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1、【摘要】 在现有公路中线坐标计算的公式中，对于直线、圆曲线、缓和曲线(或卵形曲线 ) 等中桩坐标的计算需用切线支距公式等不同的公式。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同线形的坐标计算所需多个公式问题，而且计算的方向完全是可逆的，其计算精度也可根据需要自行判断决定。【关键词】 辛卜生公式中线坐标计算应用在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式等不同公式来计算直线或曲线上各点的坐标。但当计算不同的线形时就需用不同的计算公式，这就为计算带来不便。尤其是在设有较小圆曲线半径（即相对于半径越小而缓和曲线越长时）的缓和曲线（或卵形曲线）上的坐标计算时，如公式选用不当或切线支距公式所带项数较少时就会出现较
2、大的计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型和直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果也完全能保证施工放样时坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线各种线形坐标的通用公式。下面笔者就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解读（本文以卵形曲线坐标的计算为例）。一、复化辛卜生公式Hn-1X=XA+(cosaA+4 cosa k+2 261k=0H
3、n-1Y=YA+(sinaA+4 sina k+126k=02n-1 cosa k+cosa i )k=1n-1 sina k+sina i )k=1公式（ 1）X A 曲线元起点 X 坐标A曲线元起点 X坐标XY AY 曲线元起曲点线Y元坐标起点 Y坐标Aa AaA曲线元起曲点切线线元方起位角点切线方位角a1k+1曲线元上 2n等分点处的切线方位角2曲线元上 2n 等分点处的切线方位角aK+a2K曲线元上 n等分点处的切线方位角aK ai曲线元上待求点处切线方位角 曲线元上 n 等分点处的切线方位角ai 曲线元上待求点处切线方位角，可用如下3 种方法计算：1利用公式（3）求得曲率代入公式（2
4、）计算2利用曲线元上已知推算起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3利用切线角公式计算注 1： aA 为推算起点的切线方位角，以实际推算方向为前进方向，而不是指路线设计的前进方向。式中：H=Zi - ZA ÷nai =aA ±90(i+A)(Z i - ZA )÷(公式 2)注 2：当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为左转时取-当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为右转时取+当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为左转时取+当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为右转时取-i=A +(B-A )(Z i -ZA ) ÷(Z B-Z A)( 公式 3)Zi 待求点
5、桩号ZA 曲线元推算起点桩号ZB 曲线元终点桩号i 曲线元上待求点曲率A 曲线元推算起点曲率B 曲线元终点曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A 匝道一卵形曲线（相关参数见图一、图二、图三，其计算略。），相关设计数据见表一。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标："00'00°0HZ AK0+444.032Z92°17' 26.2"LSH- 72AA0K1-59. 1080H0+616 .0Y-71S69+L-01R3326A01. 0-845H2 +30Y158178. 322+ 1H.17Y28-2A5+2. 43
6、7-2RY99H 918.2331898086.2 .°12030 6'+902. 1'80"90Z=1H=xy图一表一：卵形曲线相关设计数据主点坐标切线方位角桩号（m）（ ）XY°”ZH9987.40310059.378921726.2AK0+090HY19968.98110125.3411322351.6AK0+160YH19910.60310136.7912052433.6AK0+223.715HY29880.43810100.9042512418.5AK0+271.881YH29922.31610007.9093370454.2AK0+38
7、4.032HZ9981.36310000.00000000AK0+444.032"1.20'21°80M1YD5a22051a3°24' 37.3. 6"3212+. 8811H7Y+2HY2cXYH2a1+384.032HZ' +368.213B图二108°12' 0H2. 1"' ZH+93Y6-4. 992.8Y8R+2A21H2231+-771R225 .381-50. 78151图三（一）由 +271.881 推算 Zi=+223.715 的坐标（逆向），n 取 2 等分用公式 (3)
8、 、公式（ 2）计算 +247.798 处曲线曲率及切线方位角: +247.79 8=1÷75+(1 ÷50-1 ÷75) × (247.798-271.881)÷ (223.715-271.881)=0.016666667a=71° 24 18.5” +90× (0.016666667+1÷ 75) ×(247.798-271.881)÷ +247.798=50° 42 26.37 ”其它各点依次代入公式计算，结果见表二：表二：曲率及切线方位角计算表n 等 分 点 处 曲 线 曲 率
9、 n 等 分 点 处桩号公式 (3)内插法切线方位角计算计算°”+271.8810.013333333=1/75712418.5+259.840+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.757+223.7150.02=1/502524362 n 等 分 点 处 曲 线 曲 率2n等分点处公式 (3)内插法切线方位角计算计算°”0.0150.015613752.20.0183333330.018333333338380.96" ). 637' 33."472°42' 26501.99&q
10、uot;( 25°96"61°37' 52. 22"°24' 18. 58°38' 0."' 353R AZ24°Z-2+252RB+7725.1128-53.780115切线方位角图示1将表中计算出的数据代入公式（1）求得 +223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)2÷6÷× (cos71 24° 18.5”+4(cos61 37° 52.22” +cos38 °38 0.96”
11、 )+2cos50 °42 26.37” + cos25 24°35.99” )=9910.5975(设计值： 9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715)2÷6÷× (sin71 24°18.5” +4(sin61 37° 52.22” +sin38 38° 0.96” )+2sin50 42°26.37”+sin25 24° 35.99” )=10136.7945 (设计值： 10136.791)注 2：图示中括号内方位角为设计给定值（二）由 +223.715
12、 推算 Zi=+271.881 的坐标（顺向），n 取 2 等分用公式 (3) 计算 +247.798 处曲线曲率及方位角:+247.798 =1÷50-(1 ÷75-1 ÷50) × (247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=0.0166666667a+247.798 =205°24 33.6”+90× (0.016666667+1 ÷50)× (247.798-223.715) ÷=230 °4223.98”其它各点依次代入公式计算，结果见表三：表三：
13、曲率及切线方位角计算表n 等 分 点 处 曲 线 曲 率 n 等 分 点 处桩号公式 (3)内插法切线方位角计算计算°”+223.7150.02=1/502052433.6+235.757+247.7980.0166666660.0166666662304224.0+259.840+271.8810.013333333=1/752512418.52 n等 分 点 处 曲 线 曲 率2 n 等 分 点 处公式 (3)内插法切 线方 位 角计算计算°”0.0183333330.01833333332183758.60.0150.0152413749.8"251
14、6;24' 16. 1'33.6.98"14' 23"°422305°2241( 2520° 371°37' 58. 57"'4 9. 83"24' 18. 5")218°ZRBZ2+-2A77R+.125128-3850.7115切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)2÷6÷× (cos205 24° 33.6”+4(cos218 37° 58.87” +cos2
15、41 °3749.83” )+2cos230 °42 23.98” +cos251 °2416.11” )=9880.4431(设计值： 9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)2÷6÷× (sin205 24° 33.6”+4(sin218 37°58.87” +sin241 37°49.83”)+2sin230 42° 23.98”+sin251 24° 16.11” )=10100.9008 (设计值： 10100.904)由上可知，利用复化辛
16、卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。（三）前面正、反向的计算均是从卵形曲线部分推算的，现在我们以卵形曲线所在完整缓和曲线的推算起点HZ =+368.213 点来推算终点+223.715 和中间点 +271.881 的坐标缓和曲线切线角计算公式：=90L2÷(RL S)则有方位角： ai =aA ±=aA ±90L2÷(RL S)公式 (4)其中： R=50LS=368.213-223.715=144.498注 3：公式（ 4）中 ±号判断法则见注21.计算 Zi=+223.715 中桩坐标表四：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n 取
17、4 等分 )n等分点处n 等分点处2n 等分点处曲线2n 等分点处切线方位角切线方位角曲线曲 率曲率桩号°”° ”公式 (3)内插法公式 (2) 计算公式 (4) 计算公式 (3)内插法公式 (2)计算公式 (4)计算计算计算计算计算+368.2130（直线上）1081202.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30
18、09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.5887°30'09. 97"99 °00'05.6 "105°54' 02."93°49'38.4 2"103°9'1
19、6.091'44. 02"01' 34. 58"7"241 071°8 0°0107°378°12' 02. 1"+' 32. 49"R27H12-.8'Z78+51368.21+223. 715R1- 50切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715) 4÷6÷× (cos108 12° 02.1”+4× (cos106 54° 25.22” +cos96 °33 28
20、.64” +cos75 °51 37.54 ” +cos44 °48 47.8 ” )+2 × (cos103 01° 34.58 ” +cos87 °30 9.97 ” +cos61 °37 51.35” )+cos25 °24 33.58”)=9910.5963(设计值： 9910.603)Y=10006.838+ (368.213-223.715)4÷6×÷(sin108 12° 02.1”+4× (sin106 54° 25.22” +sin96 33
21、76; 28.64”+sin75 51° 37.54” +sin44 48° 47.8” )+2 × (sin103 01° 34.58”+sin87 °30 9.97” +sin61 37° 51.35” )+sin25 24° 33.58” )=10136.7925 (设计值： 10136.791)2.计算 zi=+271.881 中桩坐标表五：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n 取 4 等分 )n 等 分 点 处n 等分点处2n等分点处曲线2n 等分点处切线方位角切线方位角桩号曲线曲率°”曲率°
22、; ”内插法公式 (2) 计算公式 (4) 计算内插法公式 (2)计算公式 (4)计算计算计算+368.21301081202.1+356.1720.001666667107 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.9230.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+
23、223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58° 30'09. 97"99° 00'05.6 "105° 587.42 "02"°49'384'103°.97".09. 02"93024'1641' 34. 58108°01' 4"1071°807° 37' 32. 4°12' 02. 1"+9"2R7H12.8&#
24、39;Z-78+5136.8213R+223. 7151- 50切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)4÷6÷× (cos108 12° 2.1”+4(cos107 37° 32.49” +cos103 °0134.58”+cos93 °49 38.42 ” +cos80 °01 44.02 ” )+2(cos105 54° 02.97 ” +cos99 °00 05.6 ” +cos87 °30 09.97” )+cos71 °24 16.
25、09”)=9880.4416(设计值： 9880.438)Y=10006.838+ (368.213-271.881)4÷6×÷(sin108 12° 2.1”+4(sin107 37° 32.49”+sin103 01°34.58”+sin93 49° 38.42” +sin80 01° 44.02” )+2(sin105 54° 02.97” +sin99 00° 05.6” +sin87 30° 09.97” )+sin71 24° 16.09” )=10100.900
26、8 (设计值： 10100.904)由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中任取一段进行计算。而计算中的关键是计算各等分点处的切线方位角，同时应注意分清n 与2n等分点，注意不要混淆。对于n 的取值，从上我们可以看出：对一般缓和曲线取2-3即可，对卵形曲线视推算基准点而言不少于4。其它如圆曲线、直线等中桩坐标的计算方法是一样的，在此就不一一赘述。三、结束语由于复化辛卜生公式在现有公路中线坐标计算的相关书籍和资料中几乎没有提及，因此在实际应用中可与其它计算公式相互比较，从中发现其优点，了解其适用范围，多掌握一种公路中线坐标计算方法，更好地为我们的工作服务。参考文献李孟山，李少元 利用复化辛甫生公式解算线路加桩点的坐标和里程石家庄铁道学院学报，第13卷第4期， 2000 年 12 月