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1、长方体正方体奥数举一反三学习 好资料长方体和正方体（二）例题 1 有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长 40 厘米，宽 32 厘米，水面高 20 厘米；乙水箱长30 厘米，宽 24 厘米，深 25 厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积 +乙水箱的底面）×水面的高度。这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积： 40× 32×20=25600 （立方厘米），再除以两只水箱的底面积和： 4
2、0×32 30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。练一练 1：有两个水池，甲水池长8 分米、宽 6 分米、水深 3 分米，乙水池空着，它长 6 分米、宽和高都是4 分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？解：设两个池中水面的高度为x 米，由题意得8×6×x+4×4×x=8×6×348x+16x=14464x=144x=2.25答：水面的高度是2.25 米计算法：总水量是 8× 6× 3=144 立方分米甲的底面积是 8×6=48
3、 平方分米乙的底面积是 4×4=16 平方分米两者水面高度是： 144÷（ 48+16）=2.25（分米）答：水面的高度是2.25 米练一练 2：有一个长方体水箱，从面量长40 厘米、宽 30 厘米、深 35 厘米，箱中水面高 10 厘米。放进一个棱长20 厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米？水箱的底面积是： 40×301200（平方厘米） 水的体积是： 1200× 1012000（立方厘米）正方体铁块的底面积是：20×20400（平方厘米）水箱放入正方体铁块后 , 底面积变成了1200 400 800（平方厘米）精品资
4、料学习 好资料现在水面高： 12000÷ 80015（厘米）答：这时水面高 15 厘米。典型例题精讲 2将表面积分别为54 平方厘米、 96 平方厘米和 150 平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。分析因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（ 3×3），所以这个正方体的棱是 3 厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长：96=6×（ 4× 4），棱长是 4 厘米； 150=6×（ 5×5），棱长是 5 厘米。知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于
5、它们的体积和。体积 =3× 3× 3+4×4× 4+5×5×5=216 立方厘米答：这个大正方体的体积是216 立方厘米。练一练 1： :有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24 平方厘米、 54 平方厘米和 294 平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。24÷6=4（平方厘米），因为 2×2=4，所以棱长是 2 厘 54÷6=9（平方厘米），因为 3×3=9，所以棱长是 3 厘米 294÷ 6=49（平方厘米）因为 7×7=49，所以棱长是 7厘大正方
6、体体积：2×2×2+3×3×3+7× 7× 7=378（立方厘米）答：这个大正方体的体积是378 立方厘米练一练 2：将表面积分别为216 平方厘米和 384 平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13 厘米，宽 7 厘米，求它的高。两个正方体熔铸成一个长方体, 体积不变 .表面积为 216 平方厘米的正方体 , 一个面的面积为 36 平方厘米 , 棱长为 6 厘米 , 体积为 6× 6×6=216（平方厘米）表面积为 384 平方厘米的正方形 , 一个面的面积为 64 平方厘米 , 棱长为
7、8 厘米 , 体积为 8× 8×8=512（平方厘米）熔铸成的长方体的高为：（216+512）÷（ 13×7）=8（厘米）答：熔铸成的长方体的高为8 厘米.典型例题精讲 3精品资料学习 好资料一个长方体盛水容器的底面是一个边长60 厘米的正方形，容器里直立着一个高1 米、底面边长 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深0.5 米，如果把铁柱取出，容器里的水深将是多少厘米？【思路导航】将铁柱取出，下降的水的体积等于铁柱的体积，先根据长方体体积 =长×宽×高计算出铁柱的体积，再除以长方体容器的底面积就可以求出下降的水的高度，用原来的高度
8、减去下降的高度就是现在的水深0.5 米=50 厘米50×15× 15=11250（立方厘米）11250÷60÷ 60=3.125（厘米），50-3.125=46.875 （厘米）答：容器里的水深是46.875 厘米练一练 1 有一块边长是 5 厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中，取出铁块后，水面下降了0.5 厘米，这长方体容器的底面积是多少平方厘米？5 ×5×5÷0.5 ， =125 ÷0.5 ， =250 （平方厘米）答：长方体容器的底面积是250 平方厘米。练一练 2：有大中小三个长方形水池，它们的
9、池口都是正方形，边长分别为6分米， 3 分米和 2 分米现在把两堆碎石分别沉入中小两个水池内这两个水池的水面分别升高了6 厘米和 4 厘米如果把这两堆碎石都沉入大池内，那么，大池的水面将升高多少厘米？（结果保留整数）6 分米 =60 厘米， 3 分米 =30 厘米， 2 分米 =20 厘米，放中池里碎石的体积： 30×30× 6=5400（立方厘米），放小池里碎石的体积： 20×20× 4=1600（立方厘米），两堆碎石总体积： 5400+1600=7000（立方厘米），大水池的水面升高： 7000÷（ 60×60） 2（厘米），答：
10、大水池的水面升高了 2 厘米精品资料学习 好资料典型例题精讲 4有一个长方体容器（如下图），长30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米，里面的水深 6 厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？【思路导航】首先求出水的体积30× 20×6=3600（立方厘米）。当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是 20×10=200 平方厘米的长方体。只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。30×20× 6÷（ 20×10）=18（厘米）答：竖起来后水深18 厘米。练一练 1：有两
11、个长方体水缸，甲缸长3 分米，宽和高都是2 分米；乙缸长 4 分米、宽 2 分米，里面的水深1.5 分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？4×2×1.5 ÷（ 3×2）=12÷ 6，=2（分米）答：水深 2 分米。练一练 :2：有一块边长 2 分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4 厘米、宽 2 厘米的长方形，求它的长。2×2×2÷（ 4× 2）=1（厘米）答：它的高是 1 厘米典型例题精讲 5一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球第一次把小球沉入水中；第
12、二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球精品资料学习 好资料一起沉入水中，已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5 倍那么大球的体积是小球的多少倍？【思路导航】第一次从容器中溢出的水量=小球的体积 V1；第二次从容器中溢出的水量+小球的体积 V1=中球的体积 V2；即第二次从容器中溢出的水量 =中球的体积 V2-小球的体积 V1=3V1，V2=4V1；第三次从容器中溢出的水量 +中球的体积 V2=大球的体积 V3+小球的体积 V1；即第三次从容器中溢出的水量 =大球的体积 V3+小球的体积 V1-中球的体积V2=2.5V1，V3+V
13、1-4V1=2.5V1V3=5.5V1 ，答：大球的体积是小球的5.5 倍练一练 1：一个正方形容器，边长是25 厘米，里面注满了水，有一根长50 厘米，横截面是 12 平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中问会溢出多少立方厘米的水？12×25=300（立方厘米）答：会溢出 300 立方厘米的水 练一练 :2：一个长方体容器，底面是一个边长为60 厘米的正方形，容器里直立着一个高 1 米，底面边长为 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为0.5米现在把铁块轻轻地向上提起24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？15 × 15×24÷
14、;（ 60× 60-15 ×15） =5400÷3375=1.6 （厘米）24+1.6=25.6 （厘米）答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 25.6 厘米长方体和正方体（三）精品资料学习 好资料例 1. 一个长方体，表面积是368 平方厘米，底面积是40 平方厘米，底面周长是36 厘米，求这个长方体的体积。368-40 × 2=288 平方厘米288 ÷ 36=8（厘米）V=40×8=320（立方厘米）答：这个长方体的体积是320 立方厘米。例 2 . 将一个长方体的长减小 5 厘米，变成了正方体，正方体表面积比原来长方体表面积减
15、少了 60 平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？60÷ 4=15（平方厘米）15÷ 5=3（厘米）3× 3×（ 5+3） =72（平方厘米）答：原来长方体的体积是72立方厘米。例 3.有甲，乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长15 分米，宽10 分米，高8 分米，乙水箱长 10 分米，宽 10 分米，高 9 分米，甲水箱装满水，乙水箱空着，现将甲水箱里的一部分水抽到乙水箱中，使两箱水水面高度一样，两个水箱的水面高度是多少分米？甲水箱的体积 =15× 10× 8=1200（立方分米）1200÷（ 15× 10+10
16、× 10） =4.8 （分米）答：两个水箱的水面高度是4.8 分米。例 4. 一个长方体的长为 12 厘米，高为 8 厘米，前后两个面，上面和侧面各一个面的面积之和是 392 平方厘米，求另外两个面积是多少平方厘米？这个长方体的体积是多少立方厘米？（ 1）另外两个面积是 :392-12 × 8×2=200（平方厘米）（ 2） 200÷（ 12+8） =10（厘米）体积 =12× 10× 8=960（立方厘米）答：另外两个面积是200 平方厘米，长方体的体积是960 立方厘米。例 5.某工人用薄板钉成一个长方体的邮包包装箱，并用编织绳在
17、三个方向上加固，使用的编织绳长度分别为 365 厘米、 405 厘米、 485 厘米。若每根编织绳加固时结头都是 5 厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？（ 365-5 ）÷ 2=180 厘米（ 405-5 ）÷ 2=200 厘米（ 485-5 ）÷ 2=240 厘米长 +宽 +高= (180+200+240) ÷ 2=310 厘米长 = 310-180=130 厘米精品资料学习 好资料宽 =310-200=110 厘米高 =310-240=70 厘米V=130 × 110× 70=1001000 立方厘米 =1.001 立方
18、米例 6. 有甲乙丙三种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的二分之一，乙的棱长是丙的棱长的三分之二。如果用甲乙丙三种木块拼成一个尽可能小的大正方体（每块至少用一块），那么最多需要这三种木块共多少块？最少需要用这三种木块共多少块？根据已知条件得知甲乙丙棱长之比是：甲：乙：丙=1:2:3（1）最少：如果用棱长是3 厘米的丙正方体拼成较大的正方体，至少用8 块，拿掉一块丙用乙和甲来补，需要乙1 块，甲 19 块，共需要甲+乙 + 丙 =19+1+7=27 块。（2）最多用92 块。如果拼成棱长是5 厘米的正方体，用一块丙和一块乙，需要甲=5× 5×5-2 ×
19、2× 2-3 × 3× 3=90（块） 90+1+1=92（块）例 7.在底面边长是60 厘米的正方形的一个长方体容器里，直立着一个长100 厘米，底面为边长15 厘米的正方形的四棱柱铁棍，这时容器里的水深为50 厘米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24 厘米，露出水面的四棱柱，浸湿部分长多少厘米？方法一、 15× 15× 24÷（ 60×60-15 ×15） =1.6厘米24+1.6=25.6厘米答：浸湿部分长25.6 厘米。方法二、解设：拔出24 厘米后，浸在水里的部分为X 厘米。（ 60× 60-15
20、 × 15） X+60×60× 24=（ 60× 60-15 × 15）× 50 3375X=82350X=24.450-24.4=25.6（厘米）答：露出水面的四棱柱，浸湿部分长25.6 厘米。例 8.把一个棱长为4 厘米的大正方体木块切成棱长为1 厘米的小正方体，这些小正方体的表面积的总和是多少平方厘米？方法一：共分成 4× 4× 4=64（个）S=1× 1× 6× 64=384（平方厘米）方法二：沿着长、宽、高分别切三刀，共切9 刀，一共增加9× 2=18 个面，加上原
21、来的六个面共有18+6=24（个）S= 4× 4× 24=384（平方厘米）答：这些小正方体的表面积的总和是384 平方厘米。精品资料学习 好资料例 9 把一个长 12 分米，宽 6 分米，高 10 分米的长方体截成3 个相同的小长方体，它的表面积最多可以增加多少平方分米？例 10.在棱长为 3 厘米的正方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口边长为1厘米的正方形，求挖洞后木块的体积和表面积。V=3 × 3× 3-1 × 1× 1× 7=20（立方厘米）S=3× 3× 6=54（平方厘米）54-1× 1× 6+1× 1× 4× 6=72（平方厘米）答：体积是20 立方厘米，表面积是72 平方厘米。精品资料