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1、对外经济贸易大学金融学院张海洋GMM方法与动态面板数个简介2015年8月在阅读文献中经常看到有使用GMM方法分析动态面板数据，但没有深入研究。垠近开 始自己用此方法时，感觉很困感，因为使用此方法的文献中，対方法的原理人多语焉不详。 対该方法的适用性，为什么用此方法，以及方法优缺点介绍聊聊几句。因此，通过读文献很 难对该方法有全面的把握。由于时常有学生过来问我怎么用GMM方法处理动态面板数据，不能总是含糊地回答, 同时自己也在写这方面的文章，因此找来儿本参考书，搜集了人量的文献，详细阅读之后, 撰写本文。文中主要内容摘要并整理fl Roodman (2009),这是STATA命令xtabondZ
2、命令的 作者所写的介绍性文章，应该有权威性，如果该文不准确，那么所有使用此命令做的研究将 全部失效。同时参考了Cameron and Trivedi (2009)和(Angrist and Pischke, 2009)等书籍。 本文仅为作者对该方法的理解，如有不妥、疑问或建议请联系：hyang_zhang 163 com。(一)为什么要用GMM方法本文所谓动态面板数据(Dynamic Panel data, DPD)分析，指的是分析中采用如下的回归 方程：i =, t =1,.,T其中，是因变量的滞后项，叫是个体i的同定效应。因变量的滞后项和固定效应 同时存在，是动态面板数据分析特殊性的关键。
3、如果固定效应不存在，那么回归方程变为:乂广叫+ “兀+為这时，用OLS或者随机效应模型回归分析即町。如果因变量的滞后项电卜1不存在，那 么回归方程变为:(3)对于该模型，用固定效应模型分析即可。如果因变量的滞后项和固定效应都存在.那 么对于（1）式这样的回归方程，如果采用差分方法去掉固定效应，会得到如下的结果W啦T + 05 +临其中£=££“，勺厂切弘。如果（1）式代表了真实的变量之间关系，那么Xz和之间必有相关性，因为：cov（AYu,At）显然不会等于6冈为两昔都有气“这一项。通常所用的固定效应模型实际上就是对（1）式差分，得到类似于（4）式的差分回归 方程
4、，然后做OLS。对于现在的情况，由于Xz和之间的相关性，再用OLS只会得到 冇偏误的回归系数。所以传统的统计方法无法实现对此类方程的估计，需要用GMM方法。需要注意的是（2）的模型（包含滞后项的OLS）和（3）的模型（不包含滞后项的FE.定效应）尽管都有偏误，但好处是一个債大，一个偏小（具体哪个大，哪个小要变之间 的关系），所以这两个估计系数应该界定了真实參数的范围（Angnst and Pischke, 2009:246 页：Roodman, 2009） «也就是说，你最后用GMM方法估计出来的参数应该落到这个区间。（二）什么是GMM方法通常所用的OLS等方法，基本逻辑是从计量模型
5、对数据拟合的角度分析，得出最好的 估计参数。GMM方法，又称为广义矩方法（Genei*alized Moment Method ）该方法所用的思 路与传统思路完全不同。任何计臺模型都有一定的适用性，即数据要满足一定的要求。GMM 方法的思路是，从计量模型对数据的要求出发，得出一系列矩条件，再根据这些矩条件，求 解満足条件的系数。对于人多数计量模型，GMM方法和传统的方法“殊途同归”，得出的回 归系数相差不会太远。1、线性回归中的GMM方法以OLS为例，对于回归方程:对外经济贸易大学金融学院张海洋Y = X 卩 + £传统OLS模型中，卩的估计®p01J=(X-X)-1(X,
6、Y)o注意到，如果使用OLS模型，数 据有要求，就是自变帚X和误差项£要独立，也就是说：E(X,s) = O这个就是所谓的"矩条件”。把e = Y-卩X带入，得到E(X，(Y-X卩)= 0,即：E(X'Y) = E(X,X)pp = E(X,X)_1E(X,Y)为了得到卩的估计量，可以把E(X»X)和E(X，Y)的估计量分别带入，即E(X*X)=丄XX, E(XrY)=丄2丫NN得到卩GMM = (X，X)Tx，Y,这是和传统的OLS样的估计杲。2、工具变量的GMM方法工貝变最方法也可以用矩估计的思路实现。由于过程略复杂，此处仅给出简要步骤,详细的推导可以
7、参考(Roodman, 2009)。需要回归的方程为：其中，Z是工具变量，E(s|Z)= (o X = (X1,x2.xk),是k个自变量向量，Z = (zpz2.z.)是了个工貝变量向量。相应的，待估计的系数卩是k维向量。定义E = Y-X卩为误差向最，对于任意估计出来的参数R ,残差项为E = Y-Xpft根据工具变量的含义，它应该和误差项£独立：E(Z*£)=0,这就是我们需要的矩条1A件。计算的时候，理论上应该利用 码乜)三ZE = 0求解，江意到，我们仃j个工具 变量，也就是j个矩条件(j个方程)。理论上，需要根据这j个方程求解k个待估计的参 数。但是不幸的是，如
8、果工貝变最的数杲j小于待估计的参数数鼠k,方程是不可识别的一 一通常不可能通过2个方程解岀3个未知数。如果工貝变量等于待估计的参数，是恰好可识别 的，但这种情况在GMLI中很难碰到。最常见的是工只变量多于待估计的参数，即j>k, 这意味着要找k个参数，让j个方程同时等于零。这难度相当人，实际上人多数时候找不到，1A怎么办呢？在矩估计里面，采用的办法是，找k个参数，让EN(Zr£)HZ*E和零之间的 距离般小。实际计算的时候，需要借助一个半正定的矩阵A ,计算向量坯(乙隹)的模：际无讥三 存吭=N(lz»E)fA(A-Z*E) = A_E*ZAZ»E目标变成，
9、寻找参数向®：pA=argniiii|EN(ZfE)|A，这就要用到一阶条件等于零：d|EN (Z)!2 *H._E*ZAZ7-X) = 0d0N计算的过程利用到J'连锁规则利向量求导的公式。继续推导，把E = Y-Xp带入，得 到：0 = 0ZAZ/X = (Y-Xp),ZAZ,X = Y,ZAZ,X -X1ZAZXPA=(X1 ZAZX)1 X,ZAZ,Y这就是0的GMM估计量，这个估计量是有偏的，它的期望值不等于真实的卩：然而它 是一致的，当样本量足够人的时候，它会接近真实的卩。这个估计量和A何关，但是A只影 响参数估计的有效性一一不同的A对应的参数Ba收敛的速度不同。
10、这里的Alt实是对不同的 矩条件加以不同的权重，可以找到一个收敛最快的A,称为Aegmm,可以证明：Aegmm 二 Var(z£尸。对于工具变量法常用的两阶段最小二乘法（2SLS）,如果假定谋差项是独立同分布，那 么= VaiXzE）-1）-1,此时Bgmm =（X，Z（Z 忆）t ZX）1 XZ（ZZ 尸 Z*Y这实际上就是传统通过两阶段敲小二乘法（2SLS）估计出来的参数，殊途同归。3、GMM方法的有效性（Haiisen检验和Sargan检验）I A前文己经介绍，使用GMM方法的目标足选择参数，最小化En（ZP）三NE和零之 间的即离|Eh（Z*£）|ao那么问题来了.
11、名小算小呢？会不会是最小值也八幺人于零？如果 这样的话，方法的适用性就成问题。也就是说，根据你估计出来的参数，算出的残差项实际 上和工具变量不是独立。Hansen检验和Sargan检验的逻辑就是，以|%（乙9儿最小化为目 标，估计出参数，然后把参数带入，看看它是否真的等于零。如果统计上不能拒绝它等于零， 则所用工具变量可靠；如果统计上拒绝它等于零，则不可靠。1八如果零假设成立（即工只变量是联合有效的人那么En（Z®三一Z，E应随机分N布于零附近，它和零的距离应服从Z?分布：IIen（z，£）L三加耳匸=存亠站咆入这就是Hansen统计量，它服从口由度为j-k的；分布，这里口
12、由度其实就是过度识 别的维度。在实际使用中，不应该显著（P值小于0.1）；如果显著，则表明拒绝了零假设， 工具变量不是联合有效的。然而，需要注总的是，如果使用的工具变量太藝，那么Hansen 统计量会非常不显著，常常等于1。这是因为，j-k越人，总味着z?分布显著的门槛越高 （请査阅2?分布的表格）。也就是说，工具变最太多.会讣Hansen检验的效果变弱，这是需 要注意的。通常Hansen检验的p值大于0. 25就要小心了，这时需要考虑减少工具变量的数量。Sargan检验的统计量类似，只不过把Hansen统计量中的AEGmi替换成了（Z，Z）“，即S = |%(Z叽=存Z(Z忆尸Z氓 zVk然
13、而，该统计量有时候是不一致的，如果在命令中要求报告稳健的Sai-gan统计量，软件 会做两阶段GMM估计(先找任意合理的H,令A=(ZHZ)_1,估计出第一步参数B：再根 据计算出残差项的方差协方差矩阵令A=(Z»Q. Z)-1,估计出第二部参数g),1PlP1忆根据第二步的参数结果，默默报告出Hansen统计彊。整体上说，Hansen统计慣好像更黒谱一 点，所以报告的时候，更多关注Hansen统计童。(三)动态面板数据现在回到我们的动态面板数据，对数据和模型有如下假定：1) 动态。模型中包含了因变量的滞后项：2) 有个体的固定效应；3) 可以有一些自变量是内生的：4) 除了固定效应
14、之外的误差项©可以异方差，可以序列相关；5) 不同个体之间的误差项©和J不会相关.6) 可以有前定的(Predetermined)但不是完全外生的变量。7) “大N,小T”，即个体数量要足够多，但时间不用太长。如果时间足够长的话，动 态而板误差不会太人，用固定效应即可。从上述要求可以看出，GMM方法特别适合宏观的面板数据分析，因为宏观变呈中，很 难找出绝对外生的变屋，变量之间多少会互相影响。而GMM方法可以“令一些自变量是内 生的”，这可能也是GMNI方法在文献中这么常用的原因。此前已经说过，不能用传统的OLS方法或者固定效应模型进行动态面板数据的分析， 那样会得到有偏的估
15、计量。先要对数据进行一定的变换，然后根据不同的矩条件设定开展矩 估计。其中数据变换有两种方法，矩条件的设定也有两种方法。1、数据的变换方法：一阶差分还是垂直离差为了消除动态面板数据中的固定效应，通常用的有两种方法：一阶差分（first difference）和垂直离差（orthogonal deviations） o 一阶差分之前己经介绍过了，这种方法 是difference GMM中默认的方法。缺点是如果数据中右缺失值，那么最终的估计会缺失很 多样本，原始数据缺一行往往会导致差分后的数据缺两行。一种替代的方案是用垂直离差 （xtabond：命令中用orthogonal选项实现），每个变最减去
16、该变最未来所有观测值的平均 值，即：叫曲丄三4（%-齐工叫）5>t式子中，陷=虫/厲+ 1）为调整权重变量，I；是从t期开始以后观测值的数量。对 F非平衡面板，和数据有缺失的面板，这种方法避免了因缺失数据带來的样本损失，因为调 整的时候只是把未來的平均值减去，样本数不会因缺失未来个别观测值而受损。然而，对于 平衡面板数据，一阶差分和垂直离差估计出来的结果会完全一样。2、DifTerent GMM 还是 System GMM令数据变换之后的回归方程变为这种变换可以是一阶差分，也可以是垂直离差。DifferentGMM的逻辑是，如果是垂直 离差变换，用=1作为Xt-i *的工貝变量；如果是一
17、阶差分变换，用作为Xt-i*的工 具变量，此时丫卜=4丫片。对应的工具变量也类似，如果是垂直离差，就用滞后一 阶的，如果是差分就用滞后一阶的差分作为工具变量。在实现的时候，为了提高估计的有效 性，通常还会加入更高阶的滞后项（滞后差分）作为工貝变量。这些变量的加入利用了更多 的信息，然而也会带来麻烦，让工只变鼠的数最随T平方成比例増加.为了控制工貝变最的 数量，一个选择就是采用collapse选项把这些工具变量变成一列。如果因变彊的变化过程接近随机游走，那么Difference GMM的估计量会有较人偏差。System GMM的方法和Different GMM完全不同，它不蛊要对门变量和因变量进
18、行数据变换。它假定匸貝变最的差分，即AWtFt -，应该外生于固定效应：E（E；M）=O。如果w是内生的，wm就町以作为工只变量，更高阶的差分也町以做工只变量。如果w是 前定的但不是完全外生的，可以作为工貝变彊，更高阶的差分也可以做工貝变最。肖 然，更高阶差分加入后，还是会增加工具变量数量，需要在具体计算时想办法控制。（四）使用GMM方法的注意事项 町以尝试先做（2）式的OLS,再做（3）式的固定效应。当然这两个估计都是有偏误 的，然而这两个估计的系数应该是真实系数的上限和下限，町以给敲后的GMM估计限 定参考范用。 “An,小T”，如果N太小了，则估计出来的标准差可能不太靠谱实际上如果用 省
19、际面板去做的话，不满足“大N”这个条件，但中文文献中充斥着这样的研究。如果 样本的N较小，但还可以接受（比如N=70）,然而又想用此方法，那么加上small选项。 解释变量中，放入时间虚拟变最。比如，数据有10年，则放入9个虚拟变量。加入后， 可以让"误差项©和J不会相关”这个条件更容易满足。 如果数据中间有间隙，尽量利用垂直离差（对于每个变呈，包括自变呈和肉变屋，减 去它未來值的平均值，就是加上orthogonal选项，见Roodman （2009）,这会减 少样本最的损失。因为数据中间缺一行，一阶差分后就会缺两行数据。 但对平衡面板数据.两种数据变换方法结果一样. 通常
20、，每个自变量都要岀现两次（除了系统外的工具变量）。先作为自变量出现在在 xtabond2命令中逗号的左边，再以某种形式作为工具变最出现在逗号右边。如果变最 w是完全外生的，那么放到ivstyg（w）（表示直接作为工具变量）；如果w是前上 的，但不是完全外生的，则放到gnunstyie （w）（表示从滞后一期开始都作为工具变量）； 如果w是内生的，则放到gmmstyle（L.w）（表示从滞后两期开始都作为工具变量）°报告工具变量的数量如果按照匕一条的做法，工具变最的数呈会很多。这样会导致 ovei'identification test不准确,【一个标志就是Hansen统计量的
21、p值变为1, Hansen test 的P值在（0.1,0.25）之外都要小心，太小表明拒绝工具变量有效的假设，太大表明选 的工具变量太多,hansen检验变弱了】。通常，需要限制工貝变量数量,可以用collapse 选项，也可以用laglimits （）选项。习惯做法是，选择不同数最的工具变量以显示估 计系数的稳健性。工具变量数量的上限就是模型中个体的数量（也就是N）,超出此上 限，xtabond2命令会报警。 使用system GMM的时候要注意，能使用该模型的前提是，工具变量的变化叫-卜】 要和固定效应垂直。因此数据应该在稳态附近，否则这些变最的变化就会和I古I定效应关 系比较人，从而不
22、满足system GMM适用的条件。 由于GMNI方法有很参设定选项，在报告结果时，报告你的选项。System GMM还是 Difference GMM：是用垂直离差还是一阶差分；选用什么工具变最，滞后几期；选 择什么样的robust标准差，等等。参考文献1 Angnst, J D. and J Pischke , Mostly Harmless Econometrics. Pnnceton, New Jersey Pnnceton University Press, 20092 Roodman, D , "How to Do Xtabond?: An Introduction to Difference and System GMM in StataJ The Stata Journal, 2009. 1( 9)» 86136.9