《上海市南洋模范中学2019届高三下学期3月月考数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市南洋模范中学2019届高三下学期3月月考数学试题.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、U =RUç ÷a ¹x +a3ïa bï2018 学年南模中学高三年级三月份月考卷 2019.3.6一、填空题ì x ü1.已知全集 ，若集合 A =íx >0 ý，则 C A =î x -1 þ_.2.双曲线 2 x2-y2=6的焦距为_.æ 1 ö 3.已知 ax +è x ø615二项展开式中的第五项系数为 ，则正实数 a =_.24.已知函数 f (x)=3 x +1 æ 1 ö ç ÷&#
2、232; ø的图像与它的反函数的图像重合，则实数 a 的值为_.5.设 x ， yì3x -y -6 £0ï满足约束条件 íx -y +2 ³0ïx ³0, y ³0 î，则目标函数 z =2 x +y的最大值为_.6.从集合A =-1,1,2中随机选取一个数记为 k ，从集合B =-2,1,2中随机选取一个数记为 b ，则直线 y 不经过第三象限的概率为_.7.设 F ， F 是双曲线 x 1 22-y 224=1的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且3 PF =4 PF ，则 DPF F 1
3、 2 1 2的周长为_.8.已知四面体ABCD中，AB =CD =2，E，F分别为BC，AD的中点，且异面直线 AB与CD所成的角为p3，则 EF =_.9. 已知函数f (x)是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时， f (x)=x2-6 ，则 x >0 时，不等式f(x)<x的解集为_.10.关于 x 的方程1 x -1 -1=sin12px在-4,4上的解的个数是_.ìab, ab ³011.任意实数 ， ，定义 a Äb =ía, ab <0îb，设函数f (x)=(logx)Äx，数列a是公比大于
4、0的等比数列，2 n且a =16，f (a)+f(a1 2)+f(a)+L+f(a)+f(a3 9 10)=2a1，则a =1_.12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点， A ， B ， M 是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角 q ，使uuuur uuur uuurOM =cos q×OA+sin q×OB，则直线 OA ， OB 的斜率乘积为_.1-5, -5- ,115二、选择题13.“12<x <1”是“不等式x -1 <1成立”的（）A.充分条件C.充分必要条件14.给出下列命题，其中正确的命题为（ ）B.必要条
5、件D.既非充分也不必要条件A.若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面；B.直线a 与平面 a不垂直，则a 与平面 a内的所有直线都不垂直；C.直线 a 与平面 a不平行，则 a 与平面 a内的所有直线都不平行； D.异面直线 a ， b 不垂直，则过 a 的任何平面与 b 都不垂直.15.已知数列a的通项公式为 na =nn1 (n+1)(nÎN*)9 x 2 y 2，其前 n 项和 S = ，则双曲线 - =1 的渐近线方n 10 n +1 n程为（ ）A.y =±2 23xB.y =±3 24xC.y =±3 1010xD.y =±
6、103x16. 已知平面直角坐标系中两个定点E (3,2)，F (-3,2)，如果对于常数l，在函数y = x +2 + x -2 -4，uuur uuurx Î-4,4的图像上有且只有6 个不同的点 P ，使得 PE ×PF =l成立，那么 l 的取值范围是（）A.æ 9 öç ÷è øB.æ 9 öç ÷è øC.æçè9- , -15ö÷øD.(-5,11)三、解答题17.如图，在圆锥SO中
7、， AB为底面圆O的直径，点C为AB的中点，SO =AB.（1） 证明： AB 平面 SOC ；（2） 若点 D 为母线 SC 的中点，求 AD 与平面 SOC 所成的角.（结果用反三角函数表示）2ç ÷cos x +ç ÷x 2 y 20 018.已知函数f (x)=æ pö sin 2 x 2cos x -è 2 ø æ pö 2 è 6 ø(xÎR).（1）求f (x)的最小正周期及判断函数f (x)的奇偶性；（2 ）在 DABC 中， f(A)=0，uuur
8、AC =m ， m Î2,4，若任意实数 t 恒有uuur uuur uuurAB -t AC ³ BC ，求 DABC 面积的最大值.19.数列an满足：a =21， an +1=a +ln×2n，且a1，a +12，a3成等差数列，其中 n ÎN*.（1）求实数 l 的值及数列an的通项公式；（2）若不等式p 2 p +16 £2 n -5 an成立的自然数n恰有 4 个，求正整数 p的值.20. 教材曾有介绍：圆 x2 +y 2 =r 2上的点(x , y0 0)处的切线方程为 x x +y y =r0 02。我们将其结论推广：椭圆+ =
9、1(a>b>0 )上的点 (x, y )处的切线方程为 a 2 b2x x y y0 + 0a 2 b 2=1，在解本题时可以直接应用。已知，直线x -y + 3 =0与椭圆E :xa22+y 2 =1(a>1)有且只有一个公共点.（1）求a的值；（2）设O为坐标原点，过椭圆 E上的两点 A、 B分别作该椭圆的两条切线l1、l2，且l1与l2交于点M (2,m)。当m 变化时，求 DOAB 面积的最大值；（3 ）在（ 2 ）的条件下，经过点M (2,m)作直线l 与该椭圆 E 交于 C 、 D 两点，在线段 CD 上存在点 N ，使CN MC=ND MD成立，试问：点 N 是
10、否在直线 AB上，请说明理由.3ç ÷21.一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n ³5 ）：第一行是以 4 为首项，4 为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f (2,1)=f(1,1)+f(1,2)；f(i,j)为数表中第 i 行的第 j 个数.f (2,j )和f (3,j )；（1）求第 2 行和第 3 行的通项公式（2）证明：数表中除最后 2 行外每一行的数都依次成等差数列，并求f (i,1)关于i(i=1,2,L , n)的表达式；（ 3 ） 若f (i,1)=(i+1)(a-1)i，b =i1a ai i +1， 试
11、 求 一 个 等 比 数 列g (i)(i=1,2,L,n)， 使 得S =b g (1)+bg(2)+L+bg(n)< n 1 2 n13æ1 1 ö，且对于任意的 m Î ,è4 3 ø，均存在实数 l ，当n >l时，都有S >mn.f (1,1)f (1,2)f (1,n-1)f(1,n) f (2,1)f (2,2)f (2,n -1)f (3,1)f(3,n-2 f (n,1)4( )2æ÷ ç ÷参考答案一、填空题1、 0,1；2、6；3、222；4、-3；5、14；6、
12、；7、24；8、1 或93；9、(2,+¥)；10、14；11、4；12、 -二、选择题12或-213、 A14、 D15、C16、C三、解答题17、（1）证明：在圆锥 SO 中， SO AB点 C 为AB 的中点， OC AB由AB SOAB OCüïýÞ AB 平面SOCSO I OC =Cïþ（2）解：联结 OD ， AB 平面 SOCÐADO为 AD与平面SOC所成的角设OC =a，则SO =2a，OD =1 1 5 SC = a 2 + 2 a = a2 2 2OA a 2 5在 RtDAOD 中， ta
13、n ÐADO = = =OD 5 5a2ÐADO =arctan2 5518、解：（1） f (x)=2sin x cos çx +èp6ö æ pö 3 -2sin 2 x = 3 sin 2 x + -ø è 3 ø 2所以，f(x)的最小正周期为T =p5ç ÷ç÷ç ÷ç÷f - ¹ f6 6f - ¹-f6 6æ÷ç ÷22( )()222uuur
14、 uuur uuur得 AB gAC -AC21uuur uuur2fæpö æ p pö 3= 3 sin 2 ´ + - =0 è6 ø è 6 3 ø 2；æ pö æ p pö 3f - = 3 sin - + - =- è 6 ø è 3 3 ø 232æ pö æpö ç ÷ ç ÷è ø è ø
15、，æ pö æpö ç ÷ ç ÷è ø è ø所以，函数f(x)是非奇非偶函数。（2）由 f (A)=3sin ç2A +èpö 3- =03 ø 2æ p ö 3 得 sin 2 A + =è 3 ø 2p因为 A 是 DABC 的内角，所以， A =6uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur由 AB -t AC ³ BC ，得 AB -t AC
16、9; AC -ABuuur uuur uuur uuur uuur uuur两边平方，整理得， AC t 2 -2 AB gACt +2 AB gAC -AC ³0 uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以 D=4 ABgAC -4 AC 2 AB gAC -AC £0对任意实数 t 恒成立( 2 )2uuur2 3mAB =所以3£0uuur uuur uuur则有 AB gAC -AC =0且uuurAC =mSDABCp 1 2 3 1 3 8= AB AC sin = g m 2 g = m 2 £ 3 （当且仅当 m =4
17、 等号成立） 2 6 2 3 2 6 3所以，当 m =4 时， DABC 面积的最大值为83319、（1）由题意： a =2 +2l2，a =2 +6l 3a1，a +12，a3成等差数列，2(3+2l)=2 +(2+6l)，解得：l=1a =2 ， a 1n +1=a +2nn，a =(a-an n n-1)+(an -1-an -2)+L+(a-a)+a=22 1 1n，解得：a =2nn（2）解：p 2 p +16 p p +8£ ， £2 n -5 a 2 n -5 2 n -1n p >0 ， n =1,2显然成立当 n ³3 时，p 2 n -
18、5£p +8 2 n -1，设 b =n(2n-5)×æ1 öç ÷è øn -161 1æ öæ ö()ç ÷ç ÷)245635+1 xa2ç ÷212ï2ï1 22100 bn +1-b =(2n-3)× nn n -1 - 2 n -5 ×è2 ø è2 ø=(7-2næ1 öç ÷
19、2; øn当n =3时，b >b4 3；当n ³4时，b >b >b >L 4 5 6；b =31 3 5 7 ， b = ， b = ， b =4 8 16 32，有b >b >b >b 4 5 3 6若p 2 n -5 p£ 还需有 2 解，则 b < £b p +8 2 n -1 p +8，即1 p 5 8 40 < £ ，解得 <p £4 p +8 16 3 11，所以正整数 p =3ìy =x + 3 ï20、解：（1）联立 íx2&#
20、239; +y 2 =1 îa2整理得æ1 öç ÷è ø2+2 3 x +2 =0依题意D=0即(23 )2æ1 ö-4 × +1 ×2=0 Þ a = 2 èa ø（2）设A(x , y1 1)、B(x , y2 2)于是直线l1、l2的方程分别为x x x x1 +y y =1 、 2 +y y =1 2 2将M (2,m)代入l 、 l 的方程得1 2x +my -1 =0 且 x +my -1 =0 1 1 2 2所以直线 AB的方程为 x +m
21、y -1 =0ìx +my -1 =0联立 í x 2 Þ (m+2)y +y 2 =1î 22-2 my -1 =0显然 D>0 ，由 y ， y 是该方程的两个实根，有 y +y =1 2 1 22 m 1 ， y y =-m 2 +2 m 2 +2DOAB面积S =1 x11 x2y1y21的绝对值，即 S = y -y1 2即S2=142 (m2+1)é(y+y )2-4y y ù= = ë 1 2 1 2 û (m2+2)2(m22+1)+ +2 m 2 +1£12当 m =0 时， S
22、取得最大值22（3）点N在直线 AB上，因为CN MC=ND MD设C (x, yCC)、D(x, yDD)、N (x, y00)，且uuur uuurCN =lND (l>0,l¹1)于是uuuur uuuur CM =-lMD，即x +lxC1 +lDy +ly x -lx y -ly=x 、 C D =y 、 C D =2 、 C D =m 1 +l 1 -l 1 -l7Dëû ëû2i)( )çiii +1i÷i +1ii +1æ 1 1 ö æ 1 1 ö æ
23、 1 1 ö 1 1 1ç÷ ç÷ ç÷n223nn +1n +1又xC22+yC2=1，x 2 x D +y 2 =1 Þ C 2 22+yC2-l2æçèxD22+yD2ö÷ø=1 -l21 x +lx x -lx y +ly y -lyÞ × C D × C D + C D × C D =1 2 1+l 1 -l 1+l 1 -l，Þ12×x ×2+y m =1 Þ x
24、+my -1 =0 0 0 0 0，即N在直线 AB上。f (2,j )=f(1,j)+f(1,j+1)=2f(1,j)+4=8j+4(j=1,2, L , n -1)21、解：（1）f (3,j )=f(2,j )+f(2,j +1)=2f(2,j )+8=2(8j+4)+8=16j+16 (j=1,2 L , n -2).（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i (1£i£n-3)行是以di为公差的等差数列，则由 f (i+1,j +1)-f(i+1,j)=éf(i,j+1)+f(i,j+2 )ù-éf(i,j)+f(i,j+1)ù
25、;= f (i,j +2 )-f(i,j)=2d（常数）知第 ii +1(1£i£n-3)行的数也依次成等差数列，且其公差为 2d .综上可得，i数表中除最后 2 行以外每一行都成等差数列；由于d =4i，d =2dii -1(i³2)，所以 di=4 ×2i-1 =2 i +1，所以f (i,1)=f(i-1,1)+f(i-1,2)=2f(i-1,1)+d f (i,1)=2f(i-1,1)+2i得，f (i,1) f (i-1,1)= +1于是，2i 2i -1i -1，由 d =2i -1i，即f (i,1) f (i-1,1) f (1,1)4-
26、 =1 ，又因为 = =2 2i 2i -1 21 2，ìf (i,1)ü 所以，数列 í ýî þ是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以，f (i,1) 2i=2 +(i-1)=i+1，所以f (i,1)=(i+1)×2i(i=1,2,L,n).（3）f(i,1)=(i+1)(a-1)iÞ a =if (i,1) i +1+1 =2i+1，Þ b =i1a ai i +1=(2i+11 1 æ 1 1 = -+1 2 +1 2 è2 +1 2+1ö÷
27、8;，令g (i)=2iÞ b g (i)= i12 iæçè2i1 1 ö 1 1 - ´2 i = -+1 2 +1 ø 2 +1 2+1，Þ S = - + - +L + - = - < è2 +1 2 +1 ø è2 +1 2 +1 ø è2 +1 2 +1 ø 3 2 +1 38.nç ÷ç2ö÷ö÷1 1 1 1 1 -3mS >m Û - >m Û < -m =3 2n +1 +1 2n +1 +1 3 3，æ1 1 öm Î , Þ 0 <1 -3m < è4 3 ø14，Þ 2 n +1 +1 >3 æ 3Þ n >log 1 -3m è1-3m-1 -1ø，令l=log2æçè31 -3m-1 ，则当 n >l时，都有 øS >mn，适合题设的一个等比数列为g (i)=2i.9