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1、§ 5.1平面向量的概念及线性运算1 向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量； 向量的大小叫平面向量是自由向量做向量的长度 (或称模 )零向量长度为 0 的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量 a 的单位向量为 ±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共0 与任一向量平行或共线线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等， 不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律(1)交换律： a b加法求两个
2、向量和的运 b a. (2)结合算律：( a b) c a ( b c) 求 a 与 b 的相反向减法量 b 的和的运算三角形法则ab a ( b)叫做 a 与 b 的差 ；(2)当 时， 的方向(a) ( )a； (1)| a| |a|>0a求实数 与向量 a<0 时， a 的方 )a a a；数乘与 a 的方向相同；当的积的运算向与 a 的方向相反； 当 0 时，a 0 (a b)a b3.共线向量定理向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 b a.方法与技巧1 向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的
3、要素向量加法的三角形法则要素是“ 首尾相接，指向终点” ；向量减法的三角形法则要素是“ 起点重合，指向被减向量” ；平行四边形法则要素是“ 起点重合 ”2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如 AB CD且 AB 与 CD 不共线，则 AB CD；若AB BC，则 A、 B、C 三点共线失误与防范1 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.2平面向量基本定理及坐标表示1 平面向量基本定理如果e1、 e2
4、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数 、 ，使12a e e .1122其中，不共线的向量e1、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模设 a( x1， y1)， b(x2， y2)，则a b(x1x2， y1y2)， ab (x1 x2， y1 y2) ， y2 y2a( x11)，11|a|x.(2) 向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1， y1)，B(x2， y2(x2 x1， y2 y12 x12 y2 y12.)，则 AB)， |AB| x3
5、 平面向量共线的坐标表示设 a( x1， y1)， b(x2， y2)，其中 b 0.ab?x1y2 x2 y1 0.方法与技巧1 平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键2平面向量共线的坐标表示(1) 两向量平行的充要条件若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件是a b，这与 x1y2 x2y10 在本质上是没有差异的，只是形式上不同(2) 三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定失误与防范1 要区分点的坐标和向量的坐
6、标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况2若 a (x1，y1)，b (x2，y2)，则 a b 的充要条件不能表示成x1y1，因为 x2，y2 有可能等于0，所以x2 y2应表示为 x1y2 x2y1 0.§5.3平面向量的数量积1 平面向量的数量积已知两个非零向量a 和 b，它们的夹角为，则数量 |a|b|cos 叫做 a 和 b 的数量积 ( 或内积 )，记作 a·b |a|b|cos .规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a 与 b 垂直的充要条件是a·b 0，两个非零向量a 与 b 平行的充要条件是a
7、·b ±|a|b|.2 平面向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积3 平面向量数量积的重要性质(1) e·a a·e |a|cos ；(2) 非零向量 a， b， ab?a·b0；(3) 当 a 与 b 同向时， a·b |a|b|；当 a 与 b 反向时， a·b |a|b|， a·a a2， |a|a·a；(4)cos a·b ；|a|b|(5)|a·b|_ _|a|b|.4 平面向量数量积满足的运算
8、律(1) a·b b·a(交换律 )；(2)( a) ·b (a·b) a·(b)( 为实数 )；(3)( a b) ·ca·c b·c.5 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a·bx1x2 y1y2，由此得到(1)若 a (x， y)，则 |a|2 x2 y2 或|a|x2 y2.(2)22设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A、 B 两点间的距离 |AB | |AB|x2 x1 y2 y1 .(3) 设两个非零向量 a， b， a(
9、 x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab?x1x2 y1 y2 0.方法与技巧1 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2 a2 ，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧失误与防范1 (1)0 与实数 0 的区别： 0a 0 0， a ( a) 0 0， a·0 0 0；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向， 0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系2 a·b0 不能推出a 0
10、或 b 0，因为 a·b 0 时，有可能ab.§5.4平面向量的应用1 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a b?a b(b 0)?x1y2 x2y1 0.(2) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质a b?a·b 0?x1x2 y1y2 0.(3) 求夹角问题，利用夹角公式a·bx1x2 y1y2cos |a|b|x12 y12 x22 y22 (为 a 与 b 的夹角 )2 平面向量
11、在物理中的应用(1) 由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2) 物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移 s 的数量积即W F·s |F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角 )3 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或
12、垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质方法与技巧1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、 不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3向量的两个作用： 载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“ 向量外衣 ” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题失误与防范1 注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价2注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a， b 夹角为锐角和a·b>0 不等价 .