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1、两个重要极限的简化证明高等数学微积分学中有两个重要极限公式 sinx/x =1 及(1+1/n)n= e。表面上看这两个公式只是解决了部分时型和时 型极限的计算问题。实际上由于这两个公式是高度抽象的 , 它们 的含义非常深刻。学习高等数学极限是很重要的基础 , 引导学生 掌握极限的本质还是很有必要的。两个重要极限的简化证明 , 不 仅给学生提供了一个提升对两个重要极限的认识的途径 , 也提供 了一个便于高职高专高等数学教学简便的直接方法。1 两个重要极限的地位及作用 极限存在的两个准则以及由它们所推导出的两个重要极限 ,在求解极限问题中都占有很重要的地位。但是, 我们往往注重的仅仅是它们在求极
2、限过程当中的运用 , 而忽略了它们本身的证明 尤其是重要极限limn (1+1 n)n=e。针对这一现象,也为了拓 展学生在数学学习中的思维 , 教学中应给出重要极限 limn fx(1+n1)n=e 的证明方法。针对不同层次的学生给予证法 比较 , 有助于学生复习巩固所学知识。2 两个重要极限的证明I 极限sinx/x =1该极限的证明 , 关键是证不等式 :sinx1- 1/n=(2?(1/2)+(n-2)/n (1/2)2?1n-2=(1/4)1/n贝U 4> (n+1)/ n= (1+1/n)n即数列An有上界。于是,极限H存在，并记为数e。3 在练习中巩固所学内容 , 提升对两
3、个重要极限的认识 选择典型例题 , 利用两个重要极限进行极限的计算 , 提升对 两个重要极限的认识。例1 求。解=()=1例2求解=例3 求解=e-1例4求解=l n(1+x)=1例 5 求(1+sinx)2cotx解(1+si nx)2cotx=(1+si nx)2si nxcotx由于 (1+sinx) =e,sinxcotx=cosx=1所以 (1+sinx)2cotx =e2。通过对“两个重要极限”的作用的深入分析和证明 , 指出它 们不仅是微积分学的计算基础 , 而且本身就体现了微积分学的基 本思想,学习研究应有积极思考 , 探微溯源的态度 , 才可抓住问题 本质,加深认识 ,提高教学质量。