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1、第一章综合能力检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的)1ABC 中，sinAsinB 是AB 的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 C解析 ABC 中，sinAsinBAB.2如果命题“綈(p 或 q)”为假命题，则( )A p、q 均为真命题B p、q 均为假命题C p、q 中至少有一个为真命题D p、q 中至多有一个为真命题答案 C解析 綈(p 或 q)假，p 或 q 真，p 与 q 至少一真3与命题“若 aM，则 bM”等
2、价的命题是( )A 若 aM，则 bMB 若 bM，则 aMC 若 aM，则 bMD 若 bM，则 aM答案 D解析 即原命题的逆否命题，结论的否定 bM 作条件，条件的否定 aM 作结论，故 选 D.1 34如果不等式|xa|<1 成立的充分非必要条件是 <x< ，则实数 a 的取值范围是( )2 21 3A. <a<2 21 3æ öèø2 2123*1 3B. a2 23 1Ca> 或 a<2 23 1Da 或 a2 2答案 B解析 |xa|1a1xa1由题意知 ，选 B.ìa1(a1，a1)则有
3、íîa1 21 3，且等号不同时成立解得 a ，故2 25设集合 U(x，y)|xR，yR，A(x，y)|2xym>0，B(x，y)|xyn0， 那么点 P(2,3)A( B)的充要条件是( )UA m>1，n<5B m<1，n<5C m>1，n>5D m<1，n>5答案 A解析 PA B，UPA 且 PB，ìï2×23m>0í ，ïî23n>0ìm>1í ，故选 A.în<56设 A、B、C、D 是空间四个
4、不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A 若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B 若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C 若 ABAC，DBDC，则 ADBCD 若 ABAC，DBDC，则 ADBC答案 C7已知数列a ，“对任意的 nN ，点 P (n，a )都在直线 y3x2 上”是“a 为n n n n等差数列”的( )22222222A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A解析 点 P (n，a )在直线 y3x2 上，即有 a 3n2，则能推出a 是等差数列；n n n n但反过来，a 是等差数列，
5、a 3n2 未必成立，所以是充分不必要条件，故选 A.n n8(2010· 福建文，8)若向量 a(x,3)(xR)，则“x4”是“|a|5”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件答案 A解析 本题主要考查充分必要条件问题当 x4 时，|a |423 5当|a|x95 时，解得 x±4.所以“x4”是“|a |5”的充分而不必要条件9在命题“若抛物线 yax bxc 的开口向下，则集合x|ax bxc<0”的逆命 题，否命题，逆否命题的真假结论是( )A 都真B 都假C 否命题真D 逆否命题真答案 D解析 若抛物线 yax
6、 bxc 的开口向下，又 xR，则必存在 x，使 ax bxc<0.故原命题真，其逆否命题也为真，其逆命题为“若x|ax bxc<0，则抛物线 y ax bxc 的开口向下”当 a0 时，显然为假命题，则其否命题也为假，故选 D.10(09· 宁夏海南理)有四个关于三角函数的命题：2222æöèø23æöèø23æöèø23æöè ø23x x 1p ：xR，sin cos 1 2 2 2p ：x、yR，sin(x
7、y)sinxsiny 2p ：x0， 31cos2xsinx2p ：sinxcosyxy4 2其中假命题的是( )Ap ，p1 4Bp ，p2 4Cp ，p1 3Dp ，p3 4答案 A解析 p 是假命题，xR，sin1sin(xy)sinxsiny0.p 是真命题，3x0，sinx>0，x x cos 1；p 是真命题，例如：当 xy 时， 2 2 2 21cos2x|sinx |sinx. 2 7p 是假命题，例如：sin cos 4 6 3 xy .22 11“ ”是“tan2cos ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件答案 A2 解析
8、 解法一： 为方程 tan2cos 的解， 2 是 tan2cos 成立的充分条件；8 又 也是方程 tan2cos 的解，æöè ø23æöè ø22æöèø22ìüïï33x2 不是 tan2cos 的必要条件，故选 A.解法二：tan2cos ，1sin0 或 cos ，方程 tan2cos 的解集为Aí k或2k± ，kZ ý î þ，ì2ü显然í
9、ý A，故选 A.î þ12设 a、b、c 表示三条直线，、 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) A已知 c，若 c，则 B 已知 b，c 是 a 在 内的射影，若 bc，则 baC 已知 b，若 b，则 D 已知 b，c，若 c，则 bc答案 C解析 A 的逆命题是：c，若 ，则 c，真命题；B 的逆命题是 b，c 是 a 在 内的射影，若 ba，则 bc.二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13设有两个命题：p：|x|x1|m 的解集为 R；q：函数 f(x)(73m) 是减函数，若这两个命
10、题中有且只有一个真命题，实数 m 的取值范围是_答案 1<m<2解析 若 p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知 m1.若 q 为真命题，则 73m>1，所以 m<2，若 p 真 q 假，则 m.若 p 假 q 真，则 1<m<2.综上所述，1<m<2.14把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数 f(x)3log x 的图象2与 g(x)的图象关于_对称，则函数 g(x)_.(注：填上你认为可以成为真命题 的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)答案 可以填以下几种情形之一：x 轴，3log x2y 轴，3log (x)2原点，3
11、log (x)2直线 yx,2x315已知 p：ab5，q：a2 或 b3，则 p 是 q 的_条件答案 充分不必要解析 命题：“如果 ab5，则 a2 或 b3”的逆否命题为“如果 a2 且 b3， 则 ab5”，显然是真命题pq 即有：p 是 q 的充分条件同理：p 不是 q 的必要条件p 是 q 的充分条件，但不是必要条件16(2010· 四川文，16)设 S 为实数集 R 的非空子集，若对任意 x，yS，都有 xy，x y，xyS，则称 S 为封闭集下列命题：1 集合 Sab 3.a，b 为整数为封闭集；2 若 S 为封闭集，则一定有 0S；3 封闭集一定是无限集；4 若 S
12、 为封闭集，则满足 STC 的任意集合 T 也是封闭集其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)答案 解析 本题考查根据所给信息解决实际问题的能力，要注意从基本概念，基本公式着 手，理解题目中给出的信息是什么对于都正确，对于，封闭集不一定是无限集，例如当S0时，S 是有限集，对 于不正确，例如当 S0，M 是自然数集 N 时，M 不是封闭集三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)将下列命题改写为“若 p，则 q”的形式并判断真假(1) 偶数能被 2 整除；(2) 奇函数的图象关于原点对称；(3) 在同圆或等圆中，同弧或
13、等弧所对的圆周角不相等解析 (1)若一个数是偶数，则它能被 2 整除真命题(2) 若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称真命题(3) 在同圆或等圆中，若两个角是同弧或等弧所对的圆周角，则它们不相等假命题18(本题满分 12 分)“菱形的对角线互相垂直”，将此命题写成“若 p 则 q”的形式，2222222ìî写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并指出其真假解析 “若 p 则 q”形式：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直”逆命题：“若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形”，假否命题：“若一个四边形不是菱形，则它的对角线不垂直”，假逆否命题：“若一个四边形的对角线不
14、垂直，则它不是菱形”，真x19(本小题满分 12 分)已知命题 p：lg(x 2x2)0；命题 q：|1 |<1.若 p 是真命题，2q 是假命题，求实数 x 的取值范围解析 由 lg(x 2x2)0 得 x 2x21，即 x 2x30，即(x3)(x1)0，x3 或 x1.x x由|1 |<1，1<1 <12 20<x<4.命题 q 为假，x0 或 x4，则x|x3 或 x1x|x0 或 x4x|x1 或 x4，满足条件的实数 x 的取值范围为(，14，)20(本小题满分 12 分)已知 p：x 8x20>0，q：x 2x1a >0，若 p 是
15、 q 的充分 不必要条件，求实数 a 的取值范围解析 p：Ax|x<2 或 x>10，q：bx|x<1a 或 x>1a，a>0如图依题意，pq，但 q / p，说明 A B，则有a>0í1a21a10且等号不同时成立，解得 0<a3222 2222 2 2 222222222实数 a 的取值范围是 0<a321(本小题满分 12 分)求使函数 f(x)(a 4a5)x 4(a1)x3 的图象全在 x 轴上方 成立的充要条件解析 要使函数 f(x)的图象全在 x 轴上方的充要条件是：ìïa24a5>0 ì
16、;ïa24a50í 或íïî16(a1) 4(a 4a5)×3<0， ïîa10解得 1<a<19 或 a1，故 1a<19.所以使函数 f(x)的图象全在 x 轴的上方的充要条件是 1a<19.22(本小题满分 14 分)证明二次函数 f(x)ax bxc(a0)的两个零点在点(m,0)的两 侧的充要条件是 af(m)<0.b b解析 充分性：设 b 4ac0 则 af(x)a x abxaca (x ) aca (x2a 4b 1 ) (b 2a 44ac)0，所以 af(m
17、)0，这与 af(m)<0 矛盾，即 b 4ac>0.故二次函数 f(x)axa(xx )(xx )， 1 2bxc(a0)有两个不等的零点，设为 x ，x ，且 x <x ，从而 f(x)1 2 1 2af(m)a (mx )(mx )<0，所以 x <m<x .1 2 1 2必要性：设 x ，x 是方程的两个零点，且 x<x ，由题意知 x <m<x ，1 2 2 1 2因为 f(x)a(xx )(xx )，且 x <m<x .1 2 1 2af(m)a (mx )(mx )<0，即 af(m)<0.1 2综上所述，二次函数 f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是 af(m)<0.