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1、ì=2 a y 2a青浦区高三第一学期年级期末学习质量调研测试数学试题一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸 相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1已知复数z =2 +i（ i为虚数单位），则z2=.2已知集合A =íîx12£2 x <16üý，þB =xy=log (9 -x 2 )，2A I B =则3在二项式2( x + )x6.的展开式中，常数项是 4 等轴双曲线x2-y2=a2与抛物线y2=16 x的准线
2、交于A、B两 点 ， 且AB =4 3， 则 该 双 曲 线 的 实 轴 长 等于 5如果由矩阵æa 2 öæxö æa+2 ö ç ÷ç÷ ç ÷ è øèø è ø表示 x 、 y 的二元一次方程组无解，则实数a =6 执 行如 图 所示 的 程序 框 图 ，若 输 入 n =1 的 ， 则输 出S =47若圆锥的侧面积为 20p ，且母线与底面所成角为 arccos ，5则该圆锥的体积为 8已知数列 a的通项公
3、式为 a =n 2 +bnn n，若数列an是单调递增数列，则实数 b 的取值范围是 9将边长为 10 的正三角形ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为A¢B¢C¢， A¢B¢C¢中最短边的边长为 .（精确到 0.01 ）10 已 知 点 A 是 圆 O : x2+y2=4上 的 一 个 定 点 ， 点 B 是 圆 O 上 的 一 个 动 点 ， 若 满 足uuur uuur uuur uuur uuur uuur AO +BO = AO -BO ，则 AO ×AB =.11 若定义域均为 D的三个函数f(x),g
4、(x),h(x)满足条件：对任意 x ÎD ，点 (x,g(x)与点(x,h(x)都 关 于 点(x,f (x)对 称 ， 则 称h (x)是g(x)关于 f (x)的 “ 对 称 函 数 ” 已 知g (x)=1-x2, f (x)=2x+b，h (x)是g(x)关于f (x)的“对称函数”，且h (x)³g(x)恒成立，则实数 b 的取值范围是 .Ì Ì¹ ¹212已知数列a满足：对任意的 nn ÎN*均有an +1=ka +3k -3 n，其中k为不等于0与1的常数，若a Î-678, -78, -3,22,
5、222,2222, i =2,3,4,5 i， 则 满 足 条 件 的a1所 有 可 能 值 的 和为 二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13. 已知f ( x) =sinp3x ， A =1,2,3, 4,5,6,7,8现从集合A中任取两个不同元素 s 、 t ，则使得f ( s ) ×f (t ) =0的可能情况为 （ ）.A12种 B 13种 C 14种 D 15种14.已知空间两条直线 m, n ，两个平面 a, b，给出下面四个命题：m / /
6、 n, m aÞ n a；a/ /b,m a, nbÞ m / / n； m / / n, m / /a Þ n / /a；a/ /b, m / / n, m aÞ n b其中正确的序号是（ ）.A B C D 15.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 4m 和 am (0 <a <12)，不考虑树的粗细现用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD设此矩形花圃的最大面积为 u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数是（ ）.u = f ( a )（单位 m ）的图像大致A B C D16. 已知
7、集合M =( x , y ) y = f ( x )，若对于任意实数对( x , y ) ÎM 1 1，存在( x , y ) ÎM 2 2，使x x +y y =0 1 2 1 2成立，则称集合 M是“垂直对点集” .给出下列四个集合：( )ç÷0,2M =( x, y ) y =1x 2； M =( x , y ) y =log x； M =( x , y ) y =22x-2；M =( x, y ) y =sin x +1.其中是“垂直对点集”的序号是（ ）.A B C D三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸
8、相应编号的规定区域 内写出必要的步骤.17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.如图所示，三棱柱ABC -A B C 的侧面 ABB A 1 1 1 1 1是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与 A 、B重合的一个点（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点 C 是弧 AB 的中点时，求异面直线 A C 与 AB1的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点 C 是弧 AB 的中点时，求四棱锥A -BCC B1 1 1与圆柱的体积比18（本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.已知函数f (x)=3sin 2 x
9、 +cos2æp ö 1 + 3-x - x ÎR è4 ø 2.（1） 求函数f (x)在区间é p ùê úë û上的最大值；（2）在DABC中，若 A <B，且 f (A)=f(B)=1 BC，求 的值. 2 AB19.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.11121n11如图，F , F1 2分别是椭圆C :x 2 y 2+ =1 ( a >b >0) a 2 b2的左、右焦点，且焦距为 2 2 ，动弦 AB平行于
10、 x 轴，且 F A +F B =41 1（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 P是椭圆 C 上异于点 A、B的任意一点，且直线 PA、PB分别与 y轴交于点 M 、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k ×k12是定值20.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分.2 x 1如 图 ， 已 知 曲 线 C : y = ( x >0) 及 曲 线 C : y = ( x >0) ， C 上 的 点 P 的 横 坐 标 为x +1 3x1a (0 <a < ) 从 C 上的点 P (
11、n ÎN2*)作直线平行于 x 轴，交曲线 C 于 Q 点，再从 C 上的点2 n 2Q ( n ÎN * ) n作直线平行于 y轴，交曲线C1于Pn +1点，点P ( n =1,2,3 L ) n的横坐标构成数列a n（1）求曲线 C 和曲线 C 的交点坐标；1 2（2）试求an +1与an之间的关系；（3）证明： a2 n -1<12<a2 n21.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分.已知函数f ( x) =x2-2 ax ( a >0).(1)当a =2时，解关于x的不等式 -3
12、< f ( x ) <5；(2)对于给定的正数a，有一个最大的正数 M ( a )，使得在整个区间 0，M ( a )上，不等式 | f ( x ) |£5恒成立. 求出 M ( a )的解析式；(3)函数 y = f ( x) 在 t，t +2的最大值为 0 ，最小值是 -4，求实数 a 和 t 的值.青浦区 2016 学年第一学期高三期终学习质量调研测试 参考答案及评分标准 2016.12.27一.填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分考生应在答题纸 相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零
13、分.13 -4i； 2-1,3)；3C 3 ×23 =160 6； 42a =4；5-2； 6S =log 193；716p； 8(-3,+¥)；9.3.62； 10.4；11éë5，+¥)； 12.-3-34 6023+2022 =3 3.二.选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的 相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15.B；16. A； 17 B；18.C.三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内
14、写出必要的步骤.17.(本题满分 14 分）本题共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解： （1）连接A B ，则 AB / / A B 1 1 1 1，直线A C1与A B1 1的所成角等于直线A C1与AB的所成角 ，设圆柱的底面半径为 r ，即A B =2r ， AC =B C = 6r 1 1 1 1，在A B C1 1中， cos ÐB AC = 1 1AC 2 +A B 2 -B C 2 6 1 1 1 1 =2 AC ×AB 6 1 1 1æp öç ÷+-ç ÷()直线 BO 与
15、 O E 所成角等于 1 1arc cos66；（2）设圆柱的底面半径为 r，母线长度为 h，当点 C 是弧 AB 的中点时， AC =BC =2r，且 A C 平面 C CBB ， 1 1 1 1VA -BCC B1 1 11 2 = ×( 2 r ) ×( 2r ) ×h= r3 32h,V圆柱=pr2h，V：V A -BCC B 圆柱1 1 1=2:3p18（本题满分 14 分）第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分.解：f (x)=3 ×1 +cos -2 x1 -cos 2 x è2 ø 1 + 3 2 2 21
16、 3 æ p ö = sin 2x - cos 2 x =sin 2 x -2 2 è 3 ø（1）由于 0 £x £p2，-p3p £2 x - £22p p p 5，所以当 2x - = 即 x = p时， f x 3 3 2 12取得最大值，最大值为 1（2）由已知， A 、 B 是 DABC 的内角， A <B ,且 f (A)=f(B)=1 p 7p ，可解得 A = ， B =2 4 12所以 C =p-A-B = BC sin A得= = 2AB sin Cp6,19.(本题满分 14 分）本题
17、共 2 小题，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分.解：因为焦距2 2，所以2c =2 2 Þ c =2，由椭圆的对称性及已知得F A = F B ，又因为 F A +F B =4 ，所以 F B +F B =4 1 2 1 1 1 2，111121 201120 01 21ïïïï,2 3P3 × nn6 a2n +1因此 2a =4, a =2 ， 于是 b =2，因此椭圆方程为x2 y 2+ =14 2；（2）设B ( x , y ), P ( x , y ) ，则 A( -x , y ) 0 0 1 1 0 0直线 PA
18、的方程为y -yy -y = 1 0 ( x -x )x +x1 0，令x =0x y +x y 得 y = 1 0 0 1x +x1 0，故x y +x y M (0, 1 0 0 1 )x +x1 0；直线 PB的方程为y -y =1y -y1 0 ( x -x ) x -x1 0，令x =0得x y -x y y = 1 0 0 1x -x1 0，故x y -x y N (0, 1 0 0 1 )x -x1 0；所以x y +x y x y -x y k =- 1 0 0 1 , k =- 1 0 0 12( x +x ) 2( x -x ) 1 0 1 0，因此1 x 2 y 2 -x
19、 2 y 2 k ×k = ×1 0 0 12 x 2 -x 2 ) 1 0；因为 A, B 在椭圆 C 上，所以 y 21=2 -x 2 x 2 1 , y 2 =2 - 0 , 2 2所以1x 2 (2 - x 2 ) -x 2k ×k = ×2 x2 -x 21 01(2 - x 22)=120.(本题满分 16 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分.ì 2 x ì 1 y = ( x >0) x =ï x +1 ï 2 解：（1） í
20、22; í1 2 y = ( x >0) y =ïî 3 x ïî 3，即曲线 C 和曲线 C 的交点坐标是 1 2æ1 2 öç ÷è ø；(2) 设P ( a , y ), Q ( x , y ) n n P n Q Qn n n，由已知2 ay = nn a +1n，又yQn=yPn，又x =Qn1 1 a +1 = = n =x3 y 2a 6aQ na +1nPn +1=aa +1， a = n n +1 n +1n；(3) 解法一：因为a >0n，由an +11
21、 -2( a - )a +1 1 n= n ， a - =6 a 2 6an n，n12 n -12 n2 n -1t =0 t =2M ( a) =í可得 a -n +1 Q 0 <a <11 1异号，与 a -2 21 1 1 1 1 ， a - <0 ， a - <0 ， a - >0 ，即 a < <a2 2 2 2 22 n.21.(本题满分 18 分）本题共 3 小题，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 8 分.解：(1) a =2 时， -3<f ( x ) <5 Ûx 2 -4 x
22、-5 <0L x 2 -4 x +3 >0L 由得，-1<x <5，由得，x <1或x >3，不等式的解集为 ( -1，1)U (3，5)；(2)f ( x ) =( x -a ) 2 -a 2 (t £x £t +2)，显然 f (0) = f (2 a ) =0若t =0，则a ³t +1，且 f ( x)min= f ( a) =-4，或 f ( x)min= f (2) =-4，当当f ( a ) =-a2 =-4时， a =±2， a =-2 f (2) =2 2 -2 a ´2 =-4时， a =
23、2 ，不合题意，舍去若t +2 =2a ，则 a £t +1，且 f ( x )min= f ( a) =-4，或 f ( x )min= f (2 a -2) =-4，当f ( a ) =-a2 =-4时，a =±2，若a =2，t =2，符合题意；若a =-2，则与题设矛盾，不合题意，舍去当 f (2 a -2) =(2 a -2) 2 -2a(2 a -2) =-4 a=2a=2综上所述， 和 符合题意.时，a =2，t =2(2) a >0 ，当 -a2 <-5，即 a > 5 时， M ( a ) =a - a 2 -5当-5£-a2 <0 ，即 0 <a £ 5 时， M ( a ) =a + a 2 +5 ìa- a 2 -5 a > 5îa+ a2 +5 0 <a £ 5