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1、双曲线检测题与详解答案A保大分专练1. （2019 襄阳联考）直线l : 4x5y=20经过双曲线C:x y2a2b2=1( a>0,b>0）的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为（）6B.A.C.解析：选A由题意知直线D.l与两坐标轴分别交于点（5,0） , （0, 4）,从而c=5, b=4, . a=3,双曲线 C的离心率e = c= 5.a 32.设Fi, F2分别是双曲线x2-y-=1的左、右焦点，若点 P在双曲线上，且|PF|=6, 9则 |PE|=（）A. 6B. 4C. 8D. 4 或 8解析：选D由双曲线的标准方程可得a=1,则| PF|PE| =2a=
2、2,即|6|PFq|=2,解得|P冏=4或8.223. （2018 全国卷出）已知双曲线 C： p-y2=1（a>0, b>0）的离心率为42,则点（4,0）到C的渐近线的距离为（）A.2B. 23,2C. -2-D. 2 2解析：选 D =3 =端=1+02=/，,'=1.双曲线的渐近线方程为x±y=0.点（4,0）到C的渐近线的距离 d=A®22224 .若实数k满足0vkv9,则曲线259=1与曲线25统一>1的（）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等解析：选 D由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x
3、轴上，由425+9k =425k+9,得两双曲线的焦距相等.5 . （2018 陕西部分学校摸底）在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 C： 2x2y2=1,过C的左顶点引G的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x轴所围成的三角形的面积为（B.解析：选C设双曲线Ci的左顶点为/x,不妨设题中过点 A的直线与渐近线即y = 2x+ 1.联立、=一小x, 丫=叵+1,及x轴所围成的三角形的面积D.A,二16则A坐，0 1,双曲线的渐近线方程为y=±y=2x平行，则该直线的方程为 y=x=一解得ly=;所以该直线与另一条渐近线S= 2 T OA , 2=2X序xg = '
4、;2,故选C.6. （2019 辽宁五校协作体模考）在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线22C：沁=1(a>0, b>0）的离心率为。5,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A若 AFO勺面积为1,则双曲线C的方程为（）A.B.x227-y=1C.2y6=1D.22 y ,x <=14解析：选D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA=b, |OA = a，所以ab=2,又双曲线C的离心率为 小,所以 1+/乖,即b2=4a2,解得a2 = 1, b2 = 4,所以双曲线C的方程为22 y .x -= 1 ,4故选D.7. (2018）若双曲线当y=1（a>0
5、）的离心率为 坐，则a= a 42解析：由a2+ b22-, a 'a2+ 4a2 -4a2= 16. a>0, a= 4.答案：48.过双曲线x21=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A,3B两点，则| AB =.2解析：双曲线的右焦点为 F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为x223=0,将 x= 2 代入 x2 1=0,得 y2= 12, y = + 2a/3,故 |AB=4>y3. 3答案：4 3229. (2018 海淀期末)双曲线£看=1(a>0, b>0)的渐近线为正方形 OABC勺边OAOC所在的直
6、线，点 B为该双曲线的焦点.若正方形OABC勺边长为2,则a=解析：双曲线点一三=1的渐近线方程为by=±-x,由已知可得两条渐近线互相垂直, a b、. O双曲线的对称性可得 -=1.又正方形 OABC的边长为2,所以c=242,所以a2+b2=c2 =a,(2 2)2,解得 a=2.答案：22210. (2018 南昌摸底调研)已知双曲线 C： x2-y2=1(a>0, b>0)的右焦点为F,过点 a b2c c c 一F作圆(x a)2+y2=16的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线 C的离心率为.解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=bx,由题意可
7、知该切线方程为y = -(xab2c. . . c -c),即ax+byac=0.圆(x a) +y=m的圆心为(a, 0),半径为 不 则圆心到切线的距I a2 ac|ac a2 cc o离d= 奇万宝'=-c-=4，又e=3 则e4e+4=0,解得 e= 2,所以双曲线 C的离心率 e= 2.答案：211.已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为 g,且过点(4 ,近)，点M(3 , m)在双曲线上.求双曲线的方程;(2)求证：而1 版=0;求 FiMF的面积.解：(1) .e=<2,，双曲线的实轴、虚轴相等.则可设双曲线方程为 x2 y2=入.双曲线过点(
8、4,一回)，1610=入,即入=6.双曲线方程为x7-yr=1.6 6(2)证明：不妨设Fi, F2分别为双曲线的左、右焦点，则前=(-23-3, m, M2=(2-3, m.IMf M2 = (3+2展 X(3 -2淄)+M=-3+点 M点在双曲线上，_22 . 9 m=6,即 m-3= 0,> >MF MF = 0. FiMF的底边长 | FiF2| = 4，3.由(2)知m=±4. .FiMF的高 h=|m=:，SJA FiMF= 2 X 4小 X6.i2.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点Fi, F2,且|FiF2|椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之
9、差为4,离心率之比为3 : 7.(i)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求 cos / R PE的值.2222i( m>0,解：(i)由题知c=，13，设椭圆方程为 与十七=i(a>b>0),双曲线方程为2-y2 abm nn>0)，'a m= 4,则 i3 i37 a =3解得 a=7, m= 3.则 b=6, n= 2.故椭圆方程为x：+y= i,双曲线方程为x-y= i.49 3694P是第一象限的交点，则| PF| 十(2)不妨设Fi, F2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点,|PF =14, |PF| | PF =6,所以 | PF|
10、= 10, |PF2| =4.又| FiF2| =2网,所以 cosZ FiPE=| PF|2+ | P桎|2 |FiE|22| PFi| PF|102+ 42. 2 , I3 2 42XI0X4 =亍B级一一创高分自选i.已知圆(x 1)2+y2=：的一条切线y=kx与双曲线C:22022 = i(a>0, b>0)有两个交点，则双曲线 C的离心率的取值范围是()A. (1, 73)B. (1,2)C. (。3, +8)D. (2, +8)解析：选D由题意，知圆心(1,0)到直线kx y=0 的距离 d =哈， . k= ± J3,k +122c . 一=>4,
11、. e>2. ab 一b 口口 a + b由题息知->J3,1 + >4,即-aaa222 . (2019 吉林百校联盟联考)如图，双曲线 C： x2-y2=i(a>0, b>0)的左、右焦点 a b分别为Fi, E,直线l过点Fi且与双曲线C的一条渐近线垂直，与两条渐近线分别交于MN两点，若| NF| = 2| MF,则双曲线C的渐近线方程为()A.C.y=±妥B. y= 土 /3xD. y= ± &x解析：选B | NF| =2| MF| ,，M为NF的中点,又 OML FiN, / FiOIMh / NOM又/ FiOIMk /
12、F2ON / F2ON= 60 ,，双曲线C的渐近线的斜率 k=±tan 60即双曲线C的渐近线方程为y=±淄x.故选B.3 .设A, B分别为双曲线，一b2= i(a> 0, b> 0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4,Jr3,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y=3-x 2与双曲线的右支交于 M N两点，且在双曲线的右支上存在点D,使 OM+ ON=t OD,求t的值及点D的坐标.解：(1)由题意知一条渐近线为a= 2P, b y = &x, . . bx ay=0.由焦点到渐近线的距离为显 得普工=出.nx/b +a *又.c2=a2+b2,，b2=3, 双曲线的方程为22x-y=i.i2 3(2)设 Mxi, yi), Nx2, y2), D(xo, yo),则 Xi + X2 = tx o, yi + y2 = ty o.将直线方程y=”x2代入双曲线方程32 Xi22y3=i 得X2- i6娟x+84=0,则 Xi + X2= 16 3, yi+y2=Xi + X2)4= 12.y。 3， 卫yjM2 3Xo= 4g3, )。=3.t=4,点 D的坐标为(443, 3).