《欧氏空间和酉空间.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《欧氏空间和酉空间.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第八章欧氏空间和酉空间§ 8.1 向量的内积1证明 :在一个欧氏空间里 ,对于任意向量,以下等式成立 :(1) |2|22| |22| |2；(2) ,1|21|2 .44在解析几何里 ,等式 (1)的几何意义是什么 ?2在区氏空间 R n 里 ,求向量(1,1,1) 与每一向量( i ),0) ,i 1,2, ,ni (0,0, 1 ,0,的夹角 .3在欧氏空间 R 4 里找出两个单位向量 ,使它们同时与向量(2,1,4,0)( 1,1,2,2)(3,2,5,4)中每一个正交 .4利用内积的性质证明 ,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形5设 ,是
2、一个欧氏空间里彼此正交的向量 .证明 :|2| |2|2 (勾股定理 )6设 1,2 ,n , 都是一个欧氏空间的向量 ,且是1,2, n 的线性组合 .证明 ,如果与i正交 , i1,2, , n ,那么0 .7设 1,2 ,n 是欧氏空间的 n 个向量 .行列式1 ,11 ,21 ,nG(1,2, ,n )2 ,12 ,22 ,nn ,1n ,2n ,n叫做 1,2 , n 的格拉姆 (Gram)行列式 .证明 G(1 ,2 , n ) =0,必要且只要1, 2,n 线性相关 .8设 , 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件 :2,和 2,都是0的整数 .,证明: ,的夹角只可能是,
3、 2, 3或 5 .23469.证明 :对于任意实数 a1 , a2 , an ,nn(a12a22a33an2| ai|).i1§ 8.2 正交基1已知13(0,2,1,0) ,(1,2,0, 1) ,2 (1, 1,0,0)4 (1,0,0,1)是 R 4 的一个基 .对这个基施行正交化方法,求出 R4 的一个规范正交基2在欧氏空间 C 1,1 里,对于线性无关的向量级1, x, x 2 , x3 施行正交化方法 ,求出一个规范正交组3令 1,2 ,n 是欧氏空间 V 的一组线性无关的向量 , 1 , 2 ,n 是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明 ,这两个向量组的格拉姆
4、行列式相等 ,即G( 1, 2, n ) G( 1 , 2 , , n )1,12,2n , n4令 1, 2, n 是 n 维欧氏空间 V的一个规范正交基,又令nKV |xi i ,0xi1, i1,2,ni1K 叫做一个 n -方体 .如果每一 xi 都等于 0 或 1,就叫做 K 的一个项点 .K 的顶点间一切可能的距离是多少 ?5设 1 ,2 , , m 是欧氏空间 V 的一个规范正交组 .证明 ,对于任意V ,以下等式成立 :m2|2 ., ii 16设 V 是一个 n 维欧氏空间 .证明(i) 如果 W 是 V 的一个子空间 ,那么 (W)W .(ii ) 如果 W1 ,W2 都是
5、 V 的子空间 ,且 W1W2 ,那么 W2W1(iii ) 如果 W1 ,W2 都是 V 的子空间 ,那么 (W1W2 )W1W27证明 , R 3 中向量 ( x, y, z )到平面000W( x, y, z)R3 | axby cz0的最短距离等于| ax0by0cz0|a2b2c28证明 ,实系数线性方程组naij x jbi ,i1,2, nj1有解的充分且必要条件是向量(b1 , b2 ,bn )Rn 与齐次线性方程组na ji xj0,i1,2, nj1的解空间正交 .9令是 n 维欧氏空间 V 的一个非零向量令PV|,0P 称为垂直于 的超平面 ,它是 V 的一个 n1 维子
6、空间 .V 中有两个向量, 说是位于 P 的同侧 ,如果,与,同时为正或同时为负 .证明 ,V 中一组位于超平面 P 同侧 ,且两两夹角都的非零向量一定线性无关2提示:设1 ,2 , ,r 是满足题设条件的一组向量 .则i ,j0(ij ) ,并且不r妨设i ,0(1i r ) .如果cii 0 ,那么适当编号 ,可设i1src1, c2 ,cs0,cs 1 ,cr0,(1sr ) ,令ci ic jj ,证明0 .由i 1j s1此推出 ci0(1 ir ) .10设 U 是一个正交矩阵 .证明 :(i) U 的行列式等于 1 或-1;(ii ) U 的特征根的模等于 1;(iii ) 如果
7、是 U 的一个特征根 ,那么 1也是 U 的一个特征根 ;(iv ) U 的伴随矩阵 U * 也是正交矩阵 .11.设 cos0 ,且2100U0cossin .0sincos证明 ,IU 可逆,并且000(I U)(I U) 1tan001210012.证明 :如果一个上三角形矩阵a11a12a13a1n0a22a23a2 nA00a33a3n000ann是正交矩阵 ,那么 A 一定是对角形矩阵 ,且主对角线上元素 aij 是 1 或-1.§ 8.3 正交变换1证明 : n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换 .2设是 n 维欧氏空间
8、 V 的一个正交变换 .证明 :如果 V 的一个子空间 W 在之下不变 ,那么 W 的正交补 W 也在下不变 .3设 V 是一个欧氏空间 ,V 是一个非零向量 .对于V ,规定2,.( ),证明, 是V的一个正交变换 ,且 2, 是单位变换 .线性变换 叫做由向量所决定的一个镜面反射 .当 V 是一个 n 维欧氏空间时 ,证明 ,存在 V 的一个标准正交基 ,使得关于这个基的矩阵有形状 :1000010000100001在三维欧氏空间里说明线性变换的几何意义 .4设是欧氏空间 V 到自身的一个映射 ,对,是 V 的一个线性变换 ,因而是一个正交变换 .5设 U 是一个三阶正交矩阵 ,且 det
9、U1.证明 :有( ),( ),.证明(i) U 有一个特征根等于1;(ii )U 的特征多项式有形状f ( x)x3tx 2tx1这里1t3 .6设 1,2 ,n 和 1 ,2 ,n 是 n 维欧氏空间 V 的两个规范正交基.(i) 证明 :存在V 的一个正交变换,使(i )i , i1,2, n .(ii ) 如果V的一个正交变换使得(1 )1 ,那么(2 ), (n ) 所生成的子空间与由2 ,n 所生成的子空间重合.7令V 是一个n 维欧氏空间.证明:(i) 对V 中任意两不同单位向量,存在一个镜面反射,使得().(ii )V中每一正交变换都可以表成若干个镜面反射的乘积. 提示 :为了
10、证明 (ii ) ,利用 (i) 和习题 6.8证明 :每一个 n 阶非奇异实矩阵A 都可以唯一地表示成AUT的形式 ,这里 U 是一个正交矩阵 ,T 是一个上三角形实矩阵 ,且主对角线上元素都是正数 .提示:非奇异矩阵 A 的列向量 1 , 2 , n 作成 n 维列空间 R n 的一个基 .对这个基施行正交化 ,得出Rn 的一个规范正交基1,2,以这个规范正交基为列的n ,矩阵 U 是一个正交矩阵 ,写出 1 , 2 , n 由 1 ,2 , ,n 的表示式 ,就可以得出矩阵 T.证明唯一性时 ,注意 8.2 习题 12.§ 8.4 对称变换和对称矩阵1设是 n 维欧氏空间 V
11、的一个线性变换 .证明 ,如果满足下列三个条件的任意两 个 , 那么 它必 然 满足 第三 个 : (i )是正 交变 换 ; (ii )是对称变换 ; (iii )2是单位变换 .2设是 n 维欧氏空间 V 的一个对称变换 ,且2.证明 ,存在 V 的一个规范正交基 ,使得关于这个基的矩阵有形状1010003证明 :两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换 ?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.4 n 维欧氏空间V 的一个线性变换说是斜对称的 ,如果对于任意向量,V ,(),().证明 :(i) 斜对称变换关于 V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵 (满足条件 AA 的矩阵叫做斜对称矩阵 )(ii ) 反之 ,如果线性变换关于 V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么一定是斜对称线性变换 .(iii ) 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数 .5令 A 是一个斜对称实矩阵 .证明 , IA 可逆 ,并且 U(IA)( IA) 1 是一个正交矩阵 .6对于下列对称矩阵A, 各求出一个正交矩阵U,使得 U ' AU 是对角形式 :11281784(i ) A2210 ;(ii ) A817481054411