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1、例 2020年贵州省黔西南州中考数学第26题已知抛物线yax2bx6交x轴于点A(6, 0)和点B(1, 0)，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D、E，当PDPE取得最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分AMN的边MN时，求点N的坐标图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“20黔西南26”，拖动点P在直线AC上方的抛物线上运动，可以体验到，PDE是等腰直角三角形，当点E在AC的中点时，PE达到最大值点击屏幕左下方的按钮
2、“第（3）题”，拖动点M在抛物线的对称轴上一点，可以体验到，点N有两个时刻利用落在抛物线上思路点拨1.第（1）题可以重新设交点式，根据常数项相等，解得a的值2.第（2）题把PDPE转化为2PE，因为PDE是等腰直角三角形3.第（3）题的关键是理解点N的纵坐标的几何意义以AC为对称轴构造正方形，使得M、N两点落在正方形的边上满分解答（1）因为抛物线交x轴于A(6, 0)、B(1, 0)两点，所以ya(x6)(x1)对照yax2bx6，根据常数项相等，得6a6解得a1所以y(x6)(x1)x25x6对称轴是，顶点坐标为（2）如图3，由A(6, 0)、C(0, 6)，可知CAO45°，直线
3、AC的解析式为yx6所以PDE是等腰直角三角形，PDPE2PE设P(x,x25x6)，E(x,x6)所以PE(x25x6)(x6)x26x(x3)29 图3当x3时，PE取得最大值，最大值为9所以PDPE的最大值为18此时P(3, 12)这是一个典型结论：当E是AC的中点时，PE取得最大值（3）如图4所示，因为AC与x轴的夹角为45°，AC垂直平分MN，以直线AC为对称轴构造正方形APGH，使得PG经过点M，GH经过点N根据对称性，NHMP所以点N的纵坐标为解方程x25x6，得所以N（如图5所示），或（如图6所示）图4 图5 图6考点伸展第（3）题的构图是初二几何学习正方形时的一个典型图，这道题目还可以这样解：如图7所示，设抛物线的对称轴与直线AC交于点F，与x轴交于点Q，那么AFQ是腰长为的等腰直角三角形因为点F在MN的垂直平分线上，所以FMFN又因为NMF45°，所以MNF45°所以MFN90°所以NF/x轴，点N的纵坐标为图7