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1、201722 选修 44：坐标系与参数方程（ 10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x3cos, （ 为参数），直线l 的参数方ysin,程为xa4t,（ t为参数） .y 1 t ,（ 1）若 a=-1 ，求 C与 l 的交点坐标；（2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为17 ，求 a.即 5a417 ，a16，当 sin1 时最大，即 a917，a8 ，综上： a16 或 a 8 .2016（23）（本小题满分10 分）选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy 中，曲线 C1 的参数方程为xa cost（ t 为参数， a 0）y1 a sin t。在以坐标原点为极
2、点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=4cos.（I）说明 C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3 的极坐标方程为a0 ，其中 a0满足 tan=2，若曲线 C1与 C2 的公共点都在C3 上，求 a。解：xa cos t（ t均为参数）y1a sin t x2y2a21C1为以0，1222为圆心， a 为半径的圆方程为 xy 2 y 1a 0 x2y22 ，ysin22sin1a20即为 C1 的极坐标方程 C2：4cos两边同乘得24cos2x2y2 ， cosxx2y24x即 x242y2C3 ：化为普通方程为y2 x由题意： C1 和 C2 的公
3、共方程所在直线即为C3得： 4x2 y1a20 ，即为 C3 1 a 2 0 a 12015（23）（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中。直线 C1 : x222，圆 C2 ： x 1y 21, 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I ）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（II ） 若直线 C3 的极坐标方程为4R ，设C2与C3的交点为 M , N , 求C2 MN 的面积解：（）因为 xcos , ysin，所以 C1 的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为22cos4 sin405 分（）将代入22 cos4sin40 ，得2
4、3 240 ，解得41 22,22，故 122，即|MN | 2由于 C2的半径为1，所以C2MN 的面积为110 分22013（23）（本小题 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x=4+5cost（t 为参数），以坐标原点为已知曲线 C1 的参数方程为y=5+5sint极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 =2sin。（）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0,02）【答案】（1）因为x45cost ，消去参数，得 (x 4)2 ( y 5)2 25 ，即y 5 5sin tx2 y2 8x 10y 16 0 ，故 C1
5、 极坐标方程为28cos10sin16 0；（2） C2 的普通方程为 x2y22 y0 ，由 x2y28x 10 y 160 解得 x1 或 x 0 ，x2y22y 0y 1y 2所以 C1 、 C2 交点的极坐标为 ( 2,),(2,) .42201423. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程已知曲线 C ： x2y2x2t1 ，直线 l ：2（ t 为 参数） .49y2t( )写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；（） 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线， 交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.解：x2cos .（ I
6、 ）曲线 C的参数方程为( 为参数 ).y3sin .直线 l的普通方程为 2x y 60.5 分（ II ）曲线 C上任意一点 P(2cos .3 sin ) 到 l的距离为d5 4cos3sin6.5则 PAd2 5455sin() 6 , 其中 为锐角，且 tan.sin303当( +)=-1 时，取得最大值，最大值为225sinPA.5当sin(时，取得最小值，最小值为25) 1PA5.201822 选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xO y 中，曲线 C1 的方程为 yk | x |2 . 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为
7、22cos3 0 .（ 1）求 C2 的直角坐标方程；（ 2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程 .解：（ 1）由 xcos ， ysin 得 C2 的直角坐标方程为( x1)2y24 .（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0) ，半径为2的圆 .由题设知， C1 是过点B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线. 记 y 轴右边的射线为 l1 ， y 轴左边的射线为l 2 . 由于 B 在圆 C2的外面，故 C1 与 C2有且仅有三个公共点等价于l1 与 C2 只有一个公共点且l 2 与 C2 有两个公共点，或l 2 与 C2只有一个公共点且 l1 与 C2有两个公共点 .当 l1 与 C2只有一个公共点时，A 到 l1 所在直线的距离为2 ，所以 | k2 |2 ，故 k4k 213或 k0 . 经检验，当 k0 时， l1 与 C2 没有公共点；当 k4 时， l1 与 C2只有一个公共点，3l2 与 C2有两个公共点 .当 l 2 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l 2 所在直线的距离为2 ，所以 | k2|2 ，故 k0k 21或 k4. 经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k4 时， l 2 与 C2没有公共点 .33综上，所求 C1 的方程为 y42 .| x |3