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1、错位相减法的简洁结论- 公式化五华县水寨中学邓定扬错位相减法是推导等比数列前n 项和公式的最简洁的方法之一,错位相减法还可以推广到求数列 an bn 的前项和 ,其中 an 是等差数列,公差为不为 0, bn 是等比数列 ,公比不为 1.例 : 数列 an 的前 n 项和为 Sn ,a1 1 , an 12Sn , 求数列 nan 的前 n项和 Tn .分析 : 当 n 1 时, 由 an 1 2Sn 得 an2Sn 1 ,两式相减得 an 13an , 所以数列 an 从第二项开始成等比 ,又 a22S12a12 , 所以 an2 3n 2 ,因为 a1 1 不满足此式 ,所以 nan1,
2、n 1.2n 3n2 , n1Tn 1 4 306 318 322(n 2) 3n 42( n 1) 3n 32n 3n 23Tn3 4316 328 332( n 2) 3n 32(n 1) 3n 22n 3n 1两式相减 :2Tn2 2(3132333n 33n2 )2n3n 12 2 3 3n 12n 3n 1( 2n 1) 3n 1113所以 : Tn(n1 ) 3n 11 .22又因为 T1a11也满足上式 , 所以 :Tn( n1 ) 3n 11 , nN22错位相减法程序化的步骤让学生容易掌握和理解, 但因计算量较大, 学生常会因为计算的原因导致出错 .如果错位相减法可以简化为一
3、种形式简单的结论 , 我们又何乐而不为呢 ?笔者在教学过程中发现 , 通项形如 an(xny) q n , (q 1,q 0, x 0)的数列 , 其前 n 项和必定形如 Sn ( An B)q n 1C , 这个结论可以由错位相减法证明 , 就留给读者去证了 , 我简单从另外一个方法求得A, B ,1 / 2因为 : SnSn 1( An B)qn 1C ( An A B) qnC A(q 1)n B(q 1) A qn( xn y) q n对比系数得 :Aqx , ByA , 此时C可以由 S1a1 求得 .1q1上例中 , 设 bnna n ,则当 n1时, b1 1, 当 n1时,bn
4、 2n 3n 2 . 根据公式有: A21, B011 , 所以 Tn( n1 )3n 1C ,313122又因为 :T11Cb11C122所以 : Tn( n 1 ) 3n 11 ,n N22解题思路和过程固然是重要的, 但简洁的结论也很重要, 它可以使我们少走弯路 , 少做重复的工作 . 单方面去强调过程或结论都是不可取的 , 在教学中 , 应让学生掌握好错位相减法的思想精髓上, 再引出这个结论 , 才不会顾此失彼 .从例题中可以看出, 即使所求数列的首项不满足( xny) q n , 也不会影响使用公式求和, 但若所求数列前k 项不满足 ( xny) q n , 则求和结果必须加上条件nk , 此时公式中的C 值该由前k 项和求出 , 当n k 时, 前 n 项和须看具体情形而定 .（范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）2 / 2