《高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学-直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案).docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题二直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断教学重难点：直线和圆的位置关系的应用教学过程：第一部分知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：(直线 l : Ax + By + C = 0 和圆 C：x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 (r > 0)有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
2、（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：î( x - a)由 íìAx + By + C = 02 + ( y - b) 2 = r 2，消元得到一元二次方程，计算判别式 D ， D > 0 Û 相交； D < 0 Û&#
3、160;相离； D = 0 Û 相切；（2）几何方法如果直线 l 和圆 C 的方程分别为： Ax + By + C = 0 ，( x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 . 可以用圆心 C (a, b) 到直线的距离 d
4、0;=| Aa + Bb + C |A2 + B2 与圆 C 的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:A(2 2，2 2) B( 2， 2) C( &#
5、160;， ) D( ， ) d < r Û 相交； d > r Û 相离； d = r Û 相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。例 1直线 xsinycos2sin 与圆(
6、x1)2y24 的位置关系是()A相离B相切C相交D以上都有可能|sin2sin|答案B解析圆心到直线的距离 d所以直线与圆相切sin2cos2例 2已知直线 l 过点(2,0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是()22114488<1， <k< .214 4答案 C设 l 的方程 yk(x2)，即&#
7、160;kxy2k0.圆心为(1,0)由已知有|k2k| 2 2k设圆心O1(3，3)到直线3x+4y11=0的距离为d，则d= | 3 ´ 3 + 4 ´ 3 - 11|例 3圆(x3)2+(y3)2=9 上到直线 3x+4y11=0 的距离为 1 的点
8、有几个？解：圆(x3)2+(y3)2=9的圆心为O1(3，3)，半径r=3，32 + 42= 2 < 3如图1，在圆心O1的同侧，与直线3x+4y11=0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题解析如图 2，圆心(2,1)到直线 l0：xy10 的距离 d 2，圆的半径为 1，故直线 l0意，又rd=32=1，所以与直线3x+4y11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切
9、点也符合题意.所以符合题意的点共有 3 个。例 4平移直线 xy10 使其与圆(x2)2(y1)21 相切，则平移的最短距离为()A. 21B2 2C. 2D. 21 与 21答案A|211|2与 l1 的距离为 21，平移的最短距离为 21，故选 A.图1图2例5已知曲线5x2y2+5=0与直线2xy+m=0无交点，则m的取值范围是1<m<1.例6直线a(x+1)+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是（
10、C）（A）相离（B）相切（C）相交或相切（D）不能确定考点二：圆的切线的求法：直线与圆相切，切线的求法：（1）当点 ( x , y ) 在圆 x 2 + y 2 = r 上时，切线方程为 x x + y y = r 2 ；0000（2）若点 ( x , y ) 在圆 ( x -&
11、#160;a)2 + ( y - b)2 = r 2 上时，切线方程为00( x - a)( x - a) + ( y - b)( y - b) = r 2 ；00（3）斜率为 k 且与圆 x 2 + y 2 = r 相切的切线方
12、程为 y = kx ± 1 + k 2 ；斜率为 k 且与圆( x - a)2 + ( y - b)2 = r 2 相切的切线方程的求法：先设切线方程为 y = kx + m ，然后变成一般式kx - y + m = 0 ，利用圆
13、心到切线的距离等于半径来列出方程求 m ；（4）点 ( x , y ) 在圆外面，则切线方程为 y - y = k ( x - x ) ，再变成一般式，因为与圆相切，利用0000圆心到直线距离等于半径，解出 k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上.例7求经过点(1，7)与圆x2+y2=25相切的切线方程.解法一：设切线的斜率为k，由点斜式有y+7=k(x1
14、)，即，y=k(x1)7，将上述方程代入圆方程x2+k(x1)72=25整理得(k2+1)x2(2k2+14k)x+k2+14k+24=0，=(2k2+14k)24(k2+1)(k2+14k+24)=0，由此方程解出k，再代回y+7=k(x1)，可得切线方程，好了，到此打住！从过程可以看到：利用此法1 + k 2 = 5 ，化简为12k27k12=0，所以k= 4求切线方程，一般地讲，过程冗长，计算、书写量大而繁杂，容易出现错误，通常情况下不采用.解法二：设所求切线斜率为k，所以所求直线方
15、程为y+7=k(x1)，整理成一般式为kxyk7=0，所以 |0 - 0 - k - 7|3或k=. 所以切线方程为4x3y25=0或3x+4y+25=0.34解法三：设切点为(x0，y0)，所求切线方程为x0x+y0y=25，将坐标(1，7)代入后得x07y0=25，由，解得 í，或 í0í2ì x - 7 y = 25ì x = 4ì
16、;x = -3000î x0 + y02 = 25î y0 = -3î y0 = -4故所求切线方程为4x3y25=0或3x+4y+25=0.例 8已知圆 C：x2y22x4y30.若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程解析切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，切线的斜率是±1.设切线方程为 yxb
17、;或 yxc，分别代入圆 C 的方程得 2x22(b3)x(b24b3)0或 2x22(c1)x(c24c3)0，由于相切，则方程有等根，即 b3 或 b1，c5 或 c1.故所求切线方程为：xy30，xy10，xy50，xy10.例9直线x+y=m与圆x2+y2=m(m>0)相切，则m=（D）（A）122（B）
18、（C） 2 （D）22例10由点P(1，2)向圆x2+y2+2x2y2=0引的切线方程是5x+12y+19=0和x=1.例11直线a(x+1)+b(y+1)=0与圆x2+y2=2的位置关系是（C）（A）相离（B）相切（C）相交或相切（D）不能确定考点三：直线与圆相交的弦长公式（1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A、B，线段AB的长即为直线l与圆相交的弦长.AB设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有 ()2&
19、#160;+ d 2 = r 2 ，即2AdOrBAB= 2 r 2 - d 2 .（2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l与圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的倾斜角存在时，联立方程组，消元得到一个关于x的一元二次方程，求得x1+x2和x1x2.于是 | x1 - x2 |=( x1 + x2 )2 - 4 x1x2
20、60;，这样就求得 | AB |= 1 + k 2 | x - x |= 1 +121k 2| y - y | 。1 2例11直线l经过点P(5，5)，且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为45 ，求l的方程.解：设|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，所以 |OH|= |&#
21、160;OA |2 - | AH |2 = 5 ，即 1在RAHO中，|OA|=5，|AH|= 1 |AB|=2 5 ，2| 5(1- k ) |k 2 + 1= 5
22、0;, 解得k= 2，k=2，所以直线 l 的方程为 x2y+5=0，或 2xy5=0.例 12两圆 C ：x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与 C ：x 2 + y 2 + D x + E y +
23、60;F = 0 相交于 A 、 B 两11112222点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程分析：首先求 A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆 C 、 C 的任一交点坐标为 ( x , y ) ，则有：1200x 2 + y&#
24、160;2 + D x + E y + F = 0001 01 01x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0002 0202得： ( D - D ) x + ( E - E ) y&
25、#160;+ F - F = 0 12012012 A 、 B 的坐标满足方程 ( D - D ) x + ( E - E ) y + F - F = 0 121212方程 ( D - D ) x + ( E&
26、#160;- E ) y + F - F = 0 是过 A 、 B 两点的直线方程121212又过 A 、 B 两点的直线是唯一的两圆 C 、 C 的公共弦 AB 所在直线的方程为 ( D - D ) x + ( E - E )
27、y + F - F = 0 12121212说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A 、 B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例13圆心为(1，2)、半径为2 5 的圆在x轴上截得的弦长为（A）（A）8（B）6（C）62（D）4 3例14直线x+y=1被圆x2
28、+y22x2y7=0所截得线段的中点是（A）（A）(1 1 1 3 3 1， ) （B）(0，0) （C） ( , ) （D） ( , )2 2
29、0; 4 4 4 4由 íì例15已知圆C：x2+y22x+4y4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解法一：假设存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦A
30、B为直径的圆过原点。设l的方程为y=x+b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OAOB知，kOA· kOB=1，即x1x2+y1y2=0.y = x + bî x2 + y 2 - 2 x + 4 y - 4 = 0 ，得 2x2+2(b+1)x+b2+4b4=0。+ 2b - 2 ，y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1
31、x2+b(x1+x2)+b2= + b - 2 , x1+x2=(b+1)，x1x2=b2 b22
32、 2 x1x2+y1y2=0. b2+3b4=0，解得 b=4 或 b=1故存在这样的直线.，它的方程是y=
33、x4或y=x+1。解法二：圆C化成标准方程为(x1)2+(y+2)2=9，假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为(a，b)。由于CMl， kCM· kl=1，即 b + 2a - 1= -1 ， b=a1.直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0， | CM |=因为以AB为直径的圆C过原点，所以|MA|=|MB|=|MO|，| b - a + 3|2，而|MB|2=|CB|2|CM|2=
34、 9 -(b - a + 3)22，|OM|2=a2+b2，当a= 3(b - a + 3)23 9 -= a2+b2，代入消元得2a2a3=0， a=或a=1，225，b时，此时直线l的方程为xy4=0；22当a=1，b=0时，此时直线l的方程为xy+1=0。故这样的直线 l 是存在的，它的方程为 xy4=0 或 xy+1=0。例16在RABO中，BOA=90°，|OA|=
35、8，|OB|=6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值.解：如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8，0)，B(0，6)，内切圆C的半径r= 8 + 6 - 102= 2 ，所以圆心坐标为 C(2，2)，所以内切圆C的方程为(x2)2+(y2)2=4，设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则d=(x8)2+y2+x2+(y6)2+x2+y2=3x2+3y216x12y+100=3(x2)2+(y2)24x+76
36、，因为点P(x，y)在圆上，所以(x2)2+(y2)2=4， d=884x，因为点P(x，y)是圆C上的任意点，x0，4， 当x=0时，dmax=88；当=4时，dmin=72.例17已知圆C：(x3)2+(y4)2=4和直线l：kxy4k+3=0.（1）求证：不论k取何值，直线和圆总相交.（2）求 k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长.答案：（2）k=1，弦长为 22第二部分课堂练习1、直线 x + y = 1 与圆 x 2 +
37、y 2 - 2ay = 0 (a > 0) 没有公共点，则 a 的取值范围是2 > a ，解得 - 2 - 1 < a <2 - 1. a > 0 ， 0 < a <2 -
38、60;1.解：依题意有 a - 12：若直线 y = kx + 2 与圆 ( x - 2) 2 + ( y - 3) 2 = 1有两个不同的交点，则 k 的取值范围是.k 2 + 1 < 1 ，解得 0 < k <解：依题意有&#
39、160;2k - 1434， k 的取值范围是 (0, ) .3解：设直线 l 的方程为 &
40、#160;y3、圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的点共有（ ）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个-分析：把 x 2 + y 2 +&
41、#160;2 x + 4 y - 3 = 0 化为 (x + 1)2 + (y + 2)2 = 8 ，圆心为 (- 1， 2)，半径为 r = 2 2 ，圆心到直线的距离为 2 ，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2 ，所以选 C-(x4、过点 P(- 3
42、， 4)作直线 l ，当斜率为何值时，直线l 与圆 C： - 1)2 + (y + 2)2 = 4 有公共点，如图所示分析：观察动画演示，分析思路y + 4 = k (x + 3)即Okx - y + 3k - 4 = 0x根据 d £ r 有Ek
43、+ 2 + 3k - 41 + k 2£ 2P4整理得3k 2 - 4k = 0解得0 £ k £3、已知ABC 的两个顶点 A(-10，2)，B(6，4)，垂心是 H(5，2)，求顶点 C 的坐标= 2 k解: kBH =AC =-2&#
44、160;- 4 15 - 6 2直线 AC 的方程为 y - 2 = -
45、 ( x + 10) 即 x+2y+6=0(1)AH = 012又 kBC 所直线与 x 轴垂直故直线 BC 的方程为 x=6(2)解(1)(2)得点 C 的坐标为 C(6,-6)6、已知方程 x 2 + y 2 - 2 x - 4 y +
46、m = 0 .（）若此方程表示圆，求 m 的取值范围；（）若（）中的圆与直线x + 2 y - 4 = 0 相交于 M，N 两点，且 OM ON（O 为坐标原点）求m 的值；（）在（）的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程.解：（） x 2 + y 2 - 2 x - 4
47、60;y + m = 0D=-2，E=-4，F= mD 2 + E 2 - 4F =20- 4m > 0 ， m < 5x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + m = 05
48、60; 5ìx + 2 y - 4 = 0（） íî5 y 2 - 16 y + 8 + m = 0168 + my + y =， y y =1212x = 4 - 2 y 代入得OM
49、;ON得出： x x + y y = 0 5 y y - 8( y + y ) + 16 = 0 m =1212121285（）设圆心为 (a, b)a =x + x 4 y + y 8
50、; 4 51 2 = , b = 1 1 = 半径 r =2 5 2 5 54816圆的方程 ( x - ) 2 + ( y - )
51、60;2 =5557、 已知圆 C : x2 + ( y - 1)2 = 5 ，直线 l : mx - y + 1 - m = 0 。（）求证：对 m Î R ，直线 l 与圆 C 总有两个不同交点；（）设 l 与圆 C
52、;交与不同两点 A、B，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；（）若定点 P（1，1）分弦 AB 为AP 1= ，求此时直线 l 的方程。PB 2m2 + 1解：（）解法一：圆 C : x2 + ( y - 1)2 = 5 的圆心为 C (0,1) ，半径为 5&#
53、160;。-mm1圆心 C 到直线 l : mx - y + 1 - m = 0 的距离 d =£=< 52m2直线 l 与圆 C 相交，即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点；方法二：直线 l : mx - y + 1 - m =&
54、#160;0 过定点 P(1,1)，而点 P(1,1)在圆 C : x2 + ( y - 1)2 = 5 内直线 l 与圆C 相交，即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点；（）当 M 与 P 不重合时，连结 CM、CP，则 CM MP ， CM 2 + MP
55、 2 = CP 2y设 M ( x, y)( x ¹ 1) ，则 x2 + ( y - 1)2 + ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 1 ，Bl化简得： x2 + y 2 - x - 2
56、 y + 1 = 0( x ¹ 1)C当 M 与 P 重合时， x = 1, y = 1 也满足上式。P(1,1)MPB 2 2故弦 AB 中点的轨迹方程是 x2 + y 2 - x - 2
57、60;y + 1 = 0 。vAP1uuu1 uuuv（）设 A( x , y ), B( x , y ) ，由=得 AP =PB ，1122AOx21 1 - x =( x - 1) ，化简的 x = 3 - 2 x 1221î
58、;x2 + ( y - 1)2 = 5ìmx - y + 1 - m = 0又由 í消去 y 得 (1+ m2 ) x 2 - 2m2 x + m2 - 5 = 0 （*）1 + m21 + m22m2
59、0;x + x =123 + m2由解得 x =，带入（*）式解得 m = ±1，1直线 l 的方程为 x - y = 0 或 x + y - 2 = 0 。第三部分作业练习一、选择题：1.已知过 A(- 1, a )、 B(a, 8)两点的直线与直线 2&#
60、160;x - y + 1 = 0 平行，则 a 的值为（）A.-10B. 2C.5D.172.设直线 x + my + n = 0 的倾角为q ，则它关于 x 轴对称的直线的倾角是（）2 + q C. p - q2 - q.qB. pD.
61、p3.已知过 A(-2, m), B(m,4) 两点的直线与直线 y = 1 x 垂直，则 m 的值（2）A.4B.-8C.2D.-14.若点 P(m, 0) 到点 A(-3, 2) 及 B(2, 8) 的距离之和最小，则 m 的值为（）A. -2B. 1C. 2D. -15.不论 k 为何值，直线 (2k&
62、#160;- 1) x - (k - 2) y - (k + 4) = 0 恒过的一个定点是（）A.(0,0)B.(2,3)C.(3,2)D.(-2,3)6.圆 ( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 8 上与直线 x + y + 1 =
63、;0 的距离等于2 的点共有（）A1 个B2 个C3 个D4 个7.在 ABC 中, A90°, B60°,AB=1, 若圆 O 的圆心在直角边 AC 上, 且与 AB 和 BC 所在的直线都相切, 则圆 O 的半径是（）A.2 &
64、#160;1 3 3B. C. D.3
65、60; 2 2 38.圆 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 上的点到直线 x - y = 2 的距离的最大值是（）A. 2B. 1 + 2C
66、2 +22D. 1 + 2 29.过圆 x 2 + y 2 - 4 x + my = 0 上一点 P(1,1) 的圆的切线方程为（）A. 2 x + y - 3 = 0B. 2 x - y - 1 = 0C. x -&#
67、160;2 y - 1 = 0D. x - 2 y + 1 = 010. 已知点 P(a, b) (ab ¹ 0) 是圆 O ： x 2 + y 2 = r 2 内一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线，若直线 n
68、0;的方程为 ax + by = r 2 ，则（）A m n 且 n 与圆 O 相离B m n 且 n 与圆 O 相交C m 与 n 重合且 n 与圆 O 相离D m n 且 n 与圆 O 相离二、填空题
69、：11. 若直线 l 沿 x 轴正方向平移 2 个单位，再沿 y 轴负方向平移 1 个单位，又回到原来的位置，则直线 l 的斜率 k =_ 12. 斜率为 1 的直线 l 被圆 x 2 + y 2 = 4 截得的弦长为，则直线 l 的方程为13. 已知直线 l
70、;过点 P(5,10),且原点到它的距离为 5,则直线 l 的方程为.14. 过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是15. 已知圆 C 的圆心与点 P (-2,1) 关于直线 y = x + 1 对称，直线 3x + 4 y - 11 = 0 与圆 C 相交于 A 、B
71、两点，且 AB = 6 ，则圆 C 的方程为三、解答题：16. 求经过直线 l1:3x+4y-5=0 l2:2x-3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线方程：()经过原点;()与直线 2x+y+5=0 平行;()与直线 2x+y+5=0 垂直.17. 已知圆 C : ( x - a)2 + ( y - 2)2
72、= 4 (a > 0) 及直线 l : x - y + 3 = 0 . 当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 2时, 求（） a 的值；（）求过点 (3,5) 并与圆 C 相切的切线方程.18、已知圆 C： (x - 1)2 + y
73、;2 = 9 内有一点 P（2，2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点.（）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程；（）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程；（）当直线 l 的倾斜角为 45º 时，求弦 AB 的长.直 线 与
74、0;圆 复 习 题 参 考 答 案题号答案1B2C3B4A5B6C7D8B9D10A11、 k = 12、 y = x ± 6 13、
75、0;x = 5 或 3x - 4 y + 25 = 01214、 x + 2 y - 5 = 015、 x 2 + ( y + 1) 2 = 1816、解：() 2 x + y = 0（） 2 x + y
76、60;= 0（） x - 2 y - 5 = 017、解：（）依题意可得圆心 C (a,2), 半径r = 2 ，则圆心到直线 l : x - y + 3 = 0 的距离 d =a - 2 + 3 a + 1=12 +
77、0;(-1) 2 2由勾股定理可知 d 2 + (2 22) 2 = r 2 ，代入化简得 a + 1 = 2解得 a = 1或a = -3 ，又 a > 0 ，所以 a = 1（）由（1）知圆 C : ( x - 1) 2
78、 + ( y - 2) 2 = 4 ，又 (3,5) 在圆外 当切线方程的斜率存在时，设方程为 y - 5 = k ( x - 3)由圆心到切线的距离 d = r = 2 可解得 k =512()当弦 AB 被点 P 平分时，lPC, 直线 l
79、60;的方程为 y - 2 = - ( x - 2) ,即 x - y = 0 ，圆心 C 到直线 l 的距离为 ，圆的半径为 3，弦 AB 的长为 34 . 切线方程为 5x - 12 y + 4
80、5 = 0当过 (3,5) 斜率不存在直线方程为 x = 3 与圆相切由可知切线方程为 5x - 12 y + 45 = 0 或 x = 318、解：()已知圆 C： (x - 1)2 + y 2 = 9 的圆心为 C（1，0），因直线过点 P、C，所以直线 l
81、0;的斜率为 2，直线 l 的方程为 y = 2( x - 1) ，即 2 x - y - 2 = 0 .12即 x + 2 y - 6 = 0()当直线 l 的倾斜角为 45º 时，斜率为 1，直线 l 的方程为 y - 2 = x - 2 ,12