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1、1 课时跟踪检测（十） 等比数列的概念及通项公式 层级一学业水平达标 1. 2+3 和 2- 3 的等比中项是（ ） A. 1 B.- 1 C. 土 1 D . 2 解析：选 C 设 2+ 3 和 2 .3 的等比中项为 G 则 &= （2 + 3）（2 3） = 1, G= 1. 2. 在首项a1= 1，公比q = 2 的等比数列an中，当an= 64 时，项数n等于（ ） A. 4 B . 5 C. 6 解析：选 D 因为 an= a1qn1,所以 1X2n1 = 64,即 2n1 = 26,得 n 1 = 6,解得 n= 7. 3. 设等差数列an的公差d不为 0,a = 9d,
2、若ak是 a 与a2k的等比中项，则k等于( ) A. 2 B . 4 C. 6 D. 8 解析：选 B /an = (n+ 8)d，又T aa2,贝U an等于( ) n 1 n 1、 A. ( 2) B . ( 2 ) _ n n C. ( 2) D . ( 2) 解析：选 A 设公比为q,则ag4= 8aq, _ 3 又 a1M 0, qz 0,所以 q= 8, q= 2, 又 a5a2,所以 a2v0, a50, 从而 a1 0, 即卩 a1= 1,故 an= ( 2) 2 6.等比数列 an中，a1 = 2, a3= 8，贝U an= _ a3 2 2 8 解析：.一 = q , -
3、 q = = 4，即 q= 2. ai 2 当 q = 2 时，an = aiq 1 = 2 x( 2) 1 = ( 2)； 当 q = 2 时，an= a q = 2x2 = 2 . 答案：(一 2)n或一 2n 7已知等比数列列的各项均为正数，且81,3,282成等差数列，则啓鑒 = _ . 2 a6 十 a7 解析：由题设ai, 2a3,2a2成等差数列可得 ai+ 2 = a3，即q2 2q 1 = 0,所以q= 2十 as+ ao as 1 + q 2 1, = = q = 3+ 2 2. a6+ a7 a6 1 十 q 答案：3 十 2 2 &已知三个数成等比数列，其积为
4、512,如果第一个数与第三个数各减去 2,则此时的 三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于 _ 解析：依题意设原来的三个数依次为 q, a, aq. q a a aq= 512,. a= 8. q 又第一个数与第三个数各减去 2 后的三个数成等差数列， a q 2 十(aq2) = 2a, 2 1 2q 5q+ 2= 0, q= 2 或 q = ?, 原来的三个数为 4,8,16 或 16,8,4. / 4+ 8+ 16= 16+ 8+ 4= 28, 原来的三个数的和等于 28. 答案：28 9.在四个正数中，前三个成等差数列，和为 48,后三个成等比数列，积为 8 000，求 这四个数.
5、解：设前三个数分别为 a d, a, a+ d,则有 (a d)十 a+ (a+ d) = 48, 即卩 a= 16. 设后三个数分别为b, b, bq,则有 q b 3 b bq= b = 8 000 ,即卩 b= 20, 这四个数分别为 m,16,20 , n,3 即所求的四个数分别为 12,16,20,25. 10.已知递增的等比数列an满足a2 + a3+ a4= 28,且a3 + 2 是a?和a4的等差中项，求 解：设等比数列an的公比为q.依题意，知 2(a3 + 2) = a2+ a4, - a2 + a3 + a4 = 3a3 + 4 = 28, a3 = 8, a2+ a4=
6、 20, 8 1 q+ 8q= 20,解得q= 2 或q=空(舍去). ,. a3 n 又 a1= 2= 2, an= 2 . q 层级二应试能力达标 a3, a4成等比数列，其公比为 2,则的值为（ ） 2a3 十 a4 1 A.4 1 C.8 5 5X 243- 1 1 + 2a6=5x3 , a6= 2=607. 4. 如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行 mi= 2X 16- 20= 12, 202 25. 1.设 a1, a2, 解析：选 A 原式=孑 2a + a2 2a1+ a2 1 1 2=. q 4 2. 1 在等比数列an中，已知a1 =
7、- 3 a5 = 3,贝U a3=( A. C. D . 3 解析：选 A 由 a5= a1 q4 = 3,所以 q4 = 9,得 q = 3, 2 1 a3= a1 q = x 3= 1. 3 3. 设 a1 = 2, 数列1 + 2an是公比为 3 的等a6等于（ ） A. 607.5 B . 608 C. 607 D . 159 解析：选 C /1 + 2an = (1 + 2a1)X3 n- 1 4 数成等比数列，而且每一行的公比都相等,5 1 4 1 1 2，4 3 3 3 4， 8， 16 记第i行第j列的数为aj （i , j N），则a53的值为（ ） 5 1 5 1 2 5
8、4,公比为 2 的等比数列，所以亞=4- 2 2=花 5若数列an的前n项和为S,且an= 2S 3，则的通项公式是 _ . 解析：由 an= 2Sn 3 得 an 1 = 2Si1 3（ n2），两式相减得 an an1 = 2an（n2）, an -an = an1( n2), = 1( n2) an 1 故an是公比为1 的等比数列, 令 n = 1 得 a1 = 2a1 3, a1= 3,故 an = 3 ( n 一 1 答案：an= 3 ( 1) 6.在等差数列an中，a1 = 2, a3= 6，若将 a, a4, as都加上同一个数，所得的三个数 依次成等比数列，则所加的这个数为
9、解析：设等差数列an的公差为d,所求的数为 a1= 2, 则 二 d = 2,. a3= a1+ 2d= 6, a4= 8, a5= 10,v a+ m a4 + m a5+ m成等比数列，二 2 m = (2 + m(1o + m，解得 m= 11. 2 (a4 + n) = (a1+ m( a5 + m，即(8 + 答案：11 7.已知数列an的前n项和Sn= 2 an，求证：数列 an是等比数列. 证明：.Sn= 2 cln，Sn+ 1 = 2 an + 1. an+1 = S+1 Si = (2 an+1) (2 an) = an an+1. 1 A. 16 5 D.4 1 1 解析：
10、选 C 第一列构成首项为才公差为泸等差数列，所以 1 1 a51=(5 1) x 4= 又因为从第三行起每一行数成等比数列, 而且每一行的公比都相等, 所以第 5 行构成首项为 n 1 1) 6 7 又S = 2 ai, / ai = 1 工 0. 又由 an+1= 2sn 知 anM0, .an+i 1 aT = 2 数列an是等比数列. f盈邊锻範 &已知数列an是各项为正数的等比数列，且 a2= 9, a4 = 81. (1) 求数列an的通项公式an； 若bn = log 3an，求证：数列bn是等差数列. 解：(1)求数列an的公比为q, “2 a4 81 T a2 = 9, a4= 81.贝V q = = = 9, a2 9 又T an0,. q0,. q= 3, 故通项公式 an = a22= 9x32= 3 , nN. (2) 证明：由(1)知 an = 3, bn= log 3an= log 33“ = n, bn+1 bn= (n+1) n= 1(常数),n N,故数列 bn是一个公差等于 1 的等差数列.