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1、习题课三一、填空题x25cosx1；1 lim6sin xx3x235解： limx 25cosx1x2 cosx1。3x 2lim63x6sin x x3x 2 sin x(x1) 30 (2x3) 70270；2 lim9)1005100x(5x3013070370130 270x(1x )x(2x)270解： lim9)100。xx100 (551005100x3 设 x0 时 ， (excosx2ex ) 与 xk 是同阶无穷小， 则 k5。解：当 x0时 ，x cosx 2xx (x cosx 2x1)x2x2eee e(x cosxx)xe (1cosx )e xex 1 ( x2
2、 )21 ex x5 。22excos x2ex1e limlim2xkxx 0x 0xx51 ，k1 lim x5 k k 52 x 02 当 x0时 ，若 (excosx2ex ) 与 xk 是同阶无穷小， 则 k5 。4已知 x 0 时，(1 ax 2 )131 与 1cosx 是等价无穷小，则常数 a3 。21211 ax 2(1ax)313lim 321解：lima，。x 01 cos xx 0 1 x23a22二、选择题1已知 lima tan x b(1cosx)2 ， a 2 c20，则（ A ）x 0 cln(1 2x) d(1 e x 2)（A）a4c ；（B）a4c； （
3、 C）b4d ；（D）b4d 。a tan xb(1 cosx)解： lim2x0 cln(1 2x)d(1 e x )a tan xb(1 cosx)limxxd (e x2x 0 cln(1 2x)1)xxlimx0a tan xx b(1cosx)a0axx22， a 4c。d (e x22c02ccln(12x)1)2xx 22x2设当 x 0 时， (1 cos ) ln(1x2 ) 是比 xsin x n高阶的无穷小，而xsin xn是比x( e x 21) 高阶的无穷小，则正整数 n 等于（ B）（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。解：(1 cosx) ln(1 x2 )li
4、m21 x2 x21 limx3 n0 3n0 ，limxsin xn2 x 0x 0x 0 x xn2xsinx nx x nlim xn 1 0 n 1 0 ，1n 3 ，n 2 。limx2lim2x 0x 0 xx 0e13设数列 xn 与 yn 满足 lim xn yn 0 ，则下列断言正确的是 （D）n（A） 若 xn 发散 , 则 yn 必发散 ；（B） 若 xn 无界 , 则 yn 必有界 ；（C） 若 xn 有界 , 则 yn 必为无穷小 ；（D） 若 1 为无穷小 , 则 yn 必为无穷小 。xn解：显然，应选（ D）。若 lim ynlim ( xn yn )1，若 1
5、为无穷小 , 则 yn 必为无穷小 。nnxnxn用反例排除（ A），（B），（C）。（A） xsin n, y0 ，或 x n, y 1；nnnnn 2 n( 1) n , yn n( 1) n 1 ；（B） xnnn（C） xn0, yn n 。ln(cosx)x2 , x00 处连续，则 a（）。4设 f (x)在 xax01（A）0 ；（B）1；（C） ；（D）。3解：由连续的定义应有： lim f (x)f (0) a ，而x 0ln(12sin2x2sin2 xx)2)22(1limf ( x) lim ln(cos x) x2limx 22limx2lim2x 0x 0x 0x
6、0x 0x22 a1 。2三、问答题1有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量，能否说有界函数与无穷大量的乘积是无穷大量？解：有界函数与无穷大量的乘积不一定是无穷大量。例如： sin kx （ k0 ），是有界函数，而在x0 时， f (x)1 是无穷大量，kx但 lim sin kx 1，并不是无穷大量。x 0 kx2无界函数是否一定是无穷大量？解：无界函数不一定是无穷大量。例如 n( 1)n 和 n( 1) n n 都是无界函数，但它们不是无穷大量。2又如，当 x时， f (x)xcosx 是无界函数，但它不是无穷大量。(见习题课教程 P20 例 5.)四、求下列极限41 lim (sinx 1
7、sinx) ；x解： lim sinx1 sinx lim 2cos x 1x sinx 1 xxx22limx1 x1，2cossin2(x1x2x ) 2cosx 1 x2 ， limsin10， lim sinx 1 sin x 0 。2(x1 x)2xx2 lim (5 x52x4 1x) 。x解： lim (5 x52x41 x) lim x (5 1211)xxxx5limx 1( 12 )1lim( 12)2 。x5x5x5xx 45五解答题f ( x)ln(1f ( x)1已知 limsin 2x5 ，求。ex 1limx0x0 x2f ( x) )ln(1f ( x) )解：
8、 lim ln( 1lim sin 2 x(ex 1) 5 0 0 ，x0sin 2xx 0ex1f ( x)ln(1f ( x) )0f ( x)0 ，sin 2x， lim (1)lim e lime 1x 0sin 2xx 0x 0 sin 2x5ln(1f ( x) )f (x)f (x)lim f ( x)1 limf ( x) limsin 2xlimsin 2xlim5 ，x 0ex1x 0xx 0xsin 2xx 0 2 x22 x 0x2 limf ( x)10 。x 0x22确定常数a和 b ，使 lim (x2x1) 0 .ax bx解法1：2(1a 2 ) x 2(12
9、ab) x(1 b2 )lim (xx1) limxax b2xxx1 (axb)a 0a 1上式极限为零的必要条件是1a 201。12ab0b2解法 2：令 t1 ，当 x时 ， t0，xlim ( x2x 1 ax b)lim1 tt 2a bt0 ，xt 0tlim ( 1tt 2abt )0a1，代回原极限式，得t01 tt 21 bt1 t t211( t t2)1 。， blimlim 2lim0t 0tt0tt0t213. 设 f (x)e x 1 , x0,求 f ( x)的间断点 , 并说明其类型。ln( 1 x), 1x0.6解 : f ( x) 在 x0 和 x1处无定义
10、 ，f ( x)在( 1,0),(0,1),(1,) 内都是连续的。11 ，f(0 0)lim ln(1x)0 ，lim ex 1f (0 0)ex 0x 0 x0是第一类间断点，且是跳跃间断点。11 f (1 0) lim e x 1 0 ，f (1 0)lim e x 1，x 1x 1 x1是第二类间断点，且是无穷间断点。4设 f (x) limx2n 1 ax2 bx 为连续函数，试确定a 和 b 的值。nx 2n 1解：当 x1 时，f (x) limx2n 1 ax2 bxax 2 bx ；nx 2n 1当 x1 时， f ( x) limx 2n 1 ax 2 bxlimx 1ax
11、 22n bx1 2n1；nx2n 1n1x 2nx当 x1时，f (x) limx2n 1ax2 bxa b 1，x2n 12n当 x1时，f (x) limx2 n 1ax 2 bxa b 1。x2n 12n71x1,ax 2x f (x)bx,x1ab 1,x12ab1,x12 f ( x) 在 (,1) ，( 1,1) ，(1,) 内为初等函数， f ( x) 在 (,1) ，( 1, 1) ，(1,) 内连续。故只要适当选取 a, b ，使 f (x) 在 x1处同时连续即可，由连续的定义应有：f (1)f (1 0)f (1 0)，f ( 1)f ( 1 0)f ( 1 0) f
12、(1 0) lim1 1 ，f(1 0)lim (ax2bx a b ， a b 1 。x 1x)x 1 f ( 1 0)lim (ax2 bx) a b ， f ( 1 0)lim11， a b 1 。x1x1x由、解得 a0 ， b 1。六求下列极限1 limsin 4cos2 xxxx解：令 1t ，则当 x时， t 0 。x2 xs i 4ntc o 2st 1lim sin41txcoslim 1 ( s i 4nt c o 2st 1) s i 4nt c o2st 1xxt 08s i 4ntc o 2st1l i mtet 0， lim sin 4tcos2t1 lim sin
13、 4tlim 1cos2tlim 4t1( 2t ) 2lim 2404，t 0tt 0 tt 0tt 0 tt 0t原式e4 。a xb xcx1x2 lim3x0axbxcx1axbxcx31解：)xxlim (3lim (13)x0x 0lim (1 a xbx cx3axbxcx33) a x b x c x 3 3 xx 03a xb x c x 3lim1 a x1 b x 1 c x 1)1(ln a ln b ln c)lim(e33 abc 3 abc 。ex 03xex0 3 xxxeln12e xsin x3 lim4xx01ex12e xsin x2e解： lim4xl
14、imx0x 01 e xe43xex sin x0 1 1，4xx1112 exsin x2e x sin x2 1 1， 原式 1。limlim44xx 0xx 01e x1 e x9思考题 :证明： lim sin( n21)0。n证法 1： 0 sin(n21)sinn(n2 1 ) ( 1)n sin (n21n)nsinn21nn21n2n而 lim0 ，n 2n lim sin(n21)0lim sin(n21)0 。nn证法 2：lim sin(n 21)lim sin(n21) sin n nnlim 2cos( n 2 1 n)( n2 1 n)2sinn2lim 2cos( n2 1 n)sin0 。2n2n2(1 n)有界量无穷小10