固】 按下图左箭头方向所指，从 X 到Y有多少种不同的路线？ 如下图右所示，这个问题有一个规则：只能沿着箭头指的方向走，你 能否根据规则算出所有从入口到出口的路径共有多少条？入口出口分析 利用标数法求得 X 到Y有34种不同的路线，如下图左所示 由题将路线图转化为下图右所示，根据标数法求得从入口到出口的路 径共有 10 条5831X34Y13
15、例 12】 如下图左，如果只允许向下移动，从 A点到 B 点共有多少种不同的路线？如下图右，要从 A点到 B 点，要求每一步都是向右，向上或者斜上方， 问共有多少种不同的走法？AB解析】 按题目要求，只能向下移动，利用标数法求得 A到B共有路线 68种，如 下图左所示按题目要求，只能走下图右的 3个方向，利用标数法求得共有 22 种不 同的走法，如下图右A68BB22166巩固】 图中有 10个编好号码的房间， 你可以从小号码房间走到相邻的大号码房 间，但不能从大号码房间走到小号码房间， 从 1号房间走到 10 号房间共 有多少种不同走法？1分析】 图 中并没有标出行走的方向，但题中“你可以从
16、小号码房间走到相邻的 大号码房间，但不能从大号码房间走到小号码房间”这句话实际上就规 定了行走的方向如下图所示，我们可以把原图转化成常见的城市网络 图，然后再根据标数法的思想标数：从图中可以看出，从 1 号走到 10号 房间共有 22 种不同的走法例 13】 一只密蜂从 A处出发， A回到家里 B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？解析】 蜜 蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房明确了行走路径的方向， 就可运用标准法进行计算如图所示，小蜜蜂从 A出发到 B处共有 89种不同的回家方法 例 1
17、4 】 在图中，用水平或垂直的线段连接相邻的字母， 当沿着这些线段行走时，正好拼出“ APPLE ”的路线共有多少条？PPLPP P L E L P分析 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼 写在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径如下图所示，运 用标数法原理标数不难得出共有 31 种不同的路径P P L P P AP L E L P P A1311 2 7 2 11 2 4 15 4 2 12 4 8 31 8 4 2 1铺垫 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法我 1 爱 1 希 望 1 杯1111爱 1希 2望 3 杯 41234希 望
18、杯 希1望1望 3杯4杯6望 1杯1 4分析 从我（ 1个）、爱（ 2个）、希（ 3个）、望（ 4个）、杯（ 5个）中组成“我 爱希望杯”即相同的字只能选一个而且不能重复选，所以共有1 4 6 4116（种）拓展 如 下图左所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein ”，按图中箭头所示方向有多少种不同的方法拼出英文单词“Einstein ” .注意图中的 三个字母 “i ”， 左、右的两个字 母 “i ”只能由一 个字母 “e ”去到 达1i E 11 i 2 i 11s n 3 n 3 n 1 t4 s t6 s t4 s 10 t 10 tee1i02i0i103n0i3n0 i分析 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ”，每一种拼法都 对应着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决 如上图右所示，从E点到n点的最短路径有 30条，所以共有 30 30 60（种） 不同拼法 .