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1、必修5第二章数列（复习 1）一 、等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 an an 1d (n 2) 或 an 1and (n 1) 。2、等差数列的通项公式： an a1(n1)d ；说明：等差数列的单调性：为数列当为常数列，为递减数列。3a ，A，b成等差数列，那么A叫做a 与b的等差、等差中项的概念：定义：如果其中 Aa ， A ， b 成等差数列。4、等差数列的前n 和的求和公式：。5、等差数列的性质：（ 1）在等差数列an中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差
2、中项；（ 2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，如： a1 ， a3 ， a5 ， a7 ， ； a3 ， a8 ， a13 ， a18 ， ；（3）在等差数列an 中，对任意 m ， nN ， an， d(mn) ；（ 4）在等差数列 an 中，若 m ， n ， p ， qN 且 m npq ，则；说明：设数列 an 是等差数列，且公差为d ，（）若项数为偶数，设共有2n 项，则 S 奇S 偶nd ； S奇an；S偶an1（）若项数为奇数，设共有2n 1S偶S奇ana中；S奇n。项，则S偶n1（ 2） Sn 最值的求法：若已知Sn ，可用二次函数最值的求法（nN ）；若已
3、知an ，则 Sn 最值时 n 的值（ nan0an0N ）可如下确定或an 1。an100变式训练1， 根据各题的条件，求等差数列an的前 n 项和 Sn ，（ 1） a1 2, d 5, n 10（ 2） a12, an 6, n 12（ 3） a102, d5, n82. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的27 个数成等差数列。求插入的25 个数的和 ?6、数列最值3,等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，已知 S9 0, S100 ，则此等差数列的前n 项和中， n 是多少的（ 1） a1 0 ， d0 时， Sn 有最大值； a10 ， d0时， Sn 有最小值
4、；时取最小值？4，在等差数列an 中，已知 a3a116, 求 S13 =？5，已知f (x)x1x2x3.x20 , xN 且1x20（ 1）分别计算 f (1), f (5), f (20)（ 2）当 x 为何值时， f (x) 取得最小值？最小值是多少？精选文库3（ 02 京）若一个等差数列前3 项的和为34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项4设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是nnS3 1，则 S65（ 06 全国 II ）设 S是等差数列 a的前 n 项和，若3S12S66（ 00 全国）设 an为等差数列， S
5、n 为数列 an的前 n 项和，已知 S7 7， S15 75， Tn 为数列 Sn7（ 02 上海）设 an（ n N*）是等差数列， S项的和，且 S5 S6，n 是其前 nS6 S7 S8，则下列结论错误的是（）A. d 0B.a7 0 C.S9 S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值8（ 94 全国）等差数列 an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为巩固提高1（ 01 天津理， 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且2，则 a数列Sn=nn 是2设 an 是公差为正数的等差数列，若a1 a2 a3 15 ， a1a2a380 ，则 a
6、11 a12a13第 二 章数 列（复习 2）二、等比数列知识清单1等比数列定义-2一般地，如果一个数列从第二项起，数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫；公比通常用字母q 表示 (q0) ，即： an 1： anq( q0) 数列（注意： “从第二项起” 、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：ana1q n 1 (a1 q0) 。说明：（ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比q 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若 an 为等比数列，则amqmn 。an3等比中项如果在 a与 b 中间插入一个数G ，使 a,G, b 成
7、等比数列，那么 G 叫做 a与 b 的（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列 a1, a2 ,a3,L, an ,L的前 n 项和是 Sna1a2 a3 Lan ，当 q 1时，或；当 q=1 时， Snna1 （错位相减法） 。说明：（ 1） a1 , q, n, Sn 和 a1 , an , q, Sn 各已知三个可求第四个；（ 2）注意求和公式中是q n ，通项公式中是qn 1 不要混淆；（ 3）应用求和公式时q 1 ，必要时应讨论q1 的情况。5等比数列的性质如果 an 是等比数列的第 n 项， am 是等差数列的第m 项，且 m n
8、 ，等比数列任意两项间的关系：公比为 q ，则有 an；对于等比数列an ，若 nmuv ，则.若数列 an是等比数列， Sn 是其前 n 项的和， kN* ，那么，成等比数列。变式训练1， 等比数列 an 中：（ 1） 已知 a11.5， a4 96，求 q与 Sn（ 2） 已知 a12，S326，求 q与 a3精选文库（ 3） 已知 q1， s53 7 ，求 a1与 a4（ 4） 已知 a34， a46，求 q与 S5282，三个数成等比，它们的和是14，它们的积是64.求这个数列？3, 三个不同数成等差数列，它们的和是 6，如果将 3 这个 数重新排列，它们又成等比。求这个等差数列？nn
9、 ( n 1)4，等比数列a 的公比为 q ，求证 a1a2 .an a1q 2n5，在数列an 中。 Sn 1 4an 2且 a1 =1（ 1） 设bnan 1 2an ,求证数列 bn 是等比数列-3精选文库（ 2） 设 cnann ,求证数列cn 是等差数列25. 在等比数列an，已知 a15 ， a9 a10100 ，求 a18 .6（ 2006 年北京卷）设f (n)22427210L23n 10 ( nN ) ，则 f (n) 等于7在各项都为正数的等比数列 an 中，首项a1 3，前三项和为21，则 a3 a4a5（ 3）求数列an 的通项公式及前n 项和的公式？6 教材的 P5
10、5 页。自测与评估。巩固提高1在等比数列an 中 , a712,q3 2 ,则 a19_.223和23的等比中项为必修 53 在等比数列an 中， a22 ， a554 ，求 a8 ，第二章数列（复习 3）三、数列通项与求和知识清单1数列求通项与和4在等比数列an 中 , a1 和 a10 是方程 2 x25x10 的两个根 ,则 a4 a7-4snsn 1n2。（ 1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式： an=n1s1（ 2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(an an 1)+(an 1+an 2)+(a2 a1)+a1；累商叠
11、乘法。倒序相加法裂项求和并项求和错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。anbn cn , 其中bn 是等差数列，cn 是等比数列。课前预习n11已知数列 an 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。ai ai 1i 12求1111,(* )。112312 3 41 23nN1 2n3设 a 为常数，求数列a， 2a2， 3a3， ， nan， 的前 n 项和。4已知 a0, a1 ，数列an 是首项为 a，公比也为a 的等比数列，令bnan lg an ( nN ) ，求数列bn 的前 n 项和 Sn 。典型例题一、有关通项问题精选文库
12、1、利用 anS1( n1)SnSn 1 (n求通项 2)例：数列annn211）试写出数列的前52 an是等差数列吗？ 的前 n 项和 S（项；（ ）数列（ 3）你能写出数列 an 的通项公式吗？变式题 1、设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；变式题 2、数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1 ， an 11Sn ，n=1，2，3， ，求 a2，a3， a4 的值3及数列 an 的通项公式变 式 题3 、（ 2005山东卷）已知数列an 的 首 项 a15, 前 n 项 和 为 Sn ， 且Sn 1 2Snn 5( nN * ) ，证明数列an
13、1 是等比数列2、解方程求通项：例：在等差 数列 an 中，（ 1）已知 S848, S12168,求 a1和 d ；（ 2）已知 a610, S55, 求 a8和 S8 ； 1(3) 已知 a3 a1540, 求 S17 .-5变式题 1、 an 是首项 a11，公差 d3的等差数列，如果an2005 ，则序号 n 等于3、待定系数求通项：例：（ 2006 年福建卷） 已知数列an 满足 a11,an 12an1.求数列an 的通项公式；二、有关等差、等比数列性质问题例： 一个等比数列前n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为变式 1、一个等差数列前n 项的和为
14、 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为。变式 2、等比数列 an 的各项为正数，且a5 a6a4a718, 则 log 3 a1log 3 a2Llog 3 a10三、数列求和问题例：已知 an 是等差数列，其中a131，公差 d8 。（1）求数列 an 的通项公式；（ 2）数列 an 从哪一项开始小于03 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值？（ ）求数列变式题 1、已知 an 是各项不为零的等差数列，其中a1 0 ，公差 d0 ，若 S100 ,求数列 an 前 n 项和的最大值变式题 2、在等差数列 an 中， a125 ， S17S9 ，求 Sn 的最大值例：求和：Sn12x3x2Lnxn 1精选文库变式题 1、已知数列 an4n 22，设 cnan，求数列 cn 的前 n 项和 Tn 和 bnbn4n 1变式题2、（ 2007 全国1 文 21）设 an 是等差数列， bn 是各项都为正数的等比数列，且 a1b1 1 ，a3 b521， a5 b313 （）求 an ， bn 的通项公式；（）求数列an的前 n 项和 Sn bn1，求前 n 项的和；例：（ 1）已知数列 an 的通项公式为 ann(n1)（ 2）已知数列 an 的通项公式为 an1，求前 n 项的和nn 1-6