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1、中考数学专题复习分类讨论问题 教学目标1. 掌握常见题型分类方法；能够灵活运用一般的分类技巧。2. 明确分类的“界点”、“标准”。一、 热点再练1.等腰三角形的一个角是 80°，则它顶角的度数是（ ）A. 80° B. 80°或 20° C. 80°或 50°D. 20°2.已知三角形相邻两边长分别为 13cm 和 15 cm，第三边上的高为 12 cm ，则此三 角形的面积为_cm2A B C或D3.在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知 A（1，1），在 x 轴上确定点 P，使得AOP 为等腰三角形，则符合条件的 P 点共
2、有个。4.半径为 5 的圆中，有弦平行，则与之 间的距离_.在半径为 1 的圆中，弦 AB、AC 的长分别是2、3，则BAC 的度数是。. 已知方程m2x2+(2 m +1) x +1 =0有实数根，则 m 的取值范围 。知识点:1. 等腰三角形的角有 _ 和 _ 其中的底角可以是 _.( 按角的类 型进行分类)1. 三角形的高可以在_也可以在_(按图形的形状进行).3. 圆是轴对称图形 ,相等的弦,如平行弦 ,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧 ( 按 图形的性质)4. 初中阶段的方程有_,_._(按定义分类)二、规律剖析例 1 正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P 从点 A 出
3、发，以 2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， pP，D 两3D C点间的距离。p4p2Ap1B总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应根据 P 点的不 同位置构造出不同的几何图形，关键找出分界点。练习:. 2.例 2.如图，已知O 的半径为 6 cm，射线 PM 经过点 O，OP10 cm，射线 PN 与O相切于点 Q.A、B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5 cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动，点 B 以 4 cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动设运动时间为 t (s) (1)求 PQ 的长；(2
4、)当 t 为何值时，直线 AB 与O 相切？课堂检测:1.若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1，则此等腰三角形的周长为（ ）A. 5 B.7 C. 5 或 7 D. 6.3.2.在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点 画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）。A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限3.如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，AD=4，点 P 是边 AB 上一点， APD BPC 相似，则满足条件的点 P 有个.4.若等腰三角形的两个角度的比是 1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 30 60 30 或 90
5、605.若直线 y=x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2，则 b 的值为 ；6. 已知关于的一元二次方程( m -1) x2+x +1 =0有实数根，则的取值范围是：_总结 :运动与数形结合进行分类四、板书设计1 ：分式方程无解的分类讨论问题；2 ：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；3 ：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；4 ：分类问题在动点问题中的应用；4.1 常见平面问题中动点问题的分类讨论；4.2 组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。 1：分式方程无解的分类讨论问题例题 1：（2011 武汉）解：去分母，得：3 ax 4+ = 无解，求a
6、= x -3 x 2 -9 x +3. 42.3( x +3) +ax =4( x -3)Þ（a -1）x =-2121 21由已知 - =-3或 - =3或a -1 =0a -1 a -1 a =8, a =-6.或者a =1猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ a =8或a =-6例题 2：（2011 郴州）2 a- =2无解，求 a = x +1 x -12：“一元二次”方程系数的分类讨论问题例题 3：（ 2010 上海）已知方程 m2x2+(2 m +1) x +1 =0 有实数根，求 m 的取值范围。（1）当 m2=0 时，即 m=0 时，方程为一元一次方程 x+1=0，
7、有实数根 x= -1（2）当 m 2 ¹0 时 ， 方 程 为 一 元 二 次 方 程 ， 根 据 有 实 数 根 的 条 件 得 ：D=(2m +1)2-4 m21=4 m +1 ³0, 即m ³- ，且 m42¹01综（1）（2）得， m ³-4常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略 m2¹0 的条件）总结 ：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2 ）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二 次项系数不为零的要求，本题是根
8、据二次项系数是否为零进行讨论的。例题 4 ：（2011 益阳）当 m 是什么整数时，关于 x 的一元二次方程 mx 2 -4 x +4 =0 与x2-4 mx +4 m2-4 m -5 =0 的根都是整数。解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为 0，即m 2 ¹0，m ¹0，D ³0, 解得m £1. 1同理，5D ³0, 解得m ³- . -454£m £1 且 m ¹0 ，又因为 m 为整数 m 取 -1或1 .（1）当 m=1 时，第一个方程的根为x =-2±2 2不是整数，所以 m=
9、1 舍去。（2）当 m=1 时，方程 1、2 的根均为整数，所以 m=1.ì练习：已知关于的一元二次方程 m -1 ¹0 5Þ m £ 且m ¹1 íD³0 4î( m -1) x 2 +x +1 =0有实数根，则的取值范围是：. 51234.3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题例题 :5：（2011 青海）方程 x 的周长为（ ）2-9 x +18 =0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形 12 12 或 15 15 不能确定例题 6：（2011 武汉）三角形一边长 AB 为 13cm ，另一
10、边 AC 为 15cm，BC 上的高为 12cm, 求此三角形的面积。（54 或 84）例题 8：（2011 四校联考）一条绳子对折后成右图 A、B, A.B 上一点 C，且有 BC=2AC,将 其从 C 点剪断，得到的线段中最长的一段为 40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或 120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；A CB例题 9：（2011 永州）正方形 ABCD 的边长为 10cm，一动点 P 从点 A 出发，以 2cm/秒的速度 沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到 A 点停止，求点 P 运动 t 秒时， P，D 两点间的距 离。解
11、：点 P 从 A 点出发，分别走到 B，C，D，A 所用时间是秒，秒，秒，秒，即 5 秒，10 秒，15 秒，20 秒。（ 1 ）当 0 t<5 时，点 P 在线段 AB 上， |PD|=|P D|=p3D C(cm)（ 2 ） 当 5 t<10 时 ， 点 P 在 线 段 BC 上 ， |PD|=|P D|=p4p2（3）当 10t<15 时，点 P 在线段 CD 上，|PD|=|P D|=30-2tAp1B（4）当 15t20 时，点 P 在线段 DA 上，|PD|=|P D|=2t-30综上得：|PD|=总结：本题从运动的观点，考查了动点 P 与定点 D 之间的距离，应
12、根据 P 点的不同位置构 造出不同的几何图形，将线段 PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。. 655 2 5例题 10：（2010 福建）已知一次函数 y =-x 轴上找一点 P，使PAB 为等腰三角形。33.x +3 3 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，试在分析：本题中PAB 由于 P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没 有确定。PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出 B 点坐标(0 ， 3 3
13、)，A 点坐标（9，0）。设 P 点坐标为 ( x，0) ，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出 P 点坐标有四解，分别 为 ( -9，0)、(3，0)、(9+6 3，0)、(9 -6 3，0) 。（不适合条件的解已舍去）总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧 扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。例 11：(2010 湖北)如图，正方形 ABCD 的边长是 2，BE=CE，MN=1， 线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动
14、当 DM= 时，ABE 与以 D、 M、N 为项点的三角形相似。分析与解答 勾股定理可得 AE= 当ABE 与以 D、M、 N 为项点的三角形相似时，DM 可以与 BE 是对应边，也可以与 AB是对应边，所以本题分两种情况：MA DNEB C（1） 当 DM 与 BE 是对应边时，DM MN=AB AE，即DM 1 5= , DM =1 5 5（2）当 DM 与 AB 是对应边时，DM MN=AB AE，即DM 1 2 5= , DM =2 5 5故 DM 的长是 或 5 5例题 12：（2011 湘潭）如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A,B 两点的抛
15、 物线交 x 轴于另一点 C（3,0）.(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使三角形 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由。说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广 泛这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，B要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识QAOACA. 7.的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证 解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。 易得： y =a ( x +1)( x -3)再结合点 B (0,3)在
16、抛物线上 y =-x2 +2 x +3（2） 依题意得 AB = 10 ，抛物线的对称轴为 x=1,设 Q(1，y)1) 以 AQ 为底，则有 AB=QB,及 10 = 12+( y -3)2解得，y=0 或 y=6,又因为点（1,6）在直线 AB 上(舍去)，所以此时存在一点 Q(1,0)2) 以 BQ 为底，同理则有 AB=AQ,解的 Q(1, 6 ) Q(1, - 6 ) 3) 以 AB 为底，同理则有 QA=QB,存在点 Q(1,1).综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1, 6 ) 、(1, - 6 )【作业训练】1已知等腰ABC 的周长为 18 ，BC=8 若ABC
17、A´B´C´，则A´B´C´中一定有一 定有条边等于（ ）A7 B2 或 7 C5 D2 或 7 2.（2010 衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是 1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。 30 60 30 或 90 603A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行已知甲 车速度为 120 千米/时，乙车速度为 80 千米/时，以过 t 小时两车相距 50 千米，则 t 的值是（ ）A2 或 25 B 2 或 10 C10 或 125 D2 或 1254已知O 的半径为 2，点 P 是O 外一点，
18、OP 的长为 3，那么以 P 这圆心，且与O 相切 的圆的半径一定是（ ）A1 或 5 B1 C5 D不能确定5.（2011 株洲市）两圆的圆心距 d=5,他们的半径分别是一元二次方程 x 判断这两圆的位置关系：.2-5 x +4 =0 的两根，6已知点是半径为 2 的外一点，PA 是O 的切线，切点为 A，且 PA=2，在O 内作 了长为 2 2 的弦 AB，连续 PB，则 PB 的长为. 8.7.（2010 四校联考）在等腰三角形 ABC 中，AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周 长分为 15 和 12 两部分，则这个三角形的底边长为：.8:变换例题 12，请问是否在 x 轴，y 轴上存在点 P,使得 P,B,C 三点组成的图形为等腰三角形， 请说明理由。【参考答案】1D 2 .C 3. A 4A5外切 6.2或2 57. 7 或 11. 9