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1、学习好资料欢迎下载勾股定理常见错解剖析江苏刘顿勾股定理是我们研究几何的重要定理之一，是勾通代数与几何的桥梁，所以，同学们一定要认真学好但仍有不少同学在运用勾股定理解题时，因缺乏慎重考虑，时常出现错解现象，为了方便同学们学习，现就常见错误说明如下：一、忽视利用勾股定理解题的格式例 1已知在 Rt 中， 90°， 15cm， 12cm ，求AC的长ABCCABBC222错解在 Rt ABC中，因为C 90°， AB 15cm， BC 12cm，所以由勾股定理，得AB AC+BC，所以2222 AB BC 15 12 81 9即 AC 的长是 9cm2AC剖析AC的长确实是9cm
2、，不过问题出在求解过程中的格式书写不当，即2222122AC AB BC15正解在 Rt 中，因为 90°， 15cm， 12cm，ABCCABBC222ACAB222281 9即 AC的长是 9cm所以由勾股定理，得ABACBC1512 +BC，所以二、忽视勾股定理的存在条件例 2已知在 ABC中，若AB BC AC，且 AB 10， BC 8试求偶数AC的长错解在中，因为，所以AB是斜边，ABCABBCAC所以由勾股定理，得222222AB+BC，即ACAB，ACBC又因为 10， 8，所以AB2BC222 6，ABBCAC108即偶数AC的长是 6剖析勾股定理适用的范围必须是在
3、直角三角形中才能成立然而本题中并没有说明是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解根据题设条件可以利用三角形的三边关系求解解在中，因为 10， 8，ABCABBC所以2 AC 18，又 BC AC，所以2 AC 8，而是偶数，所以AC只能取4或 6AC三、忽视对直角三角形边的分类讨论例 3已知一个直角三角形的两条边是3cm 和 4cm，求第三条边的长3cm 和 4cm，所以由勾股定理，32225 错解因为直角三角形的两条边是得第三条边，即斜边是45 ，即第三条边的长是5cm剖析受勾3 股 4 的影响，误以为已知的3cm 和 4cm 就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，当然是5了事实上，这里也并
4、没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm 可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论3cm 和 4cm 两条直角边，所以由勾股定理，得斜边2225 5，即正解在直角三角形中，若34第三条边的长是5cm在直角三角形中，若3cm 是直角边，4cm 是斜边，则由勾股定理，得另一条直角边4 232 7 ，即第三条边的长是7 cm故第三条边的长是5cm 或7 cm四、忽视对图形中高的分类讨论例 4已知：在ABC中， AB 15cm， AC 13cm，高 A D 12cm，求 SABC学习好资料欢迎下载ADBADCBD222281错解如图1，在Rt ABAD1512和 Rt中，分别由勾股定理，得9 ；2
5、2221·A D1ACAD 131225 5所以BC BD+ CD 9+5 14 故S× 14×CDBC ABC22212 84 （ cm ）剖析由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图1 的情况外，还要考虑如图2 的情况即要画出所有可能的图形错解时正是漏掉了如图2 的情形AABCBDDC图 1图 21 ，在Rt ADB 和 Rt ADC 中，分别由勾股定理，得22正解分两种情况：如图BD ABAD 152122 81 9； CDAC 2AD 2 132122 25 5所以BC BD+ CD 9+5 14故SABC1 BC·A D 122
6、22 ，在 Rt 和 Rt 中，分别由勾股定理，得22× 14 × 12 84（ cm ）；如图ABADABDACDBD22 9；2222 5所以 9 54故151281AD131225S ABC 1 BC·AD 12× 4× 12 24 （ cm ） 22五、忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论例 5已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是8cm，求一腰上的高错解如图3，作 BD AC于 D，则在 Rt ABD和 Rt CBD中，分别由勾股定理，得22222BD AB AD BC CD，即 () ，所以 86 (8)，即23，所以ABAD22
7、222232AC22222ADBD28ABADBCADADAD44355 A4AD8D6B6CB8C图 3图 4剖析对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原因可能是只对图3 中的一种情况计算，而忽视了如图 4 的情形正解分两种情况讨论：若以6cm 为底， 8cm 为腰，则如图3，在Rt ABD和 Rt CBD中，分别由勾股定理，得222222222，所以2222，即 AD23BD AB AD BC CD，即 AB AD BC ( AC AD)8 AD6 (8AD)，所以42323BD2AD2255；若以8cm 为底， 6cm 为腰，则如图4，在 Rt ABD和 Rt CBDAB8442222222222222中，分别由勾股定理，得BD AB AD BC CD，即 AB AD BC ( AC AD) ，所以6 AD 8 (6 AD) ，学习好资料欢迎下载2222即，所以2285AD3BDABAD 63