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1、'.（ 1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a) ()a 。2）分配律： ()aa ， (ab)ab 。（ 2）向量的数量积运算法则：1） a b ba 。2） ( a ) b(a b)a b a( b) 。3） ( a b) c a c b c 。（ 3）平面向量的基本定理。e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数 1, 2 ，满足 a1 e12 e2 。（ 4） a 与 b 的数量积的计算公式及几何意义：ab | a |b | cos ，数量积 a b 等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 的方向上的
2、投影|b | cos 的乘积。（ 5）平面向量的运算法则。1）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a + b ( x1x2 , y1y2 ) 。2）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 a - b ( x1x2 , y1y2 ) 。3）设点 A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，则 ABOBOA( x2x1 , y2 y1 ) 。4）设 a (x, y),R ，则a (x,y) 。5）设 a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，则 ab ( x1 x2y1 y2 ) 。（ 6）两向量的夹角公式：
3、cosx1x2y1 y2（ a ( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ）。y12x22x12y22（ 7）平面两点间的距离公式：dA ,B | AB | AB AB(x2 x1 )2( y2y1 )2 （A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ）。（ 8）向量的平行与垂直：设a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，且 b0，则有：1） a | bb ax1 y2x2 y10 。2） ab （ a0）a · b 0x 1 x2y1 y2 0 。（ 9）线段的定比分公式：设 P (x , y )，P (x , y)， P( x,
4、y) 是线段P P的分点，是实数，且P PPP，则1 1 12221 212;.'.xx1x21OP1OP21OPOPtOP1(1 t )OP2 （ t）。y111yy21（ 10）三角形的重心公式： ABC三个顶点的坐标分别为A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C( x3 , y3 ) ，则 ABC的重心的坐标为 G( x1x2x3 , y1y2y3 ) 。33（ 11）平移公式：x'xhxx'hOP PP'。y'ykyy'OP'k（ 12）关于向量平移的结论。1）点 P( x, y) 按向量 a (h, k)
5、平移后得到点 P' (xh, y k) 。2）函数 yf ( x) 的图像 C 按向量 a (h, k) 平移后得到图像 C ' : y f ( x h)k 。3）图像 C '按向量 a (h, k) 平移后得到图像C : yf (x) ，则 C '为 yf ( xh) k 。4）曲线 C : f ( x, y)'h, yk) 0 。0 按向量 a (h, k) 平移后得到图像 C : f (x;.'.设 a=（ x ， y ）， b=(x' ， y') 。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。向量的加法OB+O
6、A=OC。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a。向量加法的 运算律 ：交换律： a+b=b+a；结合律： ( a+b)+ c=a+( b+c) 。 12、向量的减法如果 a、 b 是互为相反的向量，那么 a=- b， b=- a， a+b=0. 0 的反向量为 0 AB- AC=CB. 即“共同起点，指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y')则 a- b=(x-x',y-y').如图： c=a-b以 b 的结束为起点，a 的结束为终点。;.'.3、向量的数乘实数 和向量a 的乘积是一个向量，记作 a，且 a=
7、 · a。当 >0 时， a 与 a 同方向当 <0 时， a 与 a 反方向；向量的数乘当 =0 时， a=0，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0。注：按定义知，如果 a=0，那么 =0 或 a=0。实数 叫做向量a 的系数，乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 >1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ >0）或反方向（ <0）上伸长为原来的倍当 <1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ >0）或××反方向（ <0）上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运
8、算律结合律： ( a) ·b= ( a·b)=( a· b) 。向量对于数的分配律（第一分配律）：( + ) a= a+ a.数对于向量的分配律（第二分配律）： ( a+b)= a+ b.数乘向量的消去律： 如果实数 0且 a= b，那么 a=b。 如果 a 0 且 a= a，那么 = 。 24、向量的数量积定义：已知两个非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b 则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作 a,b 并规定 0 a,b ;.'.定义：两个向量的 数量积（内积 、点积 ）是一个数量 （没有方向） ，记作 a·b。若 a、 b
9、 不共线，则 a·b=| a| ·|b| ·cos a， b（依定义有： cos a，b =a·b / |a| ·|b| ）；若 a、 b 共线，则 a· b=± a b。向量的数量积的坐标表示： a·b=x·x'+y ·y' 。向量的数量积的运算律a· b=b· a（交换律 ）( a) ·b= (a ·b) ( 关于数乘法的结合律)（ a+b) · c=a·c+b· c （分配律）向量的数量积的性质a
10、3; a=| a| 的平方 。a b = a·b=0。| a·b| |a| ·|b| 。（该 公式证明 如下： | a·b|=| a| ·|b| ·|cos |因为0|cos | 1，所以 | a· b| |a| ·|b| ）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：( a· b) · c a·(b· c) ；例如：( a·b)2 a2· b2 。2向量的数量积不满足消去律，即：由a· b=a· c ( a 0)
11、 ，推不出b=c 。3 | a· b| 与 | a| ·|b| 不等价4由 | a|=| b|，推不出a=b 或 a=- b。5、向量的向量积定义：两个向量a 和 b 的向量积向量的几何表示（外积、 叉积 ）是一个向量，记作a× b（这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“”）。若 a、 b 不共线，则a× b的模是： a×b=| a| · | b| ·sin a，b；a× b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、 b 和 a×b 按这个次序构成 右手系 。若
12、 a、 b 垂直，则 a× b=0。;.'.向量的向量积性质： a× b是以 a 和 b 为边的平行四边形面积 。a× a=0。a 垂直 b = a× b=0向量的向量积运算律a× b=- b× a（ a）× b= （ a× b） =a×（ b）a× （ b+c） =a×b+a× c.注：向量没有除法，“向量AB/ 向量 CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量 a、 b、 c，向量 a、 b 的向量积 a×b，再和向量 c 作数量积 (
13、a× b) · c，向量的混合积所得的数叫做三向量a、 b、 c 的混合积，记作( a, b, c) 或 ( abc) ，即( abc)=( a, b, c)=( a× b) · c混合积具有下列性质：1三个不共面向量a、 b、 c 的混合积的 绝对值 等于以 a、b、 c 为棱的平行六面体的体积V，并且当a、 b、 c 构成右手系时混合积是正数 ；当 a、 b、 c构成左手系时， 混合积是 负数 ，即 ( abc)= V（当 a、b、c 构成右手系时 =1；当 a、 b、 c 构成左手系时 =-1 ）2上性质的推论：三向量a、 b、 c 共面的 充要条
14、件 是 ( abc )=03 ( abc)=( bca)=( cab )=-( bac )=-( cba)=-( acb)4 ( a× b) · c=a·(b×c);.'.7. 例题正方形 ABCD,EFGA,CHIK首尾相连， L 是 EH中点，求证LBGK？设 AE=a向量 , AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b'c'.b'c=-bc' * FH=-a+c+c'+b LB=FH/2-b-c= -a-c+c'-b /2, GK=-a'+c'+c+b'从 * ： -a-c+c'-b· -a'+c'+c+b'=0. LBGK8、三向量二重向量积由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：二重向量叉乘化简公式及证明;.