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1、数学模型作业六道题作业一1.P56.8 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给 予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的 重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到 8 条鱼的如下数据（胸围指鱼 身的最大周长）：身 长 36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 /cm质 量 765 482 1162 737 482 1389 652 454 /g胸 围 24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 /cm先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。解：要求鱼的体重，我们利
2、用质量计算公式： M=V。我们假定鱼池中是同一种 鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。至于鱼的体积问题，由于是同一种类， 可以假定这种鱼在体型上是一致的。我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。即：V=k L3，因此，模型为：1M =rV =rk l3 =K L3 1 1 1模型一利用 Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数 K ，如下图 1 所示：1图 1从图 1 结果可以得到参数 K =0.014591，所以模型为：1M =0.014591 L31上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。因此，有必要改进模型。 如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成
3、正比，即：V=k d22L，因此，模型为：M =rV =rk d 2 22L =K d22L模型二利用 Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数 K ，如下图 2 所示：2图 2从图 2 可以得到参数 K =0. 032248，所以模型为：2M =0.032248d 2 L 2将实际数据与模型结果比较如表 1 所示：表 1实际数据 M765 482 1162 737 482 1389 652 454模型一 M 727.165 469.214 1226.061 727.165 482.629 1338.502 675.108 482.619 1模型二 M 729.877 465.248
4、1099.465 729.877 482.960 1470.719 607.106 483.960 22.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向 7 个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个代理点应该建在何处，才能使所能供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模型并求解。解：将大学生数量为 34、29、42、21、56、18、71 的区分别标号为 1、2、3、4、 5、6、7 区，画出如下区域区之间的相邻关系：2 5记 r 为第 i 区的大学生人数，用 0-1 变量 x =1 表示（i，
5、j）区的大学生由 1 4 ij 63 7一个代售点供应图书（i<j，且 i，j 相邻），否则 x =0，建立该问题的整数线性ij规划模型。Max =å（r +r ）xi j相邻s.t.åx £2i ji.jijåx +i jåxij£1,"ij jx Î0,1i j即：Max =63* x +76* x +71* x +85* x +63* x +77* x +39x * x +74* x +89* x +92* x12 13 23 25 34 45 46 56 67s.t.x +x +x +x +x +x
6、+x +x +x +x +x £212 13 23 24 25 34 45 46 47 56 67x +x £112 13x +x +x +x £112 23 24 25x +x +x £113 23 34x +x +x £124 45 56x +x +x £146 56 67x =0或x =1ij ij将上述建立的模型输入 LINGO，如下：modle:max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23
7、+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67<=2;x12+x13<=1;x12+x23+x24+x25<=1;x13+x23+x34<=1;x24+x45+x56<=1; x46+x56+x67<=1gin(x12); gin(x13); gin(x23); gin(x25); gin(x34); gin(x45); gin(x46);gin(x47); gin(x67); End运行，得到的输出如下：Local optirnal solution found at iteration Objective value: VauableV
8、alue Reduced Costx12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x240.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.0000000000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000x67 0.000000 000000047从上述结果可以得到：最优解 x =x2547=1 (其他的均为 0)，最优值为 177 人. 即：第 2、
9、5 区的大学生由一个销售代理点供应图书，代理点在 2 区或者 5 区，第 4、 7 区区的大学生由另一个销售代理点供应图书，代理点在 4 区或者 7 区。作业二3.P181.14 在鱼塘中投放 n 尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重0量将增加。(1) 设尾数 n(t) 的 ( 相对 ) 减少率为常数 ; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率 与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。分 别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。(2) 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻 T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对 减少量| /n| 表示，记作 E，即单位时间捕获量是 En
10、(t)。问如何选择 T 和 E， 使从 T 开始的捕获量最大。解：（1）鱼塘的初始鱼苗为 n 尾，且随着时间的增长，尾数将减少。设尾数n(t) 的0(相对)减少率为为 k ，因此由题意建立微分方程为：1dndt=-kn,( k >0)n (0) =n0求解得：n ( t ) =n e0-kt在鱼塘里，由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼表面积成正比，即：I(t)=aS在鱼塘里，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比，即：D(t)=b所以每尾鱼重量的净增长率 r(t)为：mr(t)=aS -bm因此，建立微分方程为：dmdt=aS -bm因为该微分方程涉及多个变量间的数量关系，所
11、以我们暂时无法求解该微分 方程。但是要想解决此微分方程还需要更多的信息，例如，每尾鱼表面积与其重 量间的关系，一旦此关系确定，便可轻松解出每尾鱼的质量随时间的变化，即 m(t)。（2）用控制网眼的办法不捕小鱼，假设 t=T 时开始捕捞，且单位时间的捕捞率为 E，依题意建立微分方程：dndt=-kn -En ,( t ³T )因此得:v r mg gêëúûn(t ) =n e 0-lte-(l+E)( t -T )所以单位时间的捕捞鱼的尾数为 En(t)，因此从 T 时刻开始的总捕捞量为：y =¥òTm(t ) En(t )
12、 dt问题就转化为求 E 和 的值，使得 y 最大，由于条件不足导致 m(t)求解不 出，因此无法求出 y 的具体解释式。4.P213.2 雨滴的速度 v 与空气密度、粘滞系数和重力加速度 g 有关，其中 粘滞系数的定义是：运动物体在空气中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积 成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式。 解：雨滴速度问题中涉及的物理量：雨滴的速度 ，空气密度 ，粘滞系数 , 重力加速度 ，长度 。要寻找的关系是：v =y(g,r,m, g )更一般的将各个物理量之间的关系写作：f (v , g,r,m, g ) =0这里没有因变量与自变量之分，进而设：p
13、=v y1 gy2 ry3 my4 g y5 .(1)其量纲表达式为：n =LM0T-1,r =L-3MT0,m =L-1MT-1,g =LM0T0，g =LM0T-2其中 L，M，T 是基本量纲。因此量纲表达式可以写成:L0 M 0T 0 =(LM 0 T -1 ) y1 (L-3MT 0 ) y2 (L-1MT -1 )y3 (LM 0 T 0 )y 4 (LM 0 T -2 ) y5 根据量纲原则可写成：ìïíïîy +y -3 y -y +y =0 1 2 3 4 5y +y =0 3 4-y -y -2 y =0 1 4 5量纲矩阵为
14、：é1 1 -3-11ù( L )A = 0 0 1 êê-1 0 01 0ú -1 -2ú( M )(T )( v ) (g) (r)(m) ( g )解得方程的基本解为：ï1ï1îdtì 1 1 Y =(1, - ,0,0, - )ï 2 2í3 1 Y =(0, - , -1,1,- ) ïî2 2 2.(2)将（2）代入（1）可得两个相互独立的无量纲量ì p =vg-1/2 g -1/ 2 íp =g-3/2 r-1mg-1/2
15、 2为了得到形如v =j(g,r,m, g )的关系，取p =y(p) 1 2，其中 y 是某个函数，所以（2）式为：vg-1/2g-1/2=y(g-3/2r-1mg-1/2)于是：v =y(g-3/2r-1mg-1/2)(g1/2g1/2)作业三5.P248.13 一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬 行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存。在适当假设下建立三者关 系的模型，求其平衡点。解：x (t ) 、 x (t ) 、 x (t ) 分别表示植物、哺乳动物、食肉爬行动物在时刻 t 的数 1 2 3量。假设不考虑植物、哺乳动物和食肉爬行动物对自身的阻滞增长
16、作用。 设 r 为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，设减小1的程度与捕食者数量成正比，于是建立植物数量的模型：dx (t )1dt=x ( r -lx ) 1 1 1 2比例系数 l 反映了哺乳动物消耗植物的能力。1哺乳动物离开植物无法生存，设其死亡率为 r ，则哺乳动物独自存在时有：2dx (t )2 =-r x2 2而植物的存在可以为哺乳动物提供食物，但是食肉爬行动物的存在使哺乳动 物数量减少，设减少的程度与食肉爬行动物数量成正比，于是建立哺乳动物数量 模型：dx (t )2dt=x ( -r +lx -mx ) 2 2 2 1 3其中比例系数 l 反映了植物对哺乳动物
17、的供养能力， m 反映了食肉爬行动物掠2取哺乳动物的能力。食肉爬行动物离开动物无法生存，设其死亡率为 r ，则食肉爬行动物独自存3在时有：dtdx (t)3dtr x3 3而哺乳动物的存在可以为食肉爬行动物提供食物，于是 (4)式右端应加上哺乳动物对食肉爬行动物的增长作用，设为 ，于是建立食肉爬行动物的数量模型：3dx (t)3 x ( r x )3 3 3 2比例系数 反映了哺乳动物对食肉爬行动物的供养能力。3综上所述，建立如下微分方程组模型dx (t)1dtdx (t)2dtx (r x )1 1 1 2x ( r x2 2 2 1x )3dx (t)3dt求得微分方程组的平衡点为x (
18、r3 3 3x )2P (0,0,0),P ( 1 2r2,r1,0)2 1其中平衡解 P (0,0,0)对是没有意义的。16.P437.9 一个服务网络由 k 个工作站 v1，v2，vk 依次串接而成，当某种 服务请求到达工作站 vi 时， vi 能够处理的概率为 pi ，转往下一站 vi+1 处 理的概率为 qi（i=1,2,. ,k-1,设 qk=0），拒绝处理的概率为 ri ，满足 pi + qi + ri =1。试构造马氏链模型，确定到达 vi 的请求平均经过多少工作站才能 获得接受或拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率各多大。解：用随机变量 X 表示第 i 站对请求服务的处理方式，i
19、Xi1 表示接受请求Xi2 表示拒绝请求， i 1,2,L k ，用 a i 表示第 i站接受请求的概率，a i 表1 2示第 i站拒绝请求的概率。 q 表示第 i站转移至下一站的转移概率。分析可知，i第 i 1 站处理请求的概率和第 i站处理请求的概率以及转移概率有关，由此可得a i 1 p q q L q1 i 1 i i 1 1a i 1 r q q L q2 i 1 i i 1 1其中， a 1 p ， a 1 r ，由（1）可以计算出 k 个站各自接受和拒绝服务请 1 1 2 1求的概率如下表 1 所示：站次概率 1 2 34ka i1p1p q2 1p q q3 2 1p q q
20、q4 3 21p q q k k 1 k 2L q1êêêêêëùúúúúû¥a (i)2r1r q2 1r q q3 2 1r q q q4 3 21r q q k k -1 k -2L q1由独立重复事件概率和公式可得服务请求被接受处理的概率为:a (X =1)=p+p q +p q q +L +p q q i 1 2 1 3 2 1 k k -1 k -2服务请求被拒绝处理的概率为a (X =2)=p+p q +p q q +L +r q q i 1 2 1
21、3 2 1 k k -1 k -2L q1L q1将服务请求到达工作站 v 记做状态 i ，i =1, 2,L k ，设 v 表示请求被拒绝，vi 0表示请求被接受，于是转移概率矩阵为:00p =é 1 00 1êê p r 01 1p r O2 2ê M M Oêp r 0 k -1 k -1p rê k kê(00)(0)(1)0q1OO O(2)(L)(k-1)(00)ú (0)úú (1)0(2)úú (M)qk -1 (k-1) 0ú (k)(k)
22、0;转移矩阵 p =1 的状态 i 称为吸收状态，如果马氏链中至少含有一个吸收状i态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移到达某一个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。吸收链可以写成简单的标准形式，若有r 吸收状态， k -r 个非吸收状态，则转移矩阵 p 可表示为个p =éêëIr´rR0Qùúû其中 k -r 阶子方阵 Q的特征值 l满足 l <1，这要求子阵 R(k-r)´r中必含有非零元素，以满足任一非吸收状态经有限次转移能够到达某一个吸收状态的条件， 这样 Q 就不是随机矩阵，它至少
23、存在一个小于 1 的行和，且如下定理成。由于(I-Q)可逆因此：M =(I-Q)-1=åQs =0s记元素全为 1 的列向量 e =(1,1,L 1)T,则 y =Me 的第 i 个分量是从第 i 个非吸 收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数。ëû所以有M =(I -Q)-1é1êê=êêêq110q q1 2q2OLLOq q L q 1 2 k -1qk -1MMùúúúúúê1ú到达 v 的请求获得接受或拒绝时，平均经过的工作站数由 y =Me 可得： ii =1 +q +q q +L +q q q1 1 2 1 2Lk -1