高数下册知识点(word文档物超所值).doc

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1、高等数学（下）知识点第九章多元函数微分法及其 应用 基本概念1 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2 多元函数：zf ( x, y) ，图形：limf ( x, y)A3 极限：( x, y) ( x0 , y 0 )4 连续：limf ( x, y)f ( x0 , y0 )( x, y) ( x0 , y 0 )5 偏导数：f x (x0 , y0 )limf ( x0 x, y0 )f ( x0 , y0 )xx 0f y (x0 , y0 )limf ( x0 , y0y)f ( x0, y0 )yy 06 方向导数：ff cosf

2、 cos其中,为 l 的方向角。lxyrrz f ( x, y)gradf ( x0, y0 )，则f x (x0 , y0 )i f y ( x0, y0 ) j。7 梯度： 全微分：设 zf ( x, y) ，则 dzz dxz dy8xy 性质1 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之 间的关系：第1页共15页高等数学（下）知识点12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件4定义23函数连续2 闭区域上连续函数的性 质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3 微分法1 定义：ux2 复合函数求 导：链式法则z若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y)

3、 ，则vyzzuzvzzuzvxuxvx ， yuyvy3 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） 应用1 极值1 无条件极 值：求函数zf ( x, y) 的极值fx0解方程组f y0求出所有 驻点，对于每一个 驻点 ( x0, y0 ) ，令A f xx ( x0 , y0 ) ，Bf xy ( x0 , y0 ) ，C f yy ( x0 , y0 ) ，若ACB20 ，A0 ，函数有极小值，若ACB20 ，0，函数有极大值；A第2页共15页高等数学（下）知识点 若 ACB20 ，函数没有极值； 若 ACB20，不定。2 条件极值：求函数zf ( x, y) 在条件( x, y)0 下

4、的极值令：L( x, y)f ( x, y)( x, y) Lagrange 函数Lx0解方程组Ly 0( x, y)02 几何应用1 曲线的切线与法平面xx (t )曲线: yy (t ) ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) （对应参数为 t0 ）处的zz( t )x x0yy0zz0切线方程为：x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程 为：x ( t0 )( xx0 )y ( t0 )( yy0 )z ( t0 )( z z0 ) 02 曲面的切平面与法 线曲面 : F ( x, y , z)0 ，则上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程 为：

5、Fx ( x0, y0 , z0 )(x x0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )Fz (x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0法线方程为：Fxx0y y0zz0(x, y , z )F(x , y, z )F(x, y, z)x000y000z000第十章重积分 二重积分第3页共15页高等数学（下）知识点n1 定义： f ( x, y) dlimf ( k , k ) kD0k 12 性质：（6条）3 几何意义：曲顶柱体的体 积。4 计算：1 直角坐标D( x, y) 1 (x)y2 ( x)，axbf ( x, y)dxdyb2 ( x)adxf ( x,y

6、) d yD1( x)D( x, y)1 ( y)x2 ( y)cyd，f ( x, y)dxdyd2 ( y)f ( x,y) d xdyDc1 ( y )2 极坐标D(,)1( )2 ( )f (x, y)dxdy2 ()cos ,sin)ddf (D1 () 三重积分n1 定义：f ( x, y, z) d vlimf (k , k ,k )vk0k 12 性质：3 计算：第4页共15页高等数学（下）知识点1 直角坐标f (x, y, z) d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z)dzz1 (x , y)Dbf (x, y, z) dx d yf (x, y, z)

7、 d vd zaDZ2 柱面坐标xcosysin，f (x, y, z) d vf ( coszz3 球面坐标xr sincosyr sinsinzr cosf (x, y, z)d vf (r sincos ,r sinsin 应用曲面 S : zf ( x, y) , ( x, y) D 的面积：A1 ( z)2( z )2 d x d yDxy第十一章曲线积分与曲面 积分 对弧长的曲线积分n1 定义：Lf (x, y)ds limf ( i , i ) si0i 12 性质：- “先一后二 ”- “先二后一 ”,sin, z) d d dz, r cos )r 2 sin dr d d第

8、5页共15页高等数学（下）知识点1） f ( x, y)( x, y)dsf (x, y)dsg( x, y)ds.LLL2）f ( x, y)dsf ( x, y)dsf ( x, y)ds.(L L1 L2).LL1L2）在 上，若 f ( x, y)g( x, y) ，则f ( x, y)dsg( x, y)ds.LL3L4） L ds l ( l 为曲线弧 L 的长度)3 计算：x(t),设 f ( x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程 为(t) ，y(t),其中 (t ), (t) 在 , 上具有一 阶连续导 数，且2 (t )2 (t )0 ，则f ( x, y

9、)dsf (t), (t)2 (t )2 (t )dt ,()L 对坐标的曲线积分 定义：设L为 xoy 面内从A到B的一条有向光滑弧，函数 P ( x, y ) ，1P ( x, y) d x limnP ( k ,k ) xk ，Q ( x, y ) 在 L上有界，定义L0k 1nL Q ( x, y )d y limQ ( k , k )yk .0k 1r向量形式： L F d rL P( x, y)dxQ( x, y)d y2 性质：rrdr用L 表示L的反向弧 ,则F ( x, y) drF ( x, y)LL3 计算：设 P(x, y) , Q( x, y) 在有向光滑弧 L 上有

10、定义且连续 ,L 的参数方程 为第6页共15页高等数学（下）知识点x(t ),(t :) ，其中 (t ), (t) 在 , 上具有一 阶连续导 数，且y(t ),2 (t )2 (t )0 ，则P( x, y)d xQ( x, y)d y P(t),(t)(t )Q (t ),(t )(t )dtL4 两类曲线积分之间的关系：x(t)设平面有向曲 线弧为 L为 y(t ) ，L 上点 ( x, y) 处的切向量的方向角 为：,，cos(t )，cos(t)，2 (t )2 (t)2 (t )2(t )则LPdx Qdy(P cosQ cos )ds.L 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由

11、分段光滑正向曲 线 L 围成，函数P( x, y) , Q(x, y) 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有QP d xd yPd x Qd yxyDL2、G 为一个单连通区域，函数 P(x, y) ,Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QP曲线积分PdxQdy 在 G 内与路径无关xyL曲线积分 ?PdxQdy 0LP(x, y)dxQ( x, y) d y 在 G 内为某一个函数 u( x, y) 的全微分 对面积的曲面积分1 定义：第7页共15页高等数学（下）知识点设为光滑曲面，函数 f ( x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f ( x, y, z)dS li

12、m f (i ,i ,i ) Si0i 12 计算：“一单二投三代入 ”: zz( x, y) ，( x, y)Dxy ，则f ( x, y, z) dSf x, y, z( x, y) 1 zx2 (x, y) zy2 (x, y) dxd yDx y 对坐标的曲面积分1 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2 定义：设为有向光滑曲面，函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 是定义在上的有界函数，n定义R( x, y, z)d xdylimR(i ,i,i )(Si ) xy0 i1n同理，P( x, y, z)d ydzlimP(i,i ,

13、i )(Si ) yz0i 1nQ(x, y, z)d zdx limR(i , i,i)(Si )zx0i 13性质：1）12 ，则PdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdyPdydzQdzdxR dxdy122）表示与取相反侧的有向曲面,则R d xdyR d xdy4 计算：“一投二代三定号 ”: z z( x, y) ，在Dxy上具有一 阶连续偏导数，R(x, y, z)在( x, y) Dxyz z( x, y)第8页共15页高等数学（下）知识点上连续，则R(x, y, z)d xdyR x, y, z( x, y)dxdy , 为上侧取“ + ”，Dx y为下

14、侧取“ - ”.5 两类曲面积分之间的关系：Pd ydzQdzd x Rdxd yPcos Qcos Rcos d S其中,为有向曲面在点 ( x, y, z) 处的法向量的方向角。 高斯公式1 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的 闭曲面所围成,的方向取外 侧,函数 P, Q, R 在上有连续的一阶偏导数,则有PQR d x d yd zP d y d z Q d zd x Rdx d yxyz或PQR d x d y d zP cos QcosRcos d Sxyz2 通量与散度r通量：向量场 A(P,Q, R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd yd zQd zdxRdxd yrPQR散度：d

15、ivAyzx 斯托克斯公式1 斯托克斯公式：设光滑曲面的边界是分段光滑曲 线,的侧与的正向符合右手法 则, P(x, y, z), Q( x, y, z), R(x, y, z) 在包含在内的一个空 间域内具有 连续一阶偏导数, 则有第9页共15页高等数学（下）知识点R Q d y d zPR d zd xQP d x d yP d x Q d y Rd zyzzxxy为便于记忆 , 斯托克斯公式 还可写作 :d y d z d zd x d x d yxyP d x Q d yRd zzPQR2 环流量与旋度r(P,Q, R) 沿着有向 闭曲线的环流量为 P d x Q d y R d z环

16、流量：向量场 ArRQPRQP旋度：rot Az,x,yyzx第十二章无穷级数 常数项级数1 定义：1）无穷级数：unu1u2u3LunLn 1部分和：Snnuku1u2u3Lun ，k1正项级数：un ，un0n 1交错级数：(1)n un ，n 1un 02）级数收敛：若lim SnS 存在，则称级数un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 1第10页共15页高等数学（下）知识点3）条件收敛：un 收敛，而 un 发散；n 1n 1绝对收敛：un 收敛。n 12 性质：1 改变有限项不影响级数的收敛性；2 级数an ，bn 收敛，则(anbn ) 收敛；n 1n 1n 13 级数an 收

17、敛，则任意加括号后仍然收 敛；n14 必要条件：级数un 收敛lim un 0.（注意：不是充分条件！）n 1n3 审敛法正项级数：un ，0n 1un1定义：lim SnS存在；n2un收敛S有界；n 1n3比较审敛法：un，vn 为正项级数，且unvn (n 1,2,3,L )n 1n 1若vn 收敛，则un 收敛；若 un 发散，则vn 发散.n1n 1n 1n 14比较法的推论： un ，vn 为正项级数，若存在正整数 m ，当nm 时，n 1n 1unkvn ，而vn收敛，则un 收敛；若存在正整数 m ，当nm 时，unkvn ，而n1n1vn 发散，则un 发散.n 1n 1第1

18、1页共15页高等数学（下）知识点5 比较法的极限形式：un ， vn 为正项级数，若nlim unl(0l) ，而n 1n 1vnvn 收敛，则un 收敛；若lim un0 或 lim un，而vn发散，则un 发散.n 1n 1nvnnvnn 1n 16 比值法：un 为正项级数，设 nlim un 1l ，则当 l 1时，级数un收敛；则当n 1unn1l1时，级数un 发散；当l1时，级数un 可能收敛也可能发散.n1n 17 根值法：un 为正项级数，设 lim nunl ，则当 l 1时，级数un 收敛；则当n 1nn 1l1时，级数un 发散；当l1时，级数un 可能收敛也可能发散

19、.n1n 18 极限审敛法：un 为正项级数，若lim n un0 或 lim nun，则级数n1nnun 发散；若存在 p1，使得lim n punl(0 l) ，则级数un 收敛.n 1nn1交错级数：莱布尼茨 审敛法：交错级数：( 1)n un ，0满足：un (n 1,2,3,L)，且n 1unun 1lim un 0 ，则级数( 1)n un 收敛。nn 1任意项级数：un 绝对收敛，则un 收敛。n 1n 1为为为 q1常见典型级数：几何级数：aqn为为为 q1n 01 为为为 p 1p -级数：npn 1为为为 p 1第12页共15页高等数学（下）知识点 函数项级数1 定义：函数

20、项级数un (x) ，收敛域，收敛半径，和函数；n 12 幂级数：a xnnn 01 ,0收敛半径的求法：liman 1R0,an，则收敛半径n,03 泰勒级数f ( x)f (n) ( x0 )( xx0 )nn 0n!展开步骤：（直接展开法）(n )1 求出 f( x),n1,2,3,L ；3 写出f (n) ( x0 )( xx ) n；n!0n 0lim R ( x)lim f (n1) ( ) (x x )n 10nn0n(n1)!4 验证 lim Rn ( x)limf (n1) ( ) ( x x0 ) n 10 是否成立。nn(n1)!间接展开法：（利用已知函数的展开式）ex1

21、 xn , x ( , )；1）n!n 0第13页共15页高等数学（下）知识点sin x(1)n 11x2n1 ,x (,)；2）n0(2n1)!cos x(1) n 11x2n ,x(,)；3）n0(2n)!4） 1xxn , x ( 1, 1) ；1n01x( 1)n xn , x ( 1, 1)5）1n0ln(1x)(1)nxn 1,x(1, 16）n0 n11( 1)n x2n , x ( 1, 1)7）1 x2n 0(1x) m1m(m 1)L (mn1) xn ,x( 1,1)8）n 1n!4 傅里叶级数1 定义：正交系：1, sin x, cosx, sin 2x,cos2x,L

22、,sin nx,cosnxL函数系中任何不同的两个函数的乘 积在区间 , 上积分为零。a0(ancosnxbnsin nx)傅里叶级数：f ( x)2n 1an1f (x) cosnx dx(n0, 1,2,L )系数：13,L )bnf (x) sin nx dx(n1,2,2 收敛定理：(展开定理 )第14页共15页高等数学（下）知识点设 f (x) 是周期为 2的周期函数 ,并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件 :1) 在一个周期内 连续或只有有限个第一 类间断点 ;2) 在一个周期内只有有限个极 值点,则 f (x) 的傅里叶 级数收敛 ,且有f ( x),为为为为a0xan cosnxbn sin nxf ( x )f ( x )2 n 1为为为为,2x3 傅里叶展开：an1f (x) cosnx dx(n0, 1,2,L ) 求出系数：1；bnf (x) sin nx dx(n1,2,3,L ) 写出傅里叶 级数 f ( x)a0(an cosnxbn sin nx) ；2n 1 根据收敛定理判定收 敛性。第15页共15页