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1、*、几fl如第i次试验成功右议Xi=：0如第i次试验失败二项分布的期望的方差的证明山西大学附属中学韩永权 hyq616离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n次 独立重复试验中这个事件发生的次数E是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在n次独立重复试验中这个事 件恰好发生 k 次的概率是 Pn (& =k) =C：pkqnJ" , ( k=0,1,2|Hn q=1p) 丁是得到随机变量E的概率分布如下：匕0123.n 1nPc 0 n Cnq八1n A.Cn pq八2 2 n _2Cn p qc33 n J3Cnp
2、q.c n nCnp qc n n Cn p称这样的随机变量E服从二项分布，记作EB(n , p)，其中n,p 为参数，并记 C：pkqJ = b(k ; n, p).1求证：服从二项分布的随机变量，的期望E& = np .证明如下：预备公式:, kk4kCn =nCnn 4/0 0n10 n J220 n J2kk(n)-(n-k)nn0、(p q)=(5pqcpq Gpq . “p q. cp q )k kn -kkkn-k因方 p( =k)=Cnp(1-p)Cn p qFt ' j l N c 00 n i 11 n i i 力 22 n i i k k n n 0 nE
3、，=0 cnp q 1cnp q 2 cn p q . k cn p q . ncn p q00 n 410 n -220 n -2k4k4(n4)-(n-k)nJn=0、= np(CnpqCn 4 p q 直 p q . q4p q， . Cnp q )= np(p q)n4 =np所以E ' = np方法二：证明：若X B(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数,现在我们来求X的数学期望。贝 X =Xi 十X2+. + Xn ,因为 P(Xi=1) = P , P(Xi =0) = 1 P = q所以 E(Xi) = 0率 q +1* p = p，贝U E(X) = E&
4、#163; Xi = £ E(Xi) = np iWi 4可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np 需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。2求证：服从二项分布的随机变量匕的方差公式D = npq (q = 1 - p)预备公式：k2Cn =nCni n(n -1)C：Mk2C：=knC；E=n(k-1) 1常= nC：； n(k-1)C：； =nC：； n(n-1)C：M . k2C： = nC：； Mn-DC：方法一：证明：D，= EE2 -(EE)2 n 2- 2 厂 i i n -i-E = ' i Q p q i =0 nn1 n 1 -ii
5、ni -2 i n -i= Cnpq nCnpq ' n(n -1)Cpqi =2i =2nnn 1- i 4 i 4 n X 0 n 42 i -2 i -2 n 4= npq np' Cn4p q -npCnM n(n-1)p ' Qp q i 1i =2= npqnJ1 np(p q)nJ -npqnJ n(n _1)p2(p q)nn4n -122 222 22 2=npq np - npq n(n T)p = np n p - np = np(1 - p) n p = npq n p由公式 D(X) = E(X2) -E(X)2 知，D- = E" -(E% )22 22=npq n p - (np) = np(1 - p)i =1,2,Hinn则匚=£匕是n次试验中“成功”的次数，E(F=0xq+1x p= p , i 4故 D( i) =E( i2) -E( i)2 =p p2 =p(1 p) , i =1,2,|l,nn由于J,.,，n相互独立，于是D(E)=Z D(3=np(1-p)1