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1、( )2( )2第一讲 二次根式运算中考要求内容基本要求略高要求较高要求会进行二次根式的化简，会进二次根式理解二次根式的加、减、乘、除运算的化简和行二次根式的混合运算（不要运算法则求分母有理化）知识点睛一、二次根式概念及化简二次根式的概念：形如 a （ a ³0 ）的式子叫做二次根式ì二次根式的基本性质： a ³0（ a ³0 ）双重非负性； ( a ) 2 =a（ a ³0 ）； a 2 = a =íî二、分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化a ( a ³0) -a ( a <0)互为有理
2、化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式a + b与a - b互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0重、难点1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须 是非负数2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式 a 中被开方数非负(a0),算术平方根非负(a 0).3、利用a =a(a0)得到 a = a(a0)成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式如 2 =例题精讲(2)2æç2÷2一、二次根式的概念及性质【例1】 当 x时，2
3、-x x 2 -2 x +3有意义【巩固】当 x 取何值时，式子xx +2在实数范围内有意义【巩固】 求代数式 x + x -1 + x -2 的最小值.【例2】 若 y = x -3 + 3 -x +2 ，求 y x的值.1 1【巩固】(人大附中初一第 2 学期期末考试)已知： b =4 3a -2 +2 2 -3a +2 ，求 + 的平方根.a b【巩固】 2 x -3 + y +2 = z -2 + 2 -z 在实数范围成立，那么 xyz 的值是多少？【例3】 (2007 年成都)已知 a -2 +(b +5)2=0 ，那么a +b的值为 .【巩固】已知实数 a 与非零实数 x 满足等式
4、： xè21 ö 1-3 + + a - -x =0 .求 ( a -2) x ø x2.二、二次根式估算【例4】 (2007 年旅顺口区中考题)如右图，在数轴上 A ， B 两点之间表示整数的点有个.(2007 年盐城市)估计 30 的值（ ）. 在 3 到 4 之间 . 在 4 到 5 之间 . 在 5 到 6 之间 . 在 6 到 7 之间 (2007 年安徽) 5 - 5 的整数部分是_.【巩固】 （2008 浙江温州）估算 19 +2 的值（ ）A在 5 和 6 之间 C在 7 和 8 之间B在 6 和 7 之间 D在 8 和 9 之间【巩固】 若整数
5、a 满足 a 5 =2219006624 ，试确定 a 的值. 三、二次根式比较大小【例5】 把根号外的因式适当变形后移入根号内： -3 6 ； -a -1a； ( a +3) -a -4【巩固】 把根号外的因式适当变形后移入根号内： ( a +3) -a -4【例6】 比较下列各组中两个数的大小 2 37 与 332 -232与 -12320【例7】 (盐城中考)比较大小： a = 12 - 11 ， b = 11 - 10 ，则 a _ b【巩固】 已知 M = 101 - 100 ， N = 99 - 98 ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）A. M >N B. M <N
6、C. M =N D. M N【巩固】比较大小： 5 - 3 与 4 - 2【例8】 已知 c >1 ， x = c - c -1 ， y = c +1 - c ， z = c +2 - c +1 ，比较 x ， y ， z 的大小.已知 a = 2 -1 ， b =2 2 - 6 ， c = 6 -2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是. A. a <b <c B. b <a <c C. c <b <a D. c <b <a【巩固】 设 A = 2008 - 2006 , B =12007，比较大小： A _ B)1 1 1 1【巩固
7、】 设 r 4 ，a = - ，b = - ，c =r r +1 r r +1 r(1r +r +1，则下列各式一定成立的是_A a >b >cB b >c >aC c >a >bD c >b >a【例9】 比较大小：2 + 6 与 3 + 5【巩固】 比较大小： 3 + 5 与 4【巩固】 比较 - 2 - 6 与 - 3 - 5 大小.【例10】 设 a = 10 ， b = 7 +1 ， c = 3 + 2 ，则 a, b, c 的大小关系是（ ） A. a >b >c B. b >c >a C. c >a &
8、gt;b D. b >a >c【例11】比较下列二次根式的大小：214 - 10与63【巩固】 比较下列二次根式的大小：a +4a +5与a +5a +6【例12】已知 a +1 1 1 < b + < c +bc ac ab，则 a, b, c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. c <a <b【补充】正实数 a ， b ， c ， d 满足 a +b +c +d =1 ，设 p = 3a +1 + 3b +1 + 3c +1 + 3d +1 则（ ）A. p >5B
9、. p =5C. p <5D. p 与 5 的大小关系不确定四、二次根式中的配方思想【例13】 已知实数 x ， y ， z 满足 4 x -4 y +1 +1 12 y +z +z 2 -z + =0 ，求 ( y +z ) ×x2 的值. 3 4【巩固】 已知实数 a ， b ， c 满足12a -b + 2b +c +c2-2c +1 =0 ，求 a (b +c )【例14】 已知正数 a 和 b ，有下列命题：若 a +b =2 ，则 ab £1 ；3若 a +b =3 ，则 ab £ ；2若 a +b =6 ，则 ab £3 .根据以上三
10、个命题所提供的规律，猜想若 a +b =9 ，则 ab £.，并式证明上式成立.a +b =n ，则 ab £b a 5 4 2【巩固】 已知非零实数 a 、 b 满足等式 + + = + ，求a b ab b ab + a 3b +2 a的值.【例15】 若正数 m ， n 满足 m +4 mn -2 m -4 n +4 n =3 ，求m +2 n -8 m +2 n +2002【补充】已知正数 a ， b ，且满足 a 1 -b2+b 1 -a2=1 ，求证： a 2 +b 2 =11【例16】 已知 x + y -1 + z -2 = ( x +y +z ) ，求 x
11、 、 y 、 z 的值2【巩固】 设 a +b +c +3 =2(a +b +1 + c -1 ，求代数式 a 2 +b 2 +c 2 的值【巩固】 如果实数 a ，b ，c 满足 a =2b + 2 ，且 ab +3 1 ac2 + =0 ，求 - +c 的值. 2 4 b【巩固】 设 a, b, c是实数，若a +b +c =2 a +1 +4 b +1 +6 c -2 -14 ，则 2bc =_.五、双（多）重二次根式双重二次根式：形如 3 - 2 ，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式 多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根
12、式双（多）éëû重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法【例17】 化简： 5 +2 6 9 -4 5【例18】 计算 14 +6 5 - 14 -6 5 的值.【巩固】 化简： 6 + 35 + 6 - 35 【巩固】 若 a表示实数a 的整数部分，则 êê116 -6 7ùúú等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 .【例19】 计算 3 -2 2 + 5 -2 6 + 7 -2 12 + 9 -2 20 + 11 -2 30 + 13 -2 42 + 15 -2 56 + 17 -2 72【例
13、20】 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2-4 2 = m - n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_【巩固】 设 M ，x ，y 均为正整数，且 M - 28 = x - y ，则 x +y +M 的值是 .六、无理方程【例21】 解方程： x +8 - 5 x +20 =2【巩固】 解方程： 2 x +1 + x -3 =2 x【例22】 解方程x -2 2-2 =12 x -2【巩固】 无理方程 2 x2-15 x - 2 x2-15 x +1998 =-18 的解是_家庭作业1若 a2+b2-4 a -2b +5 =0 ，求2 a +b2 a -b的值.2如果 a +b -2
14、 a -1 -4 b -2 =3 c -3 -c2-5 那么 a +b +c 的值是（ ）A. 6B. 9C. 20D. 243代数式 8 + 63 + 8 - 63 =_.4已知 25 -x2- 15 -x2=2 则 25 -x2+ 15 -x2的值为（ ）5 (2007 年江西省)在数轴上与表示 3 的点的距离最近的整数点所表示的数是 (2007 年河南省)已知 x 为整数，且满足 - 2 £x £ 3 ，则 x = (2007 淄博市)估计 88 的大小应( )6A. 在 9.19.2 之间B. 在 9.29.3 之间比较 2003 - 2001 与 2002 - 2
15、000 的大小.C.在 9.39.4 之间D.在 9.49.5 之间7比较大小： - 5 - 2 与 -2 - 38试比较5 +15 -1与7 + 37 - 3的大小r r+1311 +43+11 -43+21 +3的值是（ ）已知x12+ x-12= 8，则x2+ 1x=若x2 -13 x +1 =0 ,则 x 4+x-4的个位数字是( )当x =1 + 19941时，多项式(4 x 3 -1997 x -1994) 2001的值为( )已知是方程x2+x -14=0的根，则a5a2 -1 +a4 -a3-a2的值等于_。m =计 算5 +1 ，那么 m +1m的整数部分是_。的 值 是 ( ) .1 1 1+ + + 1 + 2 2 + 3 3 + 4+12003 + 2004= .7x2+9x+13+ 7x25x+13=7x，则 x设 r4，a1 1 1 1，br r+11，c ，则下列各式一定成立的是。 r( r + r+1)A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a解方程组3x +1+ y -1 =2 x + y = 26200520042003（ 3 +1 ） 2（ 3 +1 ） 2（ 3 +1 ） +2005=_.