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1、2222 222 22§3参数方程化成普通方程1. 了解参数方程化成普通方程的意义.2. 掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点)3. 能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点)基础· 初探教材整理参数方程化为普通方程参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表 示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系. 两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：(1)代数法消去参数1 代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代 入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.2 代数运算法：通过
2、乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形， 然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程.(2)利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的 x，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函 数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程.填空：ìxt，(1)将参数方程íîy2t(t 为参数)化为普通方程是_.ìxcos ，(2)将参数方程í ( 为参数)化为普通方程是_.îysin ìx2t ，(3)将参数方程íîyt1(t 为参数)化为普通方程是_.【解析】(1)把 tx 代
3、入得 y2x 即普通方程为 y2x.(2) 由 sin cos 1 得 x y 1.(3) 由得 ty1，代入 得 x2(y1).【答案】(1)y2x (2)x y 1 (3)x2(y1)第 1 页223 52223 5î22222î质疑· 手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：小组合作型把曲线的普通方程化为参数方程根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程.(1)(x1) (y2) 1，x 3cos 1.( 为参数)(2)x yx10，xt1.(t 为参数)【精彩点拨】根据题目要求代入可求解
4、.【自主解答】 (1)将 x 3cos 1 代入(x1) (y2) 1 得 y2 5sin.ìïx3cos 1， íïy 5sin 2( 为参数).这就是所求的参数方程.(2)将 xt1 代入 x yx10 得yx x1(t1) t11t 3t1，ìïxt1， íïyt 3t1(t 为参数).这就是所求的参数方程.普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它第 2 页2æ k ö2t1ttan 1tan 2将决定参数方程是否与普通方程等价.参数的选取不同，得到的参数方程是不&
5、#236;xtan ，同的.如本例(2)，若令 xtan ( 为参数)，则参数方程为íîytan tan 1为参数).再练一题1.求 xy1 满足下列条件的参数方程.(1)xt(t0)；(2)xtan ç ，kZ÷.è ø(【解】(1)将 xt 代入 xy1 得 t· y1.1t0，y ，ìxt， íîy(t 为参数，t0).1(2)将 xtan 代入 xy1 得 y ，ìxtan ， íîyk( 为参数， ，kZ).探究共研型将参数方程化为普通方程的方法探究 1&
6、#236;x t1，下面将参数方程íîy12 t(t 为参数)，化成普通方程的过程是否正确？为什么？解：由 x t1，得 tx1，代入 y12 t，得 y2x3.这是一条过点(0,3)，且斜率为2 的直线.【提示】 解析过程不正确，因为没有考虑 x 是有范围的，即 x t11.探究 2将参数方程化成普通方程应注意什么？怎么来做？【提示】 将参数方程化成普通方程，应注意，消参过程中要求不减少也不第 3 页ìaæ 1öt2èøïbæ 1öt2èø32 tt222t22 t增加曲线
7、上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的；消参前必须是根据参数的取值范围确定 f(t)和 g(t)的值域，从而得到 x，y 的取值范围.探究 3把参数方程化为普通方程时，常用哪些方法？【提示】消去参数的方法一般有三种：(1) 利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2) 利用三角恒等式消去参数；(3) 根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数 . 将下列参数方程化成普通方程，并说明方程表示的曲线.(1)ìx13t， íîy4t(t 为参数)；(2)ïx çt ÷， íî
8、;y çt ÷(a，b 为大于零的常数，t 为参数).【精彩点拨】【自主解答】(1)可用代入法；(2)可用代数运算法 .1x(1)由已知 t ，代入 y4t 中，得 4x3y40，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线. aæ 1ö(2)x çt ÷，è øt0 时，xa，)，t0 时，x(， a.aæ 1ö由 x çt ÷，2è ø两边平方可得 xa æ 1ö çt 2 ÷， 4 è øb&#
9、230; 1ö由 y çt ÷两边平方可得 è ø第 4 页222t22 2a b2 22ìî222î224ïî2xa2b2b æ 1ö y çt 2 ÷，4 è øx y 并化简，得 1 ，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中 心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线.将不含三角函数的参数方程化成普通方程时，若两个方程中其中一个可以解 出参数 t，则用代入法消参，否则用代数运算法消参.再练一题2.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表
10、示什么曲线.(1)ìx4t íîyt1，(t0，t 为参数)；(2)ïxíïya(1t 1t2bt1t)，(t 是参数且 ab0).【解】(1)ìïx4t2， íïyt1，由解得 ty1，代入中，得 x4(y1) (y1)，1即(y1) x(y1).方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于 x 轴，开口向左的抛物线的一 部分.(2)由已知可得ìíï1t ，1ty 2t ，1t第 5 页2 22 2a b2 222 222222222x y 得 1(a b 0
11、，xa)，这就是所求的普通方程，方程表 示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(去掉左顶点).将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线.(1)(2)ìx14cos t， íîy24sin t ìx2sin ，íîy1cos 2(t 为参数，0t)；( 为参数).【精彩点拨】(1)利用 sin tcos t1 消参；(2)cos 212sin2 消参.【自主解答】(1)0t，1cos t1，0sin t1.3x5，2y2，(x1) (y2) 16cos t16sin t16.(x1) (y2) 16(3x5，2y2)，它表示的曲线是以
12、(1，2)为圆心，半径为 4 的上半圆. (2)由 y1cos 2，可得 y2sin ，把 sin2x2 代入 y2sin2，可得 y2(x2)，即 2xy40.又2x2sin 3，所求的方程是 2xy40(2x3)，它表示的是一条线段 .对于含有三角函数的参数方程化成普通方程问题，常联想三角恒等式，利用 三角变换消去参数，而得到其普通方程，但应注意 x，y 的取值范围.再练一题第 6 页22îî2î22î2222222ìx12t，3.已知某条曲线 C 的参数方程为 íîyatM(5,4)在该曲线上.(1) 求常数 a；(2
13、) 求曲线 C 的普通方程.(其中 t 是参数，aR )，点【解】ìï12t5， ìït2，(1)由题意，可知 í 故íïat 4， ïa1，所以 a1.ìïx12t，(2)由已知及(1)可得，曲线 C 的方程为íïyt ，由第一个方程，得 tx12æx1ö，代入第二个方程，得 yç ÷，即(x1) 4y 为所求.è 2 øìx2cos 1， 1.曲线íîy2sin 2 A.y0C.xy
14、0构建· 体系( 为参数)的一条对称轴的方程为( )B.xy0D.2xy0【解析】ìïx2cos 1， 曲线 íïy2sin 2( 为参数 )的普通方程为 (x1)(y2)4，圆心 C 的坐标为(1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选 D.【答案】D2.与普通方程 x y10 等价的参数方程为( )ìxsin t， A.íîycos t(t 为参数)B.ìxcos t， íîysin t(t 为参数)C.ìx 1t， íîyt(t 为参数)ì
15、xtan t， D.íîy1tan t(t 为参数)【解析】A 化为普通方程为xy10，x1,1，y0,1.第 7 页22222îî2 2 2222î2 2B 化为普通方程为 x y10，x1,1，y0,1.C 化为普通方程为 xy10，x0，)，y(，1.D 化为普通方程为 x y10，xR ，y(，1.【答案】Dìx1cos 2，3.若曲线íîysin ( 为参数)，则点(x，y)的轨迹是_.【导学号：12990028】【解析】x1cos 21(12sin )22y，x2y20.又x1cos 20,2，ysin
16、20,1.点(x，y)的轨迹是以 (2,0)和(0,1)为端点的线段 .【答案】以(2,0)和(0,1)为端点的线段ìxcos ，4.参数方程íîy1sin ( 为参数)化成普通方程为_.【解析】ìïxcos， íïy1sin ( 为参数)，ìïxcos， íïy1sin ，12( 为参数). 得 x (y1) 1，此即为所求普通方程.【答案】x (y1) 15.指出下列参数方程表示什么曲线.(1)ìx3cos ， ìx2cos t， í (0)；(2)&
17、#237;îy3sin îy3sin t(t 2).【解】ìïx3cos ， (1)由 íïy3sin ，得 x y 9.又0.第 8 页222 2î2 24 92 24 92 24 93x3,0y3.所求方程为 xy9(0y3).这是一个半圆(圆 x y 9 在 x 轴上方的部分).ìïx2cos t， (2)由 íïy3sin t，x y得 1.t2，2x2，3y0.x y所求方程为 1(3y0).x y它表示半个椭圆(椭圆 1 在 x 轴下方的部分). 我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)第 9 页