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1、分式的四则运算知识总结归纳：1. 分式的乘除法法则acacacadadbdbd；dbcbcb当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2. 分式的加减法（ 1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（ 2）同分母的分式加减法法则：abab 。ccc（ 3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3. 分式乘方的法则： ( a ) na n（n 为正整数）bb n4. 分式的运算是初中
2、数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（ 1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（ 2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（ 3）运算中及时约分、化简；（ 4）注意运算律的正确使用；（ 5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算x 2x2x2x6例 1：计算x6x 2x的结果是（）x22x1x1C.x 21x21A.3B.9x 2D.x23xx9分析： 原式1 / 7( x2)( x1)(x2)( x1)(x1)(x1)x21( x3)( x2)( x3)(x2)( x3)(x3)x29故
3、选 C 说明： 先将分子、分母分解因式，再约分。* 例 2：已知 abc1，求abc的值。a1bc b 1accab1分析： 若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“ 1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解： 原式aababca 1abcabaabcabc ababaababcaab11aba 11aba a 1ababa1例 3：已知： 2m5n0，求 (1nm)(1nm) 的值。mmnmmn分析： 本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的
4、式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解： (1nm) (1nm)mm nmmnm(mn)n(mn)mm(mn) n(mn)mm(m n)m( mn)nm( mn)mnm(mn)nmn5nn2737故原式5n2nnn232* 例 4 ： 已 知 a 、 b 、 c 为 实 数 ， 且ab1 ， bcc1 ， ca1，那么a b3b4 c a5abc的值是多少？abbcca分析： 已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。113，1111解： 由已知条件得：bb4，c5aca所以 2(111) 12即1 116abca bc2 / 7又因为 ab bcca1116
5、所以abc1abccbaabbc ca6例 5：化简： ( x 31x21)x 24x2x2x1解一： 原式(x 31)( x2)( x21)( x2) ( x2)( x2)( x2)( x2)x 1x 43x32x24( x4x2 ) 3( x31) (x 21)x1x 1x 2 ( x 1)( x 1) 3(x 1)( x 2x 1) ( x 1)( x 1)x1( x 1)( x3x 23x 23x 3 x 1)x1x32x 24x4解二： 原式(x 1)( x2x 1) ( x 2)( x 2)( x 1)( x 1) ( x 2)( x 2)x2x1x2x 1( x2x1)( x2)
6、( x1)( x2)x3x2x 2x22x 2 x23x 2x32x 24x4说明： 解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例 1（ 2000·北京朝阳）计算：1nmm2n2m2nm24mn 4n2解： 原式m2nm nm2n3n1nmnmnm说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例 2（ 2001·内蒙呼和浩特）3 / 7已知：M2xyy2xy ，则 M _ 。x2y2x 2y2
7、xy解：2 xy y 2x22xy y2x2x 2My 2M x2x2y 2y 2x 2说明： 分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出 M 。例 1：计算： 1111(a b)2(a b) 2 ( a b a b)解一： 原式(ab) 2(ab) 2abab(ab) 2 (ab) 2(ab)(ab)4ab( a b)(ab)2a2a( ab) 2 ( ab) 22b(ab)(ab)a2b2解二： 原式(11)(11)(11)a b a b a b a ba b a b11abab2aab ab( ab)(ab)a 2b 2说明： 在分式的运算过程中，乘法公式和因式
8、分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。例 2：若 a 2b2ab2b33) (12b)的值等于（）3 ，则(1a3ba b1B. 0C. 1D.2A.32解： 原式a3b 32b3ab2ba 3b3ab4 / 7a 3b3ab(ab)(a 2abb2 )aba3b3ab(ab)( a 2abb2 )ab 故选 Aa2abb23abab2ab1a 2abb 23abab4ab2基本练习 1.已知： ab2，abab的值等于（）5，则a214b1924C.A.B.55D.552.已知 x 216 x10，求 x 31的值。11x3113.计算：x23x 2 x25x 6 x27
9、x 12 x29x 20*4.若A999911111 ， B9999 22221 ，试比较 A 与 B 的大小。9999 22221999933331*5. 已知： abc0，abc8 ，求证：111ab0 。c【答案】1.解：ab2， ab5a2b2(a b)2ab1414故选 B2ab 14a55b2. 解：1 x 31x61( x 21)( x 4x 21)16 x( x 4x2x 216x)x3x3x3x 35 / 716316(x 21) 1631616x 162594144xx说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。3. 解： 原式11112)( x3)( x3
10、)( x4) ( x 4)( x 5)( x 1)( x 2) ( x11111111x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5114x1x 5x26x5说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。4. 解： 设 a 9999 1111 ，则 Aa1 ， Ba 21a 21a 31ABa 1 a 21 a4a3a 1 a42a 21a21 a 31( a 21)(a 31)a(a1) 20AB(a21)( a31)5. 证明：ab c0(abc) 20 ，即 a 2b2c 22ab2bc2ac0又111bc ac ab1 (a 2b2c2 ) abc 8abcabc16a、 b、 c 均不为零6 / 7a2b 2c20111abc07 / 7