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1、Aî-b +b -b ba c aca c a d adnnn分式【知识网络】一、基本概念1.形如 (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B0)的式子，叫做分式 .其中?A 叫做 B分式的分子 ,B 叫做分式的分母 .2.整式和分式统称有理式 , 即有理式二、分式的基本性质ì整式í分式1.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 .用式 子表示即是：AA ´M A A ¸M = , =BB ´M B B ¸M（ 其中 M 是不等于零的整式）。注意：在分式中，分母的值不能是零。如果分母的
2、值是零，则分式没有意义。 2.符号规则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。用式子表示即是： - a a a -a -a a a= = - ， =- =- =b - b b三、运算法则1.乘法法则： × =b d bd2.除法法则： ¸ = × =b d b c bca b a ±b3.加减法则：同分母加减法则：（1） ± =c c ca c ad bc ad ±bc异分母加减法则：（2） ± = ± =b d bd bd bdæa ö a4.乘方法则： ç
3、; ÷ = （n 为正整数，b ¹0 ）èb ø b四.分式方程及其解法1分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程.2. 分式方程的解法（1）去分母法的步骤：去分母法：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；解这个整式方程；把整式方程的根代入最简公分母中检验，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去. 在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母进行运算.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数 后再求出原来的未知数分式的运算【知识要点】1
4、.分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系 , 恰当地设末知数.x 2 -x1 12重要考点考点一、分式的基本概念考点二、当分式有 (无)意义和值为 0 时,字母的取值范围 考点三、分式的基本性质考点四、分式的化简与混合计算分式的加减、分式的乘除 考点五、负指数与
5、科学记数法考点六、分式方程的概念及其解、分式方程中的增根型问题 考点七、列分式方程解应用题考点一、 分式的概念例 1使分式xx +2有意义的 x 的取值范围为（ ）A x ¹2B x ¹-2C x >-2C x <2解析：根据分式的概念可知，当分式的分母不为 0 时，分式有意义所以有 2x40，得 x2选 B考点二、 分式的约分与通分例 2计算： x -1解析：x 2 -x x(x -1) = =xx -1 x -1点评：本题主要考查分式的约分，应先把能分解因式的分子分解因式，再将 分子与分母的公因式约去例 3已知两个分式A =x24-4， B = + ，其中
6、x±2，则 A 与 B 的 x +2 2 -x关系是（ ）A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数大于 B解析：把 B 通分后再和 A 进行比较，B =1 1 (x -2) -(x +2) -4 - = =x +2 x -2 (x +2)(x -2) x 2 -4，而A =4x -4，所以 A 与 B 互为相反数答案为 C点评：其实，解决本题的关键还是分式的通分，但它又不完全等同于分式的 一般通分题型，它需要我们先进行分析，然后再找出解决问题的方法考点三分式的乘除2x -2x +1 2x -2222122a b2 21 1 22例 4课堂上，李老师给大家出了这样一道题：当 x 分别取
7、3，5 -2 2 ，7 + 3 时，求代数式 ¸ 的值小明一看：“太复杂了，怎么算呢？”你x -1 x +1能帮小明解决这个问题吗？请你写出具体解题过程解析：x2-2x +1 2x -2 (x -1) x +1 1 ¸ = ´ =x -1 x +1 (x +1)(x -1) 2(x -1) 2，所以，不论 x 为任何不等于 1 或1 的实数，原式的值不变故当 x 分别取 3，5 -2 2，7 + 3时，代数式的值都是 2点评：本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算， 运算过程中，能约分的一定要约分考点四分式的加减例 5化简： - .a -b
8、a -b解析：按同分母分式相加减的法则进行计算，分母不变，分子相加减原式=a -b (a +b)(a -b)= =a +b a -b a -b点评：本题主要考查同分母分式相加减的法则考点五分式的混合运算例 6先化简(1 +1 x) ¸x -1 x 2 -1，再选择一个你喜欢的恰当的 x 的值代入并求值解析：原式=(x -1 1 (x +1)(x -1) x (x +1)(x -1)+ ) ´ = ´ =x +1 x -1 x -1 x x -1 x当 x=2006 时，原式=20061=2007点评：字母 x 的值不是由题目给出的，而是自己选取，这大大增强了题目的
9、 灵活性此题难度并不大，但要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简 形式在选取 x 的数值时，一定要保证原式有意义，即 x 要取不等于1，0，1 的其他数值考点六、解分式方程例 7解方程： = - 6x -2 2 1 -3x解析：首先将“分式方程整式化”直接求解可得 x =- 3点评：解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有 时会产生增根2222 2； ； ；B.；所以考点七、说理型问题例 8（1）已知y =x -2x +1 x -x 1¸ - +1 x -1 x +1 x，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论 x 为何值，y 的值始终不变解析：先把原式化简
10、，得 y=1，说明 y 的值与 x 的取值无关所以只要保证 右边代数式有意义，不论 x 为何值，y 的值始终不变考点八、改错题例 9对于试题：“先化简，再求值： 出了如下解答：x -3 1 x -3 1解：- = +x 2 -1 1 -x (x +1)(x -1) x -1x -3 1- x 2 -1 1 -x，其中 x=2”某同学写当 x=2 时，原式=2×22=2上述解答正确吗？如不正确，请你写出正确解答解析：本题明显的错误是在化简过程中将分母去掉了，改变了原式的值化 简的结果应是 ，当 x=2 时，原式 = x +1 3点评：解分式题首先应化简，化简过程中一定要细心、谨慎考点九
11、、探究题例 10观察下列等式：1 1 1 1 1 1 1 1 =1 - = - = -1 ´2 2 2 ´3 2 3 3 ´4 3 41 1 1= - n(n +1) n n +1将以上等式相加得到1 1 1 1 1+ + +L + =1 -1 ´2 2 ´3 3 ´4 n(n +1) n +1用上述方法计算1 1 1 1 + + +L +1 ´3 3 ´5 5 ´7 99 ´101，其结果是（ ）A.50 49101 101C.100101D.99101解析：由上述方法可知：1 1 1 1 1
12、 1 1 1 1 1 1 = (1 - ) = ( - ) = ( - )1 ´3 2 3 3 ´5 2 3 5 5 ´7 2 5 7；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 = ( - ) + + +L + = (1 - ) =99 ´101 2 99 101 1 ´3 3 ´5 5 ´7 99 ´101 2 101 101答案为 A点评：探究型试题以其综合性强，富有思考价值，注重考查探索精神和创新 意识等特征逐渐成为中考热点因此同学们要重视此种题型的训练2240 2240ïï x y&
13、#237;ïî考点十列分式方程解应用题例 11 南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长 2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加了 20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短 2 天，若设现在计划每 天加固河堤 xm，则得方程为 解析：解出本题关键是找出等量关系 :原计划的时间现在的时间的时间 =2 小时. 2.x -20 x例 12在我市公路改建工程中，某段工程拟在 30 天内（含 30 天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做 24 天恰好完成；若两队合做 18 天后，甲工程队再单
14、独做 10 天，也恰好完成请问： （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035 万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工 即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 x 天、y 天，ì 24 24+ =1,由题意得方程组： ，18 18 10+ + =1ïx y x解之得：x=40，y=60（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施
15、工 30 天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知，乙工程队 30 天完成工程的1 130 1=60 2，甲工程队需施工 ÷ =20（天）最低施工费用为 06×20035×30=2252 40（万元）答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需 40 天和 60 天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做 20 天和 30 天，最低施工费用是 225万元评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的 背景下，易激活学生的数学思维三、易错点剖析1符号错误例 1不改变分式的值，使分式 -a +b a +b错解：=-a -b a -b-a +b-
16、a -b的分子、分母第一项的符号为正诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号正解：-a +b -( a -b ) a -b = =-a -b -( a +b ) a +b2运算顺序错误例 2计算：2a -4 a -2¸ (a +3)a 2 +4 a +3 a +3错解：原式=a2( a -2)¸( a -2) =2 +4 a +3 a22 +4 a +3诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右正解：原式=2a -4 a +3 2(a +3) ( a +3) =a 2 +4 a +3 a -2 a -13错用分式基本性质222a 2
17、+ab32 a - b例 3不改变分式的值，把分式 的分子、分母各项系数都化为整数2a +b3错解：原式=3(2a - b) ´24 a -3b =2 2a +3b ( a +b ) ´33诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为 0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以 2，分母乘以 3，分式的值改变了正解：原式=3(2 a - b ) ´612 a -9b =2 4a +6b ( a +b ) ´634约分中的错误例 4约分： a 2 +2 ab +b 2错解：原式=1 +1 2=1 +2 +b 2 3 +b2诊断：约分的根据是
18、分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、 分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式正解：原式=a( a +b ) a =( a +b ) 2 a +b5结果不是最简分式例 5计算：x +3 y x +2 y 2 x -3 y- +x 2 -y 2 x 2 -y 2 x 2 -y 2错解：原式=( x +3 y ) -( x +2 y ) +(2 x -3 y) 2 x -2 y=x 2 -y 2 x 2 -y 2诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还 有公因式，必须进一步约分化简正解：原式=( x +3 y) -( x +2 y) +(2 x -3 y )
19、 2 x -2 y 2( x -y ) 2= = =x 2 -y 2 x 2 -y 2 ( x +y )( x -y ) x +y6误用分配律例 6计算：m +2 m +2 ¸( m +2 - )2m -4 m -2错解：原式=m +2 m +2 m +2 1 1 3 -m¸( m +2) - ¸ = - =2( m -2) 2( m -2) m -2 2( m -2) 2 2( m -2)诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律正解：原式=m +2 m 2 -m -6 m +2 m -2 1¸ = =2( m -2) m -2 2( m -2) ( m +2)( m -3) 2( m -3)7忽略分数线的括号作用例 7计算：x 3x -1-x 2 -x -1错解：原式=x 3 x 2 -x -1 x 3 ( x -1)( x 2 -x -1) 2 x 2 -1 - = - =x -1 1 x -1 x -1 x -1诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用正解：原式=x 3 x 2 +x +1 x 3 ( x -1)( x 2 +x +1) x 3 x 3 -1 1- = - = - =x -1 1 x -1 x -1 x -1 x -1 x -1