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1、九年级数学竞赛 第二十四讲 生活中的数学(五)光线和影子在我们日常生活中，离不开光线和影子俗话说：“万物生长靠太阳”， 指的是太阳光给我们带来能量和光明，因此，我们要研究光线但是伴随 光线便产生了影子，影子也同样对我们的生活产生着重要的影响例如， 人们在海滩上晒太阳，享受着日光浴的恩惠，但是又常常带上太阳镜，利 用太阳镜的影子保护眼睛又如建筑楼房住宅或公寓，都有阳台，但在阳 台的上方安装一块水泥板，它的用途不仅是挡雨，而且为了遮阳这就是 说，在我们的生活中，不仅要充分地利用阳光，而且又要限制阳光，以便 充分地利用影子为此，我们研究如下的一些有关阳光和影子的问题，同 学们可能会产生兴趣例 1 在
2、北半球某地有一间房子面向正南，假定房檐离地面高 3 米， 窗台高 80 厘米(窗高暂不考虑)如果冬天太阳最低时，正午是 31°，夏 天太阳最高时，正午是 78°，若你是一名建筑师，就要考虑房檐设计为 多宽，才能正好在夏天使阳光进不了房子，而在冬天让阳光最大可能的照 进屋里怎样设计？这个问题并不难，为了解决它，我们依照题意画一个图，设房檐宽为 x 厘米，冬天照进屋里的阳光最深为 y 厘米，那么利用解三角形的知识， 计算出 x，也就得到 y 了(见图 3-132)解 在直角ABC 中，AB=x，ABC=90°，BC=300-80=220(厘米)，BAC=78°
3、;，所以 ctgx=220ctg78°=220×0.21=46.2(厘米)为了求 y，我们由 A 点向地面 ED 引垂线，设垂足为 F，则在AEF 中， AF=300 厘米，AFE=90°，AEF=31°，EF=y+DF=y+46.2，所以所以 y+46.2=300ctg31°，y=300×1.66-46.2=451.8(厘米)所以，由上面计算结果，只要把房檐的宽设计为 46.2 厘米，就保证 夏天阳光照不进房子，而冬天阳光却可以照进屋里达 4.52 米的深度如果你对这个问题感兴趣，你家住的又是北房的话，那么你不妨在夏 至那天正午，看
4、看阳光照在你家房檐下的什么地方，并记录下太阳的高度， 在冬至那天正午，再看阳光照进屋里有多深，并记录下太阳的高度，这样 就可以从数学的角度研究你家房子的设计是否合理了例 2 有一个窗子是田字形的，阳光照射后，地面上便呈现出它的影 子，在图 3-133 中，有四种答案，你认为哪个答案是对的？同学们看到这个图，可能有些为难了，也许因为这种现象太平常了， 平时没有引起注意我们曾经问过一些少年朋友，不少的人回答说：“(a) 对”实际上这种回答是不对的那么哪个是对的呢？为什么是对的呢？ 为此，我们有必要研究一下太阳光线的几何性质我们用一张纸板，把它沿直线 EF 折一个角度(如图 3-134)假定这张 纸
5、的一个面为 ，是向阳的，太阳光线如图上箭头所示方向，又假设折纸 的另一部分正好是 的影子 我们在 上打两个小孔 A 和 B，那么对 应于小孔 A，B，太阳光在 上的投射点(影)设为 A和 B通过作图，可以发现直线 AB 和直线 AB交直线 EF 于同一点 R，并 且通过测量，可以得到如下比例式：因此，AABB这就告诉我们太阳光线是平行的这里有一个问题，即如果直线 AB 与直线 EF 不相交，那么必有 AB EF，这时，直线 AB 的影子 AB也必然平行于 EF不然的话，假如直线 AB与 EF 相交，那么 AB 也必须与 EF 相交了，这是因为若直线 AB 与 EF 不相交，我们把太阳光线反向观
6、察，就可以得出：直线在阳光照射下 可以变成一折线的怪事(如图 3-135)所以 ABEF，ABEF，那么， ABAB(见图 3-136)由实验可知 AB=AB，所以这时四边形 ABBA是平形四边形，所 以 AABB这样我们就确认了太阳光线是平行的几何性质由这条性质我们还可得到以下推论如果平面 上通过 A，B 两点的光线在平面 的对应点是 A，B， 那么直线 AB 上任何一点的影子一定在直线 AB上(如图 3-137)，不在 直线 AB 上的点的影子一定不在 AB上(如图 3-138)有了上面的知识，我们回到例 2，正确的答案就是(d)了为什么呢？ 请同学们自己思考例 3 随着城市建设的发展，高
7、层建筑拔地而起，那么就出现了一个 问题，高楼大厦之间怎样避免影子遮掩而不影响光线呢？为此，我们只需 研究一个简单问题，就是怎样画出一个建筑物的影子例如，有一间房子(如图 3-139)，屋顶 A 点在地面上的影子是 A试 画出这间房子的影子为了解决这个问题，我们需要进一步研究一下阳光的几何性质为此我们把图 3-134 中的平面 放平，使 ， 在同一平面上，为方便 起见，我们称放平后的平面 为 *，那么 AB 变成了 A*B*，而且 AB=A*B*(见 图 3-140)由于所以 A*AB*B为便于考虑，我们把 *记作 ，分以下三种情况加以分析：(1)设 ABEF 时，画 AB 的影子 AB画法：(
8、i)延长 AB 交 EF 于 R；(ii) 设 A是 A 在 上的影子；(iii) 连结 AR；(iv) 过 B 点作 BBAA交 AR 于 B(见图 3-141)，则 AB即 为所求的 AB 的影子(2)设 ABEF，画 AB 的影子 AB画法：(i)在 上适当取一点 A作为 A 的影子；(ii) 过 A点作 AB 的平行线；(iii) 过 B 点作 AA的平行线；(iv) 设上述所作两条平行线交于 B，则线段 AB就是所求的线段 AB 的影子(见图 3-142)(3)设 AB 的影子 AB在同一直线上时，画 AB 的影子 AB 画法：(i)设 AB 的延长线交 EF 于 R；(ii)设 A
9、 点的影子在 AB 的延长线上的某一适当点 A；-143)有了上面的知识，我们回到例 3，便可画出房子 ABCDEFG 的影子解 (l)在相对适当的位置取一点 A作为 A 的影子，延长线段 AB 交 直线 l 于点 K，并由 AABB取 B 点的影子 B；(3)设 AC 交 l 于 M，连 AM 交 BG于 C，则 C为 C 的影子，同 理得 F为 F 的影子；由于 D，E 在 l 上，所以它们的影子是自身这样我们就画出了所要 求的房子的影子(见图 3-144)由例 3，我们知道了怎样画一个简单建筑物的影子，那么两座建筑物 的影子互相遮盖的问题，就可以进一步通过画影子图来研究了实际上也 可以通
10、过计算来研究比较简单的问题例 4 设甲楼坐落正南正北方向，楼高 16 米(AB=16 米)，现在在甲楼 的后面盖一座乙楼，如果两楼相距 20 米(BD=20 米)，已知冬天太阳最低 时太阳光线与水平线夹角为 32°，试求：(1) 甲楼的影子落在乙楼上有多高？(2) 如果甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当是多少 米？解 (l)设冬天太阳最低时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处， 那么图 3-145 中，CD 的长就是甲楼在乙楼上的影子的高度设 CEAB 于 E 点，那么在AEC 中，AEC=90°，ACE=32°，EC=20 米，所以AE=EC&
11、#183;tg32°=20·tg32°=20×0.62=12.4(米)，所以CD=EB=AB-AE=16-12.4=3.6(米)(2)设 A 的影子落在地上某一点 C，则在ABC 中，ACB=32°，AB=16 米，所以BC=AB·ctg32°=16×1.60=25.6(米)所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要 25.6 米练习二十四1 如果一棵树的影子长是 12 米，一根直立于地面 3 米高的竹竿的影 子长 4.5 米，试问树高是多少米？2 有一个人从点 A 望树顶，仰角是 30°，然后对准树的方向前进 12 米，到达 B 点，从 B 点望树顶仰角是 60°，试问树高几米(设此人眼的高 度是 14 米)？3 如图 3-146，有一根电线杆 AB 直立于地面，它的影子正好射在地 面的 BC 段和-45°角的土坡 CD 上如果BAD=72°，BC=8 米，CD=2 米， 那么电线杆 AB 高多少米？4设小房子侧面顶部 A 点射在地上的影子是 A(如图 3-147)，请画 出小房子侧面在地面上的影子