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1、第七章无穷级数10 常数项级数概念及性质1、定义P264ana1a2ann 1an 称为一般项或通项Snu1u 2u n 称为前 n 项部分和例 1、10.333331010210n1 23n1111(1) n 1n2、定义Snu KK1anSn 1 Sn如 Sn 收敛，则an 收敛n 13、几个重要极限等比级数（几何）aqn ，当 q1 收敛， q1发散；n 0P 级数1P1收敛，P1发散；nPn 11当 P1，又称调和级数。n 1 n4、级数性质P266性质 5 是级数收敛的必要条件即an收敛l i man0n 1n例 1、n -1发散，lim anlimn110n 1 2n1nn2n12
2、例 2、3n发散， lim3n1 0n 3nn 1n 3nn例 3、1发散，但 lim10n 1nnn20 正项级数判别法u nu n0n 1正项级数部分和数列Sn 单调递增正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设 Vnun ，如V n收敛，则un收敛n 1n 1如u n发散，则V n发散n 1n 1例、判别下列级数敛散性1sin2 n3（ 1）（2）2n2n 14nnn 1解（1）由于11114n2n4n2n25n 1 发散，原级数发散n 1 nsin2 n11（2）由于3，而收敛，原级数收敛n 2n 2n 1n 2比较判别法的极限形式如 limu nA 则有n Vn0 A时u n ，V
3、n ，同时收敛，同时发散n 1n 1A=0如V n收敛，则un 收敛n 1n 1A=+ 如u n收敛，则Vn 收敛n 1n 1判别下列级数敛散性例、lnn1n 1nln n11limn1 又发散，原级数发散n1n 1nn例、（ 1）1（2） (11lnncos )（3）n 1 n 21 nn 1nn 2 n1解：（ 1）由 limn 2nnlimn121nnnnnn1cos 1121（ 2）limnlim2nn1n12n 2n 21收敛原级数收敛n 1 n2（3） lnn1(n 3) 1发散，nnn 1 nlnn发散n 1n例、 P271例 7.7 7.82、比判别法设正项级数un 的一般项满
4、足n 1limun 1n u n则当1时，级数收敛，1 时发散，1不定3、根值法设 un 为正项级数，如 lim n u nn 1n则当1时，级数收敛，1 时发散，1不定正项级数判别其敛散性的步骤：0首先考察 lim u nn0发散需进一步判别如 un 中含 n!或 n 的乘积通常选用比值法；如 un 是以 n 为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；如 un 含形如 n （ 可以不是整数）因子，通常用比较法；利用级数性质判别其敛散性；据定义判别级数敛散性， 考察 lim Sn 是否存在，实际上考察Snn是否有上界。例、判别下列级数的敛散性2n n!nn1（1）（2）（3）设 a 0n 1
5、 n nn 1 2n 1n 11 an（4）6nn5n（ 5）nn 17nn 1 41 n（6）x nx 0 为常数n 1 1 x 1 x21 x nlnnncos2n（7）（ 8）3n 12n nn 14n2n 1n 1 !解：（ 1）u n 1limn1 n 1nlimu n2n!nnnn2nnlimnnn1lim2nn11n21收敛e（ 2）方法一：lim n u nlimn1收敛2n12nnnnnn1n方法二：12n22nn1收敛原级数收敛n 12limu n 1limx n 11 x 1 x 21 x nu n1x 1 x21 xn 1xnnnlimx1xn 1nx0x11x1级数收
6、敛20x1limun 1limln n12n nu n2n 1n 1lnnnnlim ln n 1n 110 收敛n2 l n nn2（）当a 1 lim u nlim110发散322nn0 a 1 lim u nlim110发散1ann 0na 1111为公比 11的等比级数1anann1ana 收敛n6nn7n（4） lim 75nlimnn1675nn7n6n收敛，7n 1 原级数收敛nnn为奇数nn（5）n n3 u nn41nn为偶数35n对n limun 1limn1 3n1n 13nu n3n 1n1nn3nn 13n收敛，又由比较判别法知原级数收敛n cos2 nnn（6） u
7、 n3，由此值法知收敛44 nn 1 4n原级数收敛3°交错级数的敛散性的判别法如 u n0 ，则称n 1u1 u2u3 u 4为交错级数。1 u nn 1莱伯尼兹判别法：如交错级数1n 1un 满足：n 1( i )u n u n1( ii )lim u n0n8n 1则收敛，且和 s u11 unn1例、判断下列级数的敛散性。1P274 例 7.1321n1nnn 1解： lim u nlimn 1n lim10nnnn 1n u nn1n11n1nn 2n 1n2n1u n 1收敛31 n 11n 1nln n解： lim u nlim1lim 110nnnln nnnln n
8、1nn 1 ln n 1n ln n 1 ln 110n11即u nu n 1n 1 ln n 1n ln n收敛4°绝对收敛与条件收敛定义P275u n为任意项级数n 1如u n收敛 称u n绝对收敛n 1n 1如u n发散u n收敛 称u n条件收敛n 1n 1n 1定理，如u n收敛 u n必收敛n 1n 1例、 P276例 7.177.18例、判断级数的敛散性， 如收敛，是绝对收敛还是条件收敛n n 1n10nn( 1 )1 2( 2 )b2 n1b 0n 1n 1nu n 1n 1 102 n1110解：( 1 ) limlim1u n2n 1n10lim 1n1nn2 n2原级数收敛，且绝对收敛。解： ( 2 ) limu n 1limb n 1nb limn6nnu nnn 1bnn10b1b1原级数绝对收敛原级数发散 lim 101 n 1nnb 1 原级数为为交错级数收敛n 1n u n u n 1而u n1发散n 1n 1 n b 1条件收敛习题七， 8