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1、1 2 31 2 32【趣味链接】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅 “弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S ,S ，S 若 S ，S ，S 10，则 S 的值是多少呢？【知识梳理】1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦ca勾Ab股C勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c
2、 有下面关系：a2b2c2，那么这 个三角形是直角三角形。2、勾股数：满足 a2b2c2 的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c、为勾股数， 那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133、判断直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a直角三角形。2+b2=c2，那么这个三角形是1 / 8（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为 90°的三角形是直角三角形。（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设
3、为 c）；（2）若 c2a2b2，则ABC 是以C 为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）4、注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2） 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半。（3） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边 所对的角等于 30°。5、勾股定理的作用：（1） 已知直角三角形的两边求第三边。（2） 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3） 用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理
4、，作出长为n的线段【经典例题】【例 1】（2016 山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角2 / 82 2 2形，两直角边分别为 6m 和 8m.按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连接管道，则 O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（ ）A.2m B.3m C.6m D.9m【例 2】（2016 贵州贵阳）如图 ABC 中，C=90°，AC=3，B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 长不可能是（ ）A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7【例 3】（2016 河北）如图， ABC 中，C=90
5、76;，BC=6,D,E 分别在 AB,AC 上，将ABC 沿 DE 折叠，使点A 落在点 A处，若 A为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ ）A0.5 B2 C3 D4【例 4】（2016 重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角A30°,B90°,BC6 米. 当正方形 DEFH 运动到什么位置,即当 AE米时,有 DC AE BC .【例 5】（2016 广东肇庆）在直角三角形 ABC 中，C 90°，BC 12，AC 9，则 AB 【例6】（2016贵州安顺）如图，在 ABC中，C=90°
6、;，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折 叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 【例7】（2016四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为6m、8m.现要将其扩 建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长3 / 8o【例 8】（2016 四川乐山）如图，在直 ABC 中，C=90 ，CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D，若 DE 垂直平 分 AB，求B 的度数。【例 9】（2016 山东枣庄）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要 求完成下列各题：（
7、1）画线段 ADBC 且使 AD =BC，连接 CD；（2）线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ；（3）ACD 为三角形，四边形 ABCD 的面积为 ；【例 10】如图，AB 为一棵大树，在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果，一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处，利用拉在 A 处的滑绳 AC，滑到 C 处，另一只猴子从 D 处滑到地面 B， 再由 B 跑到 C，已知两猴子所经路程都是 15m，求树高 AB.【课堂练习】1、（2016 湖北黄石）将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿4 / 8上，另一个
8、顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图，则三角板的最大边的长A. 3cm B. 6cm C. 3 2 cm D. 6 2 cm2、（2016 江苏无锡）如图，在 RtABC 中，ACB = 90°，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，若 CD = 5cm，则 EF = _cm3、（2016 山东枣庄）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB =14cm，则阴影部分的面积是_cm2.4、王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为 a 米，由于受 地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2
9、 倍多 2 米.（1） 请用 a 表示第三条边长；（2） 问第一条边长可以为 7 米吗？为什么? 请说明理由，并求出 a 的取值范围；（3） 能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.5、一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4， AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？【课后作业】1、下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）5 / 81 2 3 1 25 3A.9，12，15 B. ,1,4 4C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，92、满足
10、下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A. 三个内角比为 121 B.三边之比为 125C.三边之比为325D. 三个内角比为 1233、如图，以 ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 S 、S 、S ，且 S =4，S =8，则 AB 的长为_.4、如图，E、F 分别是正方形 ABCD 中 BC 和 CD 边上的点，且 AB=4，A DFCE=BECBC，F 为 CD 的中点，连接 AF、AE， AEF 是什么三角形？请说明理由.(5 题图)（6 题图）5、如图，如上图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部 4 米处，那么这棵树折断之前的高度
11、是米.6、一个零件的形状如图所示，已知 AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求 CD 的长.7、如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 18 元，请你帮助 计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?6 / 88、如图，一架长 2.5 m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端 0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，则梯子的底端将滑出多少米？【经典例题】1、C 2、D 3、B 4、1435、15 6、6cm27、由题意可得，花圃的周长=8+8+8 2=16+8 28、 解：AD 平分CAD CAD=BADDE 垂直平
12、分 ABAD=BD,B=BADCAD=BAD=B 在 RtABC 中，C=90ºCAD+DAE+B=90ºB=3 0º9、 解：（1）如图；（2）2 5，5，5； （3）直角，10； （4）1210、设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，(x+10)2+52=(15-x)2 【课堂练习】，解得 x=2，10+x=121、D 2、5 3、4924、(1)第一条边为 a,第二条边为 2a+2,第三条边为 30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是 7，第一条边为 7，第二条边为 16，第三条边为 7，不满足三边之
13、间的关系，不可以构成三角形。132a5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形5、解：在ABD 中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD 为直角三角形，A =90°.在BDC 中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC 是直角三角形，CDB =90°.因此这个零件符合要求. 【课后作业】2 31、C 2、C 3、4、解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5， AF2=20，AE2= EF2+AF2， AEF 是直角三角形7 / 85、8 6、解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得BC 2 =AC 2 +AB 2 =3 2 +4 2 =25在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.7、根据勾股定理求得水平长为132-52=12m，地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 17×2=34（ m 2 ) ，铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）8、0.88 / 8