公式及结论-.doc

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1、公式及结论 -(2)常见的初中数学公式1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线 垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有 线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点， 有且只有 一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行， 这 两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理 三角形两边的和大于第三边16 推论 三角形两边的差小于第三边17

2、 三角形内角和定理 三角形三个内角 的和等于 180°18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 (ASA) 有两角和它们的 夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的 对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等 的两个三角形全等26 斜边、直角边公理 (HL) 有斜边和一 条直角边对

3、应相等的两个直角三角形27 定理 1 在角的平分线上的点到这个 角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同 的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的 所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形 的两个底角相等 ( 即等边对等角)31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平 分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等， 并 且每一个角都等于 60°34 等腰三角形的判定定理 如果一个 三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等 角对等边)35 推论 1 三个

4、角都相等的三角形是等 边三角形36 推论 2 有一个角等于 60 °的等腰三 角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °那么它所对的直角边等于斜边的38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上 的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条 线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相 等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端 点距离相等的所有点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图 形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44 定理 3 两个图形关于某直线对

5、称， 如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45 逆定理 如果两个图形的对应点连线 被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46 勾股定理 直角三角形两直角边 a 、b 的平方和、等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c247 勾股定理的逆定理 如果三角形的三 边长 a 、b、c 有关系 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三 角形48 定理 四边形的内角和等于 360 °49 四边形的外角和等于 360 °50 多边形内角和定理 n 边形的内角的 和等于（ n-2 ）×180°51 推论 任意多边的外角和等于 360

6、76;52 平行四边形性质定理 1 平行四边形 的对角相等53 平行四边形性质定理 2 平行四边形 的对边相等54 推论 夹在两条平行线间的平行线段 相等55 平行四边形性质定理 的对角线互相平分56 平行四边形判定定理 别相等的四边形是平行四边形57 平行四边形判定定理 别相等的四边形是平行四边形58 平行四边形判定定理 平分的四边形是平行四边形59 平行四边形判定定理 行相等的四边形是平行四边形60 矩形性质定理 1 角都是直角61 矩形性质定理 2 相等3 平行四边形1 两组对角分2 两组对边分3 对角线互相4 一组对边平 矩形的四个 矩形的对角线62 矩形判定定理 1角的四边形是矩形6

7、3 矩形判定定理 2对角线相等的平行四边形是矩形64 菱形性质定理 1菱形的四条边都相等65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66 菱形面积 = 对角线乘积的一半，即S= （a ×b ）÷267 菱形判定定理 1 四边都相等的四 边形是菱形68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直 的平行四边形是菱形69 正方形性质定理 1 正方形的四个 角都是直角，四条边都相等70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理 1 关于中心对称的两个图形是 全等的72 定理 2 关于中心对称的两个图形， 对

8、称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同 一底上的两个角相等75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理 在同一底上的 两个角相等的梯形是等腰梯形77 对角线相等的梯形是等腰梯形78 平行线等分线段定理 如果一组平行 线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平 行的直线，必平分另一腰80 推论 2 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理 三角形的中位线

9、平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行 于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b )÷2 S=L × h83 (1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d84 (2) 合比性质 如果 a b=c d, 那 么(a ±b) b=(c ± d) d85 (3) 等比性质 如果 a b=c d= =m n(b+d+ +n 0), 那么 (a+c+ +m) (b+d+ +n)=a b86 平行线分线段成比例定理 三条平行 线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论 平行

10、于三角形一边的直线截其 他两边（或两边的延长线），所得的应线段成比例88 定理 如果一条直线截三角形的两边 （或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三 角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两 边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理 平行于三角形一边的直线和其 他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理 1 两角对应相 等，两三角形相似（ ASA ）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个 直角三角形和原三角形相似93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似（ SAS ）94 判定定

11、理 3 三边对应成比例，两三 角形相似（ SSS ）95 定理 如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么这两个直角三角形相似96 性质定理 1 相似三角形对应高的 比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理 2 相似三角形周长的比等 于相似比98 性质定理 3 相似三角形面积的比等 于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余 弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100 任意锐角的正切值等于它的余角的 余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101 圆是定点的距离等于定长的点的集合102 圆的内部可以看作是

12、圆心的距离小 于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大 于半径的点的集合104 同圆或等圆的半径相等105 到定点的距离等于定长的点的轨迹， 是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的 点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107 到已知角的两边距离相等的点的轨 迹，是这个角的平分线108 到两条平行线距离相等的点的轨迹， 是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109 定理 不在同一直线上的三点确定一 个圆。110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平

13、分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相 等113 圆是以圆心为对称中心的中心对称 图形114 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心 角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角

14、； 90° 的圆周角所对的弦是直径119 推论 3 如果三角形一边上的中线 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120 定理 圆的内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于它的内对角121 直线 L 和O 相交 d <r 直线 L 和 O 相切 d=r 直线 L 和 O 相离 d > r122 切线的判定定理 经过半径的外端并 且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经 过切点的半径124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的 直线必经过切点125 推论 2 经过切点且垂直于切线的 直线必经过圆心126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条

15、 切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相 等128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧 对的圆周角129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相 等，那么这两个弦切角也相等130 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被 交点分成的两条线段长的积相等131 推论 如果弦与直径垂直相交，那么 弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线 和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133 推论 从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134 如果两个圆相切，那么切点一定

16、在连 心线上135 两圆外离 d >R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r <d <R+r（R >r） 两圆内切 d=R-r（R > r） 两圆内含 d <R-r（R >r）136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两 圆的公共弦137 定理 把圆分成 n（n 3）: 依次连结各分点所得的多边形是这个 圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线 的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138 定理 任何正多边形都有一个外接圆 和一个内切圆，这两个圆是同心圆139 正 n 边形的每个内角都等于（ n-2 ）×180

17、76;n140 定理 正n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长142 正三角形面积 3a 4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形 的角，由于这些角的和应为 360° ，因此 k ×(n-2)180 °n=360 ° 化为 ( n-2 )(k-2)=4144 弧长计算公式： L=n 兀 R 180 145 扇形面积公式： S 扇形=n 兀 R2 360=LR 2146 内公切线长 =d-(R-r) 外公切线 长= d-(R+r)

18、实用工具 :常用数学公式公式分类 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b| |a|+|b| |a- b| |a|+|b|a| b<=> -b a ba |a|一元二次方程的解 - b+(b2 -4ac)/2a-b- (b2 -4ac)/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注：方程没有实根， 有共轭 复数

19、根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tan AtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctg

20、acos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)= (1 -cosA)/2) s in(A/2)=- (1 -cosA)/2)cos(A/2)= (1+cosA)/2) cos(A/2)=- (1+cosA)/2)tan(A/2)= (1 -cosA)/(1+cosA) tan(A/2)=- (1 -cosA)/(1+cosA)ctg(A/2)= (1+cosA)/(1-cosA) ctg(A/2)=- (1+cosA)/(1-cosA)和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A

21、-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6 +7+8+9+ +n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+ +(2n -

22、1)=n22+4+6+8+10+12+14+ +(2n)=n (n+1) 13+23+33+43+53+63+ n3 =n2(n+1)2/412+22+32+42+52+62+72+82+ +n2=n(n+1)(2n+1)/61*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注： ( a,b ) 是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx

23、+Ey+F=0 注： D2 +E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h'正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆 台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r>0 扇形公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中 ,S' 是直截面面积， L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱 体 V=pi*r2h