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1、余弦定理公式的含义及其证明少三 (2) 宋伊辰在做参考书的时候， 我有时会遇到 “已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数， 要求第 三边长度” 的情况。 与直角三角形不同， 这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大 力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢我向爸爸提出了我的疑问。“可以用余弦定理求啊。 ”他回答道。 “余弦定理是什么”怀着满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。余弦定理， 是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理， 是揭示三角形边角 关系的重要定理， 直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边 求角的问题。如左图所示，在 ABC 中，余弦定理可表
2、示为：同理，也可描述为：那么，我们又如何证明余弦定理的成立呢我又对此展开了探究。 法一(代数证明) ：如右图所示， ABC，在 c 上做高，将等式两边同乘以 c 得到：同理，+得：化简得： b2 a2 c2 2ac(cos)a b2 c2 2bc cosA法二（运用相交弦定理证明） 如图，在三角形 ABC中， A=， AB=a，BC=b，AC=c以 B 为圆心，以长边 AB 为半径做圆C 点在圆内）。(这里要用长边的道理在于，这样能保证 延长 BC，交 B于点 D 和 E DC=a-b， CE=a+b， AC=c AG=2acosCG=2acos -c。 DC×CE=AC×
3、CG (a-b)(a+b)=c(2acos-c)法三(平面几何)：在 ABC中，已知 AC=b，BC=a，C=，求 c。过点 A作 ADBC于D， AD=AC·sin=b·sin，CD=AC·cos=b·cos BD=BC-CD=a- ·b cos在 RtABD中， ADB=90° AB2 AD2 BD2 (b·sin)2+(a- b·cos ) 2B D C a2 b2 2ab cos 法四（解析几何 ）：以点 C 为原点 O，AC 为 x 轴，建立如右图所示的 平面直角坐标系。在 ABC中， AC=b， CB=
4、a，AB=c，则 A，B，C点 的坐标分别为 A（b， 0），B（acosC，asinC），C（0，0）222|AB| 2 （acosC b）2 （asinC 0）2a2 cos2C 2ab cosC b2 a2 sin2C22a b 2ab cosC 即 c2 a2 b2 2ab cos C经过一番思考和尝试， 我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。 那么， 这个公式在实际 的题目当中有什么应用呢 网上的资料给了我答案。余弦定理可应用于以下两种需求：1、当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。2、当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 余弦定理还可以变换成以下形式：2bc222 bca cosAb c 2 a 2 2ac cosB2 2 2 cab cosBc a 2 b2 2ab cosCcosC2 2 2abc2ab2ca由此看来，余弦定理是一个简洁却实用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推广， 应用也更广泛。 余弦定理是高中数学中的一条基本定理， 但它却在平面几何，立体几何，平 面三角形解析等领域中发挥着巨大的作用。