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1、全称量词与存在量词编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2能准确地使用全称量词和存在量词符号“” “”来表述相关的教学内容；3掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等 . 通常用符号“”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M中任意一个x ，有p( x)成立”，记作
2、：xM， p(x)（其中M为给定的集合，p( x)是关于x 的语句）.要点诠释： 有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（ 1）“末位是的整数， 可以被 5 整除”；（ 2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”（3）“负数的平方是正数” ；都是全称命题.0；要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”, “至少有一个”通常用符号“”表示，读作“存在”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.，“有的” , “有些”等.一般形式：“存在M中一个元素x0 ，有p( x0 ) 成立
3、”，记作：x0M ， p( x0 ) （其中M为给定的集合，p( x)是关于x 的语句）.要点诠释： （ 1 ）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在R,R使sin()sinsin.（ 2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（ 3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题 p ：xM ， p( x)p 的否定p ：x0M ，p( x0 ) ；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有 p（ x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x) 进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意 xM , p
4、( x) ”的否定为“x0M ，p( x0 ) ”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题 p ：x0M ， p(x0 )p 的否定p ：xM ，p( x) ；从一般形式来看，特称命题“x0M ， p( x0 ) ”，它的否定并不是简单地对结论部分p( x0 ) 进行否定， 还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“x0M ， p( x0 ) ”的否定为“xM ，p( x) ”.要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.（ 3）正面词： 等于、 大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于否定词：不等于、不大于、
5、不小于、不是、不都是、一个也没有、至少两个、大于等于 .要点四、全称命题和特称命题的真假判断要判定全称命题“xM ， p( x) ”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明 p( x) 成立；要判定全称命题“xM ， p( x) ”是假命题，只需在集合M中找到一个元素 x0，使得 p( x0 ) 不成立，即举一反例即可.要判定特称命题“x0M ， p( x0 )”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0 ) 成立即可；要判定特称命题“x0M ， p(x0 )”是假命题，必须证明在集合M中，使p( x) 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【高清课堂：
6、 全称量词与存在量词395491 例 1】例 1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（ 1） x R， x2+11；（ 2）所有素数都是奇数；（ 3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（ 4）有些整数只有两个正因数 .【解析】（ 1）有全称量词 “任意 ”，是全称命题；（ 2）有全称量词“所有”，是全称命题；（ 3）有存在量词 “存在 ”，是特称命题；（ 4）有存在量词 “有些 ”；是特称命题。【总结升华】 通过量词来确定命题是全称命题还是特称命题.判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”， “任何”， “存在”， “有的”，“至少有”等词语，或隐含有
7、这些词语的意思.举一反三：【变式】下列命题中全称命题的个数为()平行四边形的对角线互相平分梯形有两边平行存在一个菱形，它的四条边不相等A 0B 1C 2D 3【答案】C【解析】是全称命题，是特称命题类型二：判断全称命题、特称命题的真假例 2.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假（ 1）对数函数都是单调函数；（ 2）至少有一个整数，它既能被2 整除，又能被5 整除；.（ 3）x x | x是无理数 ， x2 是无理数；（ 4）x0 x | xZ ， log 2 x00 .【解析】（ 1）全称命题，真命题 .（ 2）特称命题，真命题 .（ 3）全称命题，假命题，例如x03 ，但 x0
8、23 是有理数 .（ 4）特称命题，真命题.【总结升华】（ 1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x ，验证 p( x)成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个xx0 ，使 p(x0 ) 不成立即可；（ 2）要判断一个特称命题的真假， 依据：只要在限定集合 M中，至少能找到一个 x x0 ，使 p(x0 ) 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.举一反三：【变式1】下列全称命题中真命题的个数为（）末位是0 的整数，可以被2 整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中相邻两侧面的夹角相等.A1B2C3D0【答案】 C【高清课堂：全称
9、量词与存在量词395491 例 2】【变式 2】判断下列命题的真假.（ 1） p：xR， x220 ；（ 2） p：xN ， x41 .【答案】（ 1）命题为真；（ 2）命题为假；类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例 3.写出下列命题的否定并判断真假（ 1） p：所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；（ 2） p：每一个非负数的平方都是正数；（ 3） p：存在一个三角形，它的内角和大于180 ；（ 4） p：有的四边形没有外接圆；（ 5） p：某些梯形的对角线互相平分 .【解析】（ 1）存在未位数字是0 或 5 的整数但它不能被5 整除，假命题；（ 2）存在一个非负数
10、的平方它不是正数，真命题；（ 3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；（ 4）所有的四边形都有外接圆，假命题；（ 5）任一梯形的对角线都不互相平分，真命题【总结升华】 命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题.举一反三：【变式1】 (2015浙江 )命题“nN * , f (n)N *且 f (n)n 的否定形式是（）A.nN * , f (n)N * 且 f (n)nB.nN * , f (n)N * 或 f (n) nC.n0N * , f (n0 ) N * 且 f ( n0 )n0D.n0N * , f (n0 ) N
11、* 或 f (n0 ) n0【答案】 D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.【变式 2】命题x0 R ，x0210 的否定是 _ _.【答案】xR ， x210【变式 3】写出下列命题的否定，并判断真假.（ 1）x R, x24x4 0；（ 2）所有的正方形都是矩形；（3） x0R, x02x01 0 ；（ 4）至少有一个实数 x0，使得 x022 0 .【答案】（ 1）p ：x0R, x024x 040 （假命题）；（ 2）p ：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（ 3）p ：xR, x2x10 （真命题）；（ 4）p ：xR, x220 （真命题） .类型四：含有量词的命
12、题的应用例 4 已知 p :|1x 1 | 2 ， q : x22x 1 m20 ( m 0) ，若p 是q 的必要不3充分条件，求实数m的取值范围 .【解析】p :|1 x1 |22x 1 121x 132x 1023233x-(1-m)x-(1+m) 0q:x -2x+1-m 0又 m>0不等式的解为 1-m x 1+mp 是q 的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是 q 的充分不必要条件”不等式 |1x1 |2 的解集是 x2-2x+1-m 2 0(m>0) 的解集的子集 .31m2m391m10m, m9实数 m的取值范围是9,【总结升华】 本题以含绝对值的不等
13、式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.举一反三：【变式 1】已知 p： x 2 或 y 3； q： x+y 5，判断 p 是 q 的什么条件 .【答案】p : x2且 y=3 ；q:x+y=5pqqpqppq p 是 q 的必要不充分条件.【变式 2】(2015山东 )若“x0, ， tan xm ”是真命题，则实数m 的最小值4为。【答案】 1【解析】 若“x0, ， tan xm ”是真命题4则 mf ( x)max ，其中f ( x)tan xx 0,4函数 f ( x)tan xx0, 的最大值为14m1即 m的最小值为 1，所以答案应填1.