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1、ò) dy D.(2 -y -y高二数学选修 2-2 综合测试题一、选择题：1、 i 是虚数单位。已知复数 Z =1 +3i3 -i+(1+i ) 4 ，则复数 Z 对应点落在（ ）A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1，3，6，10，15，21，28 ，这些数叫做三角形数，因为这 些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第 n 个三角形数为（ ）A nBn( n +1) 2C n2-1Dn( n -1) 23、求由曲线 y =- x ，直线 y =-x +2 及 y 轴所围成的图形的面积错误的为（ ）A.ò4(2
2、 -x + x ) dxB.ò4xdxC.ò2 02(4 -y2) dy00-2-24、设复数 z 的共轭复数是 z ,且 z =1,又 A(-1,0) 与 B(0,1) 为定点,则函数 f ( z ) = ( z +1) ( z -i ) 取最大值时在复平面上以 z ,A,B 三点为顶点的图形是A, 等边三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三角形5、函数 f(x)的定义域为 R，f(-1)=2,对任意 x ÎR ， f'( x) >2 ,则 f ( x ) >2 x +4的解集为(A)(-1，1) (B)(-1，+) (c)(-，-
3、l) (D)(-,+)6、用数学归纳法证明 34 n +1+52 n +1( n ÎN ) 能被 8 整除时，当 n =k +1 时，对于 34( k +1)+1+52( k +1)+1可变形为 56·34 k +1+25(34 k +1 +52 k +1) 34·34k+1 +52·52k 34 k +1 +52 k +1 25(34 k +1 +52 k +1)7、设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时，f (x)g(x)f(x)g(x)>0，且g (-3) =0，则不等式 f(x)g(x)<0
4、 的解集是（ ）A. (3，0)(3，+) B. (3，0)(0，3) C.(，3)(3，+) D. (，3)(0，3)1îþ )é 1 ùê úé4 8 ùê úê úD - , -1 UUç÷úê úê8、已知函数 f ( x ) =x2+bx的图象在点A(1, f (1)处的切线的斜率为 3，数列ì 1 üí ýf ( n)的前n项和为Sn,则S2011的值为（ ）A.2
5、008 2009 2010 2011B. C. D.2009 2010 2011 20129、设函数 f(x)kx33(k1)x2-k2 1 在区间（0，4）上是减函数，则 k 的取值范围是 ( )1 1 1 1A. k < B. 0 <k £ C. 0 £k £ D. k £3 3 3 3310、函数 y = f ( x) 在定义域 ( - ,3) 内可导，其图象如图所示，记 y = f ( x ) 的导函数为 y = f ¢(x) ，2则不等式 f ¢(x) £0 的解集为 （ ）A - ,1 U 2,3&#
6、235; 3 ûB -1,2U ,ë3 3 ûé 3 1 ùC - ,ë 2 2 ûU 1,2æ 3 ù é1 4 ù é8 ö, ,3è 2 û ë2 3 û ë3 ø11、 已知函数 f ( x ) =13x3+ax2-bx +1( a、b ÎR ) 在区间 -1,3 上是减函数，则 a +b 的最小值是A.23B.32C.2 D. 312、函数 f ( x) =x 3 -3 x 2 -9 x
7、 +3, 若函数 g ( x) = f ( x) -m在x Î -2,5 上有 3 个零点，则 m 的取值 范围为（ ）A（-24,8 ）二、填空题：B（-24,1 C1,8 D 1,8）13 、 直线 l 过点 ( -1,3) ，且与曲线 y =为 ；1x -2在点 (1,-1) 处的切线相互垂直，则直线 l 的方程14、如图，在平面直角坐标系 xoy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0, a ), B (b,0), C ( c ,0)，点 P (0, p )在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 a , b, c, p2均为非零实数，设直线 BP , CP分别与边 AC
8、, ABç ÷b c p a1 12交于点 E , F，某同学已正确求得直线OE的方程为æ1 1 ö æ1 1 öç - ÷x+ç - ÷y =0 è ø è ø，请你完成直线OF的方程： ( )。15 、设 f ( x) =( x -a )( x -b )( x -c ) ( a , b, c 是两两不等的常数 ), 则 _.fa b c+ + 的值是 / ( a) f / (b) f / (c )16、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律
9、，第n行（n ³3）从左向右的第 3 个数为yA1FP E2 34 5 6x7 8 9 10BOC11 12 13 14 1514 题 16 题三、解答题：17复平面内点 A 对应的复数是 1,过点 A 作虚轴的平行线 l,设 l 上的点对应的复数为 z,求 迹.1z所对应的点的轨18、已知函数f ( x ) =1 -m +ln xx， m ÎR （）求f ( x )的极值；（）若ln x -ax <0在( 0 , +¥)上恒成立，求a的取值范围19设 f ( x ) =- x 3+ x 2 +2ax3 2（1）若 f ( x) 在 ( , +¥）
10、上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；3（2）当 a=1 时，求 f ( x) 在 1,4上的最值.320.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/千克）满足关系式ay = +10( x -6) x -32，其中 3<x<6，a 为常数，已知销售价格为 5元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.（1） 求 a 的值（2） 若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.21设 a 0 ， f ( x) =x -1 -ln 2 x +2a ln x( x >0)（1）令F
11、( x) =xf ¢(x)，求F ( x ) 在 (0，+)内的极值；（2）求证：当 x >1 时，恒有 x >ln 2 x -2 a ln x +1322.设函数 f ( x ) =x 3 + .x（1）求 f(x)的单调区间；1（2）当 x Î-2, - 时, 对任意实数k Î -1,1, f ( x ) <l22值范围.+( k -4)l-2k 恒成立，求实数 的取4ç ÷ ç ÷c q p a2222在上恒成立，等价于只需数 学 试 题 答 案一、选择题CBCCB ADDDA CD 二、填空题13x
12、 -y +4 =0æ1 1 ö æ1 1 ö 14. - x + - y =0è ø è ø15. 016.n2-n +62三、解答题17、分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点 A 的坐标为(1,0),l 过点 A 且平行于虚轴,1所以直线 l 上的点对应的复数 z 的实部为 1,可设为 z=1+bi(bR),然后再求 所对应的点的集合.z解:如下图.因为点 A 对应的复数为 1,直线 l 过点 A 且平行于虚轴,所以可设直线 l 上的点对应的复数 为 z=1+bi(bR).因此ylxOA(1,0)
13、1 1 1 -b i 1 b 1 1 b = = = - i .设 =x+yi(x、yR),于是 x+yi= -z 1 +bi 1 +b 1 +b 1 +b z 1 +b 1 +b2i.18.解（）由导数运算法则知，f ¢(x ) =m -ln xx 2令f¢( x ) =0，得x =em 当x Î( 0 , em ) 时，f¢( x ) >0 ， f ( x )单调递增；当x Î( e m , +¥)时， f ¢(x ) <0 ， f ( x )单调递减故当x =em 时，f ( x )有极大值，且极大值为f
14、( em) =e-m （）欲使ln x -ax <0 在 ( 0 , +¥)上恒成立，只需ln x ln x <a ( 0 , +¥)x x在( 0 , +¥)上的最大值小于 a 5111 1+x+2,令 f '( x ) =-x设g ( x ) =ln xx（x >0），由（）知，g ( x )在x =e处取得最大值 e所以 a > ，即 a 的取值范围为 e1( , +¥) e19解：（1）由 f¢(x) =-x21 1+x +2 a =-(x - ) 2 + +2 a2 42 2 2当 x Î ,
15、 +¥)时, f ¢(x)的最大值为 f ¢( ) = +2 a;3 3 92 1令 +2 a >0, 得a >-9 9所以，当1 2a >- 时, f ( x)在( , +¥)上存在单调递增区间 9 3（2）当 a=1 时， f ( x) =- x 3 + x3 22+2xf '( x ) =-x2 2+x+2=0 得 x =-1,x =21 2因为 f ( x)在(1,2) 上单调递增，在 (2, 4) 上单调递减.所以在1，4上的 f ( x ) 在1，4上的最大值为 f (2) =103.因为 f (1) =136， f
16、 (4) =-163最小值为 f (4) =-163621.（1）解：根据求导法则有 f¢(x) =1 -2ln x 2 a+ ，x >0 ， x x故 F ( x) =xf ¢(x) =x -2ln x +2 a，x >0 ，于是 F ¢(x) =1 -列表如下：2 x -2= ，x >0 ， x xxF ¢(x)F ( x)(0，2)-20极小值 F (2)(2，+)+所以， F ( x ) 在 x =2 处取得极小值 F (2) =2 -2ln 2 +2 a （2）证明：由 a 0 知， F ( x) 的极小值 F (2) =2
17、-2ln 2 +2 a >0 于是由上表知，对一切 x Î(0，+) ，恒有 F ( x) =xf7¢(x) >0 3231g ( -1) >0îî从而当 x >0 时，恒有 f¢(x) >0 ，故 f ( x ) 在 (0，+) 内单调增加所以当 x >1 时， f ( x) > f (1) =0 ，即 x -1 -ln2x +2 a ln x >0 故当 x >1 时，恒有 x >ln2x -2 a ln x +1 22.解:（1）定义域：（，0）（0，+）f¢(x) =
18、3 x2- 令 f(x)>0,则 x<1 或 x>1， x ，f(x)的增区间为（，1）,（1，+）令 f(x)<0,则1<x<1, f(x)的减区间为（1，0）,（0，1）（2）令 f¢(x) =3 x2- =0，得 x=±1 x 2x2，1时，f(x)为增函数；x1， 时，f(x)为减函数.2x=1 时，f(x) =f(1)=4max由题意得 2+(k4) 2k>4 对任意 k1，1恒成立即 k1,1时(2)k+24+4>0 恒成立.令 g(k)=( 2)k+24+4,只需 ì 即可, íg (1) >0解得 <1 或 >3 即为所求ìï(-1)(l-2)+l2-4l+4>0 íï(l-2) ´1 +l2-4l+4 >08